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1[2026北京海淀区质检]分别在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象.
(1)$y=\frac{1}{2}x^2,y=-\frac{1}{2}x^2$;
(2)$y=3x^2,y=-2x^2,y=\frac{1}{3}x^2$.
(1)$y=\frac{1}{2}x^2,y=-\frac{1}{2}x^2$;
(2)$y=3x^2,y=-2x^2,y=\frac{1}{3}x^2$.
答案
(1)列表如下：
| x | … | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | … | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | … |
| $y=-\frac{1}{2}x^2$ | … | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | … |
在平面直角坐标系中，描点、画出$y=\frac{1}{2}x^2,y=-\frac{1}{2}x^2$的图象如图(1):
(2)列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | … | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 | … |
| $y=-2x^2$ | … | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | … |
| x | … | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | … |
| $y=\frac{1}{3}x^2$ | … | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 | … |
在平面直角坐标系中，描点、画出$y=3x^2,y=-2x^2,y=\frac{1}{3}x^2$的图象如图(2):
2[2026广东广州质检]关于函数$y=3x^2$的图象，有下列说法：①是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是$y$轴；④顶点坐标是$(0,0)$。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C 【解析】①二次函数$y=3x^2$的图象是一条抛物线,故①正确;②
∵ 3＞0,
∴ 抛物线开口向上,故②错误;③ 函数$y=3x^2$的图象的对称轴为y轴,故③正确;④ 函数$y=3x^2$的图象的顶点为原点(0,0),故④正确.综上,正确的有①③④,共3个,故选C.
∵ 3＞0,
∴ 抛物线开口向上,故②错误;③ 函数$y=3x^2$的图象的对称轴为y轴,故③正确;④ 函数$y=3x^2$的图象的顶点为原点(0,0),故④正确.综上,正确的有①③④,共3个,故选C.
3[2025浙江宁波期中]函数$y=a(x+a)$与$y=ax^2$（$a≠0$）在同一直角坐标系中的图象大致是（
A
）答案
3.A 【解析】A选项,由一次函数$y=a(x+a)=ax+a^2$的图象可知$a＞0,a^2＞0$,由二次函数$y=ax^2$的图象可知$a＞0$,故此选项符合题意;B选项,由一次函数$y=a(x+a)=ax+a^2$的图象可知$a＞0,a^2＞0$,由二次函数$y=ax^2$的图象可知$a＜0$,故此选项不符合题意;C选项,由一次函数$y=a(x+a)=ax+a^2$的图象可知$a＜0,a^2＞0$,由二次函数$y=ax^2$的图象可知$a＞0$,故此选项不符合题意;D选项,由一次函数$y=a(x+a)=ax+a^2$的图象可知$a＜0,a^2＜0$,此时a无实数根,故此选项不符合题意. 故选A.
4[2026 浙江金华调研]如图，矩形ABCD中，AB = 4 cm，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C，D两点，以OA，OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{2}$
cm².答案
4.$\frac{π}{2}$ 【解析】观察图形并根据二次函数图象的对称性可得,题图中阴影部分的面积是一个半圆的面积,其半径为$\frac{1}{4}AB=1$ cm,
∴ 题图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×π×1^2=\frac{π}{2}(cm^2)$.故答案为$\frac{π}{2}$.
∴ 题图中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×π×1^2=\frac{π}{2}(cm^2)$.故答案为$\frac{π}{2}$.
5[2025浙江宁波期末]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线的表达式是$y_1=x^2$,直线$l$的表达式是$y_2=-\dfrac{1}{4}$,点$F(0,\dfrac{1}{4})$,点$P$是该抛物线上的动点,连结$PF$,过$P$作$PN⊥ l$.
(1)求证:$PF=PN$;
(2)设点$E(-2,6)$,求$PE+PF$的最小值及此时点$P$的坐标.
刷易错 小心有坑~
(1)求证:$PF=PN$;
(2)设点$E(-2,6)$,求$PE+PF$的最小值及此时点$P$的坐标.
刷易错 小心有坑~
答案
5.(1)【证明】
∵ 点P是抛物线$y_1=x^2$上的动点,
∴ 设点P的坐标为$(p,p^2)$.
∵ $F(0,\frac{1}{4})$,
∴ $PF = \sqrt{(p-0)^2+(p^2-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{(p^2+\frac{1}{4})^2} = p^2+\frac{1}{4}$.
∵ $PN ⊥ l$,直线l的表达式是$y_2=-\frac{1}{4}$,
∴ $PN = p^2 - (-\frac{1}{4}) = p^2+\frac{1}{4}$,
∴ $PF=PN$.
(2)【解】
∵ $(-2)^2=4＜6$,
∴ 点$E(-2,6)$在抛物线$y_1=x^2$的上方,由(1)知$PF=PN$,
∴ $PE+PF=PE+PN$,当E,P,N共线时,$PE+PF$有最小值,即EN的长,如图.
∵ $EN=6-(-\frac{1}{4})=\frac{25}{4}$,当$x=-2$时,$y_1=x^2=4$,
∴ $PE+PF$的最小值为$\frac{25}{4}$,此时点P的坐标为$(-2,4)$.
6 已知抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同，则a=
$\pm2$
.答案
6.$\pm2$ 【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同,
∴ $|a|=2$,
∴ $a=\pm2$.故答案为$\pm2$.
∵ 抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同,
∴ $|a|=2$,
∴ $a=\pm2$.故答案为$\pm2$.
7 若二次函数$y=(2-m)x^{|m|-3}$的图象开口向下，求$m$的值.
晓丽的解题过程如下：
解：∵$y=(2-m)x^{|m|-3}$是二次函数，
∴$|m|-3=2$，
解得$m=5$或$m=-5$.
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程.
晓丽的解题过程如下：
解：∵$y=(2-m)x^{|m|-3}$是二次函数，
∴$|m|-3=2$，
解得$m=5$或$m=-5$.
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程.
答案
7.【解】晓丽的解题过程不正确. 正确的解题过程如下:
∵ $y=(2-m)x^{|m|-3}$是二次函数,
∴ $|m|-3=2$,解得$m=5$或$m=-5$.
∵ 抛物线开口向下,
∴ $2-m＜0$,解得$m＞2$,
∴ $m=5$.
∵ $y=(2-m)x^{|m|-3}$是二次函数,
∴ $|m|-3=2$,解得$m=5$或$m=-5$.
∵ 抛物线开口向下,
∴ $2-m＜0$,解得$m＞2$,
∴ $m=5$.
