1[2026北京朝阳区质检,中]y关于x的二次函数$y=(x-1)mx+(x+1)nx+\frac{mn}{2}(m≠-n)$的二次项系数与一次项系数的和为$\frac{1}{2}$，差为2，则常数项为（）

A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{1}{4}$

【解析】二次函数表达式可整理为 $y=(m+n)x^2+$$(n-m)x+\frac{mn}{2}$($m≠-n$). 由题意得 $\begin{cases}m+n+n-m=\frac{1}{2},\\m+n-(n-m)=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=\frac{1}{4},\end{cases}$所以常数项$\frac{mn}{2}=\frac{\frac{1}{4}×1}{2}=\frac{1}{8}$,故选 A.

2[2025北京海淀区调研,较难]如图是边长为5的正方形ABCD,点F是边BC上一动点,过对角线交点E作$EG ⊥ EF$,交CD于点G,设BF的长为x,$△ EFG$的面积为y,则y与x满足的函数关系是 ()


A.正比例函数
B.一次函数
C.二次函数
D.以上都不是

【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形,$\therefore ∠ EBF=$$∠ ECG=45°$,$EB=EC$,$AC ⊥ BD$,$BC=DC=5$,$\therefore ∠ CEB=90°$. $\because EG ⊥ EF$,$\therefore ∠ FEG=90°$,$\therefore ∠ BEF+∠ CEF=∠ CEF+∠ CEG=90°$,$\therefore ∠ BEF=$$∠ CEG$,$\therefore △ BEF ≌ △ CEG$,$\therefore BF=CG=x$,$EF=EG$.
$\because CF=CB-BF=5-x$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CFG$ 中,$GF^2=CF^2+$$CG^2=(5-x)^2+x^2$; 在 $\mathrm{Rt}△ EFG$ 中,$EF^2+EG^2=FG^2$,$\therefore 2EF^2=FG^2=(5-x)^2+x^2=2x^2-10x+25$,$\therefore EF^2=$$x^2-5x+\frac{25}{2}$,$\therefore S_{△ EFG}=\frac{1}{2}EF · EG=\frac{1}{2}EF^2=\frac{1}{2}x^2-$$\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}$,即 $y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}$,$\therefore y$ 与 $x$ 满足的函数关系是二次函数. 故选 C.

3[中]已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x^2$成正比例，$y_2$与$x-2$成正比例，当$x=1$时，$y=5$；当$x=-1$时，$y=11$。则$y$与$x$之间的函数关系式为。

【解析】设 $y_1=k_1x^2$,$y_2=k_2(x-2)$. 由$y=y_1+y_2$,得 $y=k_1x^2+k_2(x-2)$. 由当 $x=1$ 时,$y=5$;当 $x=-1$ 时,$y=11$,得 $\begin{cases}k_1-k_2=5,\\k_1-3k_2=11,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=2,\\k_2=-3,\end{cases}$$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=2x^2-3x+6$.

4[较难]如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M为正方形ABCD的边CD上的动点(与点C,D不重合),连结BM,作MF⊥BM,MF与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线DF交于点F.设CM=x,△DFM的面积为y,则y与x之间的函数关系式为.(不必写出x的取值范围)

【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore CD=BC$,$∠ C=∠ CDA=90°=∠ ADE$. $\because DF$ 平分$∠ ADE$,$\therefore ∠ ADF=\frac{1}{2}∠ ADE=45°$,$\therefore ∠ MDF=90°+$$45°=135°$. 如图,在 $BC$ 上截取 $CH=CM$, 连结 $MH$, 则$△ MCH$ 是等腰直角三角形,易得 $BH=MD$. $\because △ MCH$ 是等腰直角三角形,$\therefore ∠ CHM=$$∠ CMH=45°$,$\therefore ∠ BHM=135°$,$\therefore ∠ 1+∠ HMB=$$45°$,$∠ BHM=∠ MDF$. $\because FM ⊥ BM$,$\therefore ∠ FMB=90°$,$\therefore ∠ 2+∠ BMH=180°-∠ FMB-∠ HMC=45°$,$\therefore ∠ 1= ∠ 2$. 在 $△ BHM$ 与 $△ MDF$ 中,$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\BH=MD,\\∠ BHM=∠ MDF,\end{cases}$$\therefore △ BHM ≌ △ MDF\ (\mathrm{ASA})$,$\therefore BH=MD=2-x$,$S_{△ DFM}=S_{△ HMB}$,$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{1}{2}x(2-x)=-\frac{1}{2}x^2+x$. 故答案为 $y=-\frac{1}{2}x^2+x$.

5[2025湖北恩施州期末,中]某竹艺企业设计了一款竹艺品,每件的成本是80元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是150元/件时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)根据下表给出的销售单价计算出相应的销售利润,并填入表中.

(2)小明认为每天的销售利润y(元)与销售单价x(元/件)之间满足我们学过的某种函数关系,请你帮他求出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围).
刷素养 走向重高

【解】(1)当 $x=150$ 时,$y=(150-80)×50=3\ 500$;当$x=130$ 时,$y=(130-80)×150=7\ 500$;当 $x=110$ 时,$y=(110-80)×250=7\ 500$;当 $x=90$ 时,$y=(90-$$80)×350=3\ 500$. 填表如下:
| 销售单价$x$(元/件) | $\dots$ | 150 | 130 | 110 | 90 | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 销售数量(件) | $\dots$ | 50 | 150 | 250 | 350 | $\dots$ |
| 销售利润$y$(元) | $\dots$ | 3 500 | 7 500 | 7 500 | 3 500 | $\dots$ |
(2)由题意得 $y=(x-80)[50+5(150-x)]=-5x^2+$$1\ 200x-64\ 000$,$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=$$-5x^2+1\ 200x-64\ 000$.

6 核心素养几何直观[较难]如图,为了绿化小区,某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.
已知:PH//AE,PK//BC,DE = 100米,EA = 60米,BC=70米,CD=80米,点P在AB上.以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,原点为O.
(1)求直线AB的表达式.
(2)若设点P的横坐标为x,矩形PKDH的面积为S,求S关于x的函数表达式(不必写出x的取值范围).

【解】(1)$\because OE=CD=80$ 米,$OC=ED=100$ 米,$AE=$$60$ 米,$BC=70$ 米,$\therefore OA=20$ 米,$OB=30$ 米,即 $A,B$的坐标分别为 $(0,20)$,$(30,0)$. 设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b$($k≠0$),则 $\begin{cases}30k+b=0,\\b=20,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=20,\end{cases}$ 则直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x+20$.
(2)根据题意,点 $P$ 的坐标可以表示为 $(x,-\frac{2}{3}x+ $$20\Bigr),\therefore PK=(100-x)$ 米,$PH=80-(-\frac{2}{3}x+20)=$$(60+\frac{2}{3}x)$ 米,$\therefore S=(100-x)· (60+\frac{2}{3}x)=$$-\frac{2}{3}x^2+\frac{20}{3}x+6\ 000$.