18. 小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明.
（1）请根据以上命题和图形写出已知和求证：
已知：
求证：
（2）请证明以上命题.

18. (1) 已知:如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$D$为$BC$的中点. 求证:$△ ABC$是等腰三角形.
(2) 如图,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$, $DF ⊥ AC$ 于点 $F$,
$\because AD$ 平分 $∠ BAC, DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore DE=DF. \because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD. \because ∠ DEB=∠ DFC=90°$, 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF (\mathrm{HL}). \therefore ∠ B=∠ C. \therefore AB=AC. \therefore △ ABC$ 是等腰三角形.

19. 如图，$△ ABC$是边长为12 cm的等边三角形，动点M，N同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动.
（1）若点M的运动速度是2 cm/s，点N的运动速度是4 cm/s，当点N到达点C时，M，N两点都停止运动，设运动时间为t(单位:s)，当$t=2$时，判断$△ BMN$的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是2 cm/s，且当点M到达点B时，M，N两点停止运动，设点M的运动时间为t(单位:s)，则当t为何值时，$△ BMN$是直角三角形？

19. (1) $△ BMN$ 是等边三角形,理由如下:当 $t=2$ 时, $AM=4\ \mathrm{cm}, BN=8\ \mathrm{cm}. \because △ ABC$ 是边长为 $12\ \mathrm{cm}$ 的等边三角形, $\therefore BM=12-4=8(\mathrm{cm}), ∠ B=60°. \therefore BM=BN. \therefore △ BMN$ 是等边三角形.
(2) 在 $△ BMN$ 中, $BM=(12-2t)\ \mathrm{cm}, BN=2t\ \mathrm{cm}$, ① 当 $∠ BNM=90°$ 时, $∠ B=60°$, $\therefore ∠ BMN=30°. \therefore BN=\frac{1}{2} BM. \therefore 2t=\frac{1}{2}(12-2t). \therefore t=2$; ② 当 $∠ BMN=90°$ 时, $∠ B=60°$, $\therefore ∠ BNM=30°. \therefore BM=\frac{1}{2} BN. \therefore 12-2t=\frac{1}{2} × 2t, \therefore t=4$. 综上所述, 当 $t$ 的值为 2 或 4 时, $△ BMN$ 是直角三角形.

20. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是边$BC$上一点，点$E$在$AD$的右侧，线段$AE=AD$，且$∠ DAE=∠ BAC=α$.
（1）如图①，若$α=60°$，连接$CE$，$DE$，则$∠ ADE$的度数为________；$BD$与$CE$的数量关系是________；
（2）如图②，若$α=90°$，连接$CE$，$BE$，试判断$△ BCE$的形状，并说明理由.

20. (1) $60°$ $BD=CE$
(2) $△ BCE$ 是直角三角形, 理由如下:
$\because ∠ DAE=∠ BAC=90°, \therefore ∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS})$. 由题意知 $△ ABC$ 是等腰直角三角形, $\therefore ∠ ACE=∠ ABD=45°. \therefore ∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=90°. \therefore △ BCE$ 是直角三角形.