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1[2025浙江杭州期末]关于二次函数$y=-(x-2)^2$的图象，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.最低点坐标是$(2,0)$
C.可以由抛物线$y=-x^2$向左平移2个单位得到
D.对称轴是直线$x=2$
D
）A.开口向上
B.最低点坐标是$(2,0)$
C.可以由抛物线$y=-x^2$向左平移2个单位得到
D.对称轴是直线$x=2$
答案
∵ $y=-(x-2)^2$,$-1＜0$,
∴ 其图象开口向下,对称轴是直线$x=2$,顶点坐标为$(2,0)$,顶点是最高点,可以由抛物线$y=-x^2$向右平移2个单位得到,
∴ 说法正确的是 D 选项. 故选 D.
2 新考法[2025浙江义乌质检]
若小明将如图所示的两条水平线AB,CD中的一条当成x轴,且向右为正方向;两条铅垂线AC,BD中的一条当成y轴,且向上为正方向,在此坐标平面中画出了二次函数$y=2(x-1)^2$的图象,则坐标原点可能是(
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
若小明将如图所示的两条水平线AB,CD中的一条当成x轴,且向右为正方向;两条铅垂线AC,BD中的一条当成y轴,且向上为正方向,在此坐标平面中画出了二次函数$y=2(x-1)^2$的图象,则坐标原点可能是(
C
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
∵ $y=2(x-1)^2$,
∴ 该二次函数图象的顶点坐标是$(1,0)$.
∵ 顶点在 $CD$ 上,
∴ 坐标原点可能是点 $C$. 故选 C.
3 已知二次函数$y=3(x-3)^2$，当$x$分别取$x_1,x_2$（$x_1≠x_2$）时，函数值相等，则当$x$取$3x_1+3x_2$时，函数值为
675
。答案
∵ 二次函数$y=3(x-3)^2$,
∴ 该函数图象开口向上,对称轴为直线$x=3$.
∵ 当 $x$ 分别取 $x_1$,$x_2$($x_1≠x_2$) 时,函数值相等,
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=3$,
∴ $x_1+x_2=6$,
∴ $3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=18$,
∴ 当 $x$ 取 $3x_1+3x_2$ 时,函数值为 $3×(18-3)^2=675$,故答案为 675.
4[2026北京西城区期末]向左或向右平移二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象，完成以下问题：
(1)将$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向右平移4个单位长度，直接写出平移后图象对应的函数表达式；
(2)平移$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象，能使平移后的图象过点$(-9,-18)$吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
(1)将$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向右平移4个单位长度，直接写出平移后图象对应的函数表达式；
(2)平移$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象，能使平移后的图象过点$(-9,-18)$吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
答案
(1)将 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象向右平移 4 个单位长度,则平移后图象对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-4)^2$.
(2)能. 设平移后的图象对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$,将点 $(-9,-18)$ 代入,得 $-18=-\frac{1}{2}(-9-h)^2$,解得 $h=-15$ 或 $h=-3$,
∴ 平移后的图象对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x+15)^2$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$,
∴ 函数 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象向左平移 15 个单位长度或向左平移 3 个单位长度,能过点 $(-9,-18)$.
(2)能. 设平移后的图象对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$,将点 $(-9,-18)$ 代入,得 $-18=-\frac{1}{2}(-9-h)^2$,解得 $h=-15$ 或 $h=-3$,
∴ 平移后的图象对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x+15)^2$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$,
∴ 函数 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象向左平移 15 个单位长度或向左平移 3 个单位长度,能过点 $(-9,-18)$.
5[2025浙江衢州调研]将抛物线$y=-3x^2+1$向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得抛物线表达式为（
A.$y=-3(x+2)^2+2$
B.$y=-3(x+2)^2$
C.$y=-3(x-2)^2+2$
D.$y=-3(x-2)^2$
C
）A.$y=-3(x+2)^2+2$
B.$y=-3(x+2)^2$
C.$y=-3(x-2)^2+2$
D.$y=-3(x-2)^2$
答案
将抛物线 $y=-3x^2+1$ 向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,可得抛物线表达式为 $y=-3(x-2)^2+1+1$,即 $y=-3(x-2)^2+2$. 故选 C.
6[2025 浙江绍兴期中]已知一次函数$y=kx+b$的图象不经过原点和第二象限，则抛物线$y=-2(x+k)^2+b$的顶点位于 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
∵ 一次函数 $y=kx+b$ 的图象不经过原点和第二象限,
∴ $k＞0$,$b＜0$,
∴ $-k＜0$.
∵ 抛物线 $y=-2(x+k)^2+b$ 的顶点是 $(-k,b)$,
∴ 抛物线 $y=-2(x+k)^2+b$ 的顶点在第三象限. 故选 C.
7 [2025浙江金华期末]将抛物线$y=2(x+1)^2+3$沿x轴翻折后得到的抛物线对应的函数表达式为
$y=-2(x+1)^2-3$
。答案
抛物线 $y=2(x+1)^2+3$ 的顶点坐标是 $(-1,3)$,则沿 $x$ 轴翻折后得到的抛物线的顶点坐标是 $(-1,-3)$,开口向下,
∴ 翻折后抛物线表达式是 $y = - 2 (x+1)^2 - 3$,故答案为 $y = -2(x+1)^2-3$.
∴ 翻折后抛物线表达式是 $y = - 2 (x+1)^2 - 3$,故答案为 $y = -2(x+1)^2-3$.
8 已知某抛物线的顶点坐标是$(2,-1)$,开口向下且与$y$轴的交点到原点的距离为3,则该抛物线的表达式为
$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$
.答案
∵ 抛物线的顶点坐标是 $(2,-1)$,
∴ 设抛物线表达式为 $y=a(x-2)^2-1$.
∵ 抛物线与 $y$ 轴的交点到原点的距离为 3,
∴ 抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,3)$ 或 $(0,-3)$. 将 $(0,3)$ 代入抛物线表达式得 $3=a(0-2)^2-1$,解得 $a=1$.
∵ 抛物线开口向下,
∴ $a=1$ 不符合题意. 将 $(0,-3)$ 代入抛物线表达式得 $-3=a(0-2)^2-1$,解得 $a=-\frac{1}{2}$,符合题意. 故答案为 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$.
9[2025浙江湖州调研]已知抛物线 $y=\dfrac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$.
(1)求证:不论$n$取何值,该抛物线的顶点始终在一条直线上.
(2)若点$A(b+2,a)$,$B(6n+b-4,a)$都在该抛物线上,求证:$a≥\dfrac{5}{3}$.
(1)求证:不论$n$取何值,该抛物线的顶点始终在一条直线上.
(2)若点$A(b+2,a)$,$B(6n+b-4,a)$都在该抛物线上,求证:$a≥\dfrac{5}{3}$.
答案
(1)
∵ $y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$,
∴ 抛物线顶点坐标为 $(3n,4-2n)$.
设 $x=3n$,$y=4-2n=-\frac{2}{3}×3n+4$,则 $y=-\frac{2}{3}x+4$,
∴ 抛物线的顶点始终在直线 $y=-\frac{2}{3}x+4$ 上.
(2)由题可得 $(b+2)+(6n+b-4)=6n$,则 $b=1$,
∴ $A(3,a)$,把 $A(3,a)$ 代入 $y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$,得
$a = \frac{1}{3} (3-3n)^2 + 4 - 2n = 3(n-\frac{4}{3})^2 + \frac{5}{3} ≥ \frac{5}{3}$,
∴ $a≥\frac{5}{3}$.
∵ $y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$,
∴ 抛物线顶点坐标为 $(3n,4-2n)$.
设 $x=3n$,$y=4-2n=-\frac{2}{3}×3n+4$,则 $y=-\frac{2}{3}x+4$,
∴ 抛物线的顶点始终在直线 $y=-\frac{2}{3}x+4$ 上.
(2)由题可得 $(b+2)+(6n+b-4)=6n$,则 $b=1$,
∴ $A(3,a)$,把 $A(3,a)$ 代入 $y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$,得
$a = \frac{1}{3} (3-3n)^2 + 4 - 2n = 3(n-\frac{4}{3})^2 + \frac{5}{3} ≥ \frac{5}{3}$,
∴ $a≥\frac{5}{3}$.
