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5. 水利是农业的命脉,开远民间历来重视兴修水利,坝区明代即已筑堰修渠,开通东沟、西沟,引泸江、南洞水灌溉农田,经历代不断修拓完善,成为城郊灌溉干渠. 这些沟渠凝聚了一代又一代开远人的智慧和心血,历经岁月磨砺、时光雕琢,成为最美的风景. 在开远东沟的一侧有一个花卉基地,基地到东沟原有两个取水点A,B,其中$AB=AC$,为方便花卉基地取水,决定在东沟新建一个取水点D(A,D,B三点在同一条直线上),并新修一条路CD,测得$BC=39\ \mathrm{m}$,$CD=36\ \mathrm{m}$,$BD=15\ \mathrm{m}$.
(1)CD是否为从花卉基地C到东沟最近的路? 请通过计算加以说明.
(2)求新路CD比原来的路AC少多少.
(1)CD是否为从花卉基地C到东沟最近的路? 请通过计算加以说明.
(2)求新路CD比原来的路AC少多少.
答案
5. (1)$\because \quad BC=39\ \mathrm{m}, CD=36\ \mathrm{m}, BD=15\ \mathrm{m}$,且 $15^2+36^2=39^2$,
$\therefore \quad CD^2+BD^2=CB^2$.
$\therefore \quad △ CDB$ 为直角三角形.
$\therefore \quad CD ⊥ AB$.
$\therefore \quad CD$ 是从花卉基地 $C$ 到东沟最近的路.
(2)设 $AC=AB=x\ \mathrm{m}$,则 $AD=(x-15)\ \mathrm{m}$.
$\because \quad CD ⊥ AB$,
$\therefore \quad ∠ ADC=90°$.
$\therefore \quad CD^2+AD^2=AC^2$,即 $36^2+(x-15)^2=x^2$.
解得 $x=50.7$.
$\therefore \quad AC=50.7\ \mathrm{m}$.
$\because \quad CD=36\ \mathrm{m}$,
$\therefore \quad AC-CD=50.7-36=14.7(\mathrm{m})$,
即新路 $CD$ 比原来的路 $AC$ 少 14.7 m.
$\therefore \quad CD^2+BD^2=CB^2$.
$\therefore \quad △ CDB$ 为直角三角形.
$\therefore \quad CD ⊥ AB$.
$\therefore \quad CD$ 是从花卉基地 $C$ 到东沟最近的路.
(2)设 $AC=AB=x\ \mathrm{m}$,则 $AD=(x-15)\ \mathrm{m}$.
$\because \quad CD ⊥ AB$,
$\therefore \quad ∠ ADC=90°$.
$\therefore \quad CD^2+AD^2=AC^2$,即 $36^2+(x-15)^2=x^2$.
解得 $x=50.7$.
$\therefore \quad AC=50.7\ \mathrm{m}$.
$\because \quad CD=36\ \mathrm{m}$,
$\therefore \quad AC-CD=50.7-36=14.7(\mathrm{m})$,
即新路 $CD$ 比原来的路 $AC$ 少 14.7 m.
