1[2026广东东莞期末,中]如图,点A是抛物线$y=a(x-3)^2 +k$与y轴的交点,AB//x轴交抛物线于另一点B,点C为该抛物线的顶点.若△ABC为等边三角形,则a的值为 ()

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1

(第1题图)
(第5题图)

如图,过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$.
∵ 抛物线 $y=a(x-3)^2+k$ 的对称轴为直线 $x=3$,$△ ABC$ 为等边三角形,且 $AB// x$ 轴,
∴ $AD=3$,$C(3,k)$,$∠ ACD = \frac{1}{2} ∠ ACB = 30°$,
∴ $AC=6$,
∴ $CD = 3\sqrt{3}$.
∵ 当 $x=0$ 时,$y=9a+k$,
∴ $A(0,9a+k)$,
∴ $9a+k-k=3\sqrt{3}$,
∴ $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 故选 A.

2[较难]已知抛物线$y=\frac{4}{9}(x-2)^2 -1$上的两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$满足$x_2 -x_1=3$，则下列结论正确的是（）

A.若$x_1＜\frac{1}{2}$，则$y_1＞y_2＞0$
B.若$\frac{1}{2}＜x_1＜2$，则$y_2＞y_1＞0$
C.若$x_1＜\frac{1}{2}$，则$y_1＞0＞y_2$
D.若$\frac{1}{2}＜x_1＜2$，则$y_2＞0＞y_1$

∵ $y=\frac{4}{9}(x-2)^2-1$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=2$. 当 $x_1=\frac{1}{2}$ 时,$x_2=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$,
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=2$,即点 $P$,$Q$ 关于对称轴对称,此时 $y_1=y_2$. 将 $x=\frac{1}{2}$ 代入 $y=\frac{4}{9}(x-2)^2-1$ 得 $y=0$. 当 $x_1＜\frac{1}{2}$,$x_2＞\frac{1}{2}$ 时,$y_1＞0＞y_2$,当 $x_1＜\frac{1}{2}$,$x_2＜\frac{1}{2}$ 时,$y_1＞y_2＞0$,故选项 A,C 不符合题意.
∵ $x_2-x_1=3$,
∴ $x_2=x_1+3$.
∵ $y=\frac{4}{9}(x-2)^2-1$,
∴ $y_1=\frac{4}{9}(x_1-2)^2-1$,$y_2=\frac{4}{9}(x_1+1)^2-1$,当 $\frac{1}{2}＜x_1＜2$ 时,$-\frac{3}{2}＜x_1-2＜0$,$\frac{3}{2}＜x_1+1＜3$,
∴ $-1＜\frac{4}{9}(x_1-2)^2-1＜0$,$0＜\frac{4}{9}(x_1+1)^2-1＜3$,
∴ $y_2＞0＞y_1$. 故选 D.

3[中]已知二次函数的图象经过点$P(2,2)$，顶点为$O(0,0)$，将该图象向右平移，当它再次经过点$P$时，所得抛物线的函数表达式为________。

设原来的抛物线的函数表达式为 $y=ax^2(a≠0)$. 把 $(2,2)$ 代入,得 $2=4a$,解得 $a=\frac{1}{2}$,故原来的抛物线的函数表达式是 $y=\frac{1}{2}x^2$.
设平移后的抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-b)^2$.
把 $P(2,2)$ 代入,得 $2=\frac{1}{2}(2-b)^2$,解得 $b=0$(舍去)或 $b=4$,所以平移后的抛物线的函数表达式是 $y=\frac{1}{2}(x-4)^2$. 故答案为 $y=\frac{1}{2}(x-4)^2$.

4[2026北京西城区期末,中]已知$a＞0$,设函数$y_1=a(x-1)^2,y_2=a(x-2)^2,y_3=a(x-3)^2$.直线$x=m$与函数$y_1,y_2,y_3$的图象分别交于点$A(m,c_1),B(m,c_2),C(m,c_3)$.若$c_2＜c_3＜c_1$,则$m$的取值范围是.

函数 $y_1=a(x-1)^2$,$y_2=a(x-2)^2$,$y_3=a(x-3)^2$ 图象的对称轴分别为直线 $x=1$,$x=2$,$x=3$,联立 $y_2=a(x-2)^2$ 与 $y_3=a(x-3)^2$,得 $a(x-2)^2=a(x-3)^2$,解得 $x=\frac{5}{2}$,即抛物线 $y_2=a(x-2)^2$ 与 $y_3=a(x-3)^2$ 的交点的横坐标为 $\frac{5}{2}$,同理可得,抛物线 $y_1=a(x-1)^2$ 与 $y_3=a(x-3)^2$ 的交点的横坐标为 2. 如图,由图可知,当 $2＜m＜\frac{5}{2}$ 时,$c_2＜c_3＜c_1$,故答案为 $2＜m＜\frac{5}{2}$.

5 新考法[2025江苏苏州期中，中]如图，将抛物线$y=2(x+1)^2+1$绕原点O顺时针旋转$45°$得到新曲线，新曲线与直线$y=x$交于点M，则点M的坐标为。

直线 $y=x$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $45°$ 得到直线 $x=0$,设抛物线 $y=2(x+1)^2+1$ 与 $y$ 轴的交点为 $M'$,如图,则 $OM=OM'$. 将 $x=0$ 代入 $y=2(x+1)^2+1$,得 $y=3$,
∴ $OM'=3$. 设点 $M(m,m)$.
∵ $OM=OM'=3$,
∴ $m^2+m^2=3^2$,
∴ $m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$(负值已舍去),
∴ 点 $M$ 的坐标为 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$. 故答案为 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$.

关键点拨
本题的关键是能识别出原抛物线与直线 $x = 0$ 组成的图形绕点 $O$ 顺时针旋转$45°$和新曲线与直线 $y = x$ 组成的图形完全重合,由此得到 $OM = OM'$.

6 [2025 浙江宁波调研，较难] 已知函数 $y=\begin{cases}(x-1)^2 -1 & (x＜4), \\ (x-7)^2 -1 & (x≥4),\end{cases}$ 点 $P(a, ka)$ 在该函数图象上，若这样的点 $P$ 恰好有三个，则 $k$ 的值为 ______ .

$y=\begin{cases}(x-1)^2 -1 & (x＜4), \\ (x-7)^2 -1 & (x≥4),\end{cases}$ 的图象如图所示.
∵ 点 $P(a, ka)$ 在该函数图象上,
∴ $P$ 为函数 $y=kx$ 与 $y=\begin{cases}(x-1)^2 -1 & (x＜4), \\ (x-7)^2 -1 & (x≥4),\end{cases}$ 图象的交点. 当 $x=4$ 时,$y=(4-7)^2-1=9-1=8$,分析图象可知当直线 $y=kx$ 过点 $(4,8)$ 时,符合题意,
∴ $4k=8$,
∴ $k=2$;当直线 $y=kx$ 与曲线 $y=(x-7)^2-1(x≥4)$ 有唯一交点时,符合题意,此时 $(x-7)^2-1=kx$,即 $x^2-(14+k)x+48=0$ 有两个相等的实数根,
∴ $[-(14+k)]^2-4×48=0$,解得 $k=\pm8\sqrt{3}-14$,经检验,$k=-8\sqrt{3}-14$ 不符合题意,
∴ $k=8\sqrt{3}-14$. 故答案为 $2$ 或 $8\sqrt{3}-14$.

7[2025江苏南京期末,难]如图,抛物线$y_1=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$与$y_2=a(x-4)^2-3$交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B,C两点,D,E分别为顶点,则下列结论:①$a=\frac{2}{3}$;②$AC=AE$;③$△ ABD$是等腰直角三角形;④当$x＞1$时,$y_1＞y_2$.其中正确的结论有.(填序号)

∵ 抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$ 与 $y_2=a(x-4)^2-3$ 交于点 $A(1,3)$,
∴ $3=(1-4)^2a-3$,解得 $a=\frac{2}{3}$,故①正确. 将 $y=3$ 代入 $y_2=\frac{2}{3}(x-4)^2-3$ 中,得 $3=\frac{2}{3}(x-4)^2-3$,解得 $x_1=1$,$x_2=7$,
∴ 点 $C$ 的坐标为 $(7,3)$,
∴ $AC=7-1=6$.
∵ $E$ 是抛物线 $y_2=\frac{2}{3}(x-4)^2-3$ 的顶点,
∴ $E(4,-3)$,
∴ $AE=\sqrt{(4-1)^2+(-3-3)^2}=3\sqrt{5}$,
∴ $AC≠AE$,故②错误. 将 $y=3$ 代入 $y_1=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$,得 $\frac{1}{2}(x+1)^2+1=3$,解得 $x_1=1$,$x_2=-3$,
∴ $B(-3,3)$,
∴ $AB=4$.
∵ 点 $D$ 是抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x+1)^2+1$ 的顶点,
∴ $D(-1,1)$,
∴ $AD=\sqrt{(-1-1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{[-1-(-3)]^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}$,
∴ 在 $△ ABD$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2$,$AD=BD$,
∴ $△ ABD$ 是等腰直角三角形,故③正确. 联立 $\begin{cases}y=\frac{1}{2}(x+1)^2+1, \\ y=\frac{2}{3}(x-4)^2-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1, \\ y=3,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=37, \\ y=723,\end{cases}$
∴ 两个抛物线的交点坐标为 $(1,3)$ 和 $(37,723)$,由图象可知,当 $1＜x＜37$ 时,$y_1＞y_2$,故④错误. 故答案为①③.

8[较难]如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$C_1:y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+h$分别与x轴、y轴交于点A(1,0)和点B(0,−2),连结AB,过点A作AP⊥AB且AP=AB.
(1)求点P的坐标及抛物线$C_1$的表达式;
(2)将抛物线$C_1$先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线$C_2$,请你判断点P是否在抛物线$C_2$上,并说明理由.

(1)
∵ 点 $A(1,0)$ 和点 $B(0,-2)$,
∴ $OA=1$,$OB=2$. 过 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴于 $M$,如图所示.
∵ $AB = AP$,$AP ⊥ AB$,
∴ $∠ OAB + ∠ PAM = ∠ ABO + ∠ OAB = 90°$,
∴ $∠ ABO = ∠ PAM$.
在 $△ ABO$ 和 $△ PAM$ 中, $\begin{cases}∠ AOB=∠ AMP=90°, \\ ∠ ABO=∠ PAM, \\ AB=AP,\end{cases}$
∴ $△ ABO ≌ △ PAM$,
∴ $AM=OB$,$PM=OA$,
∴ $P(3,-1)$.
∵ 点 $A(1,0)$ 和点 $B(0,-2)$ 在抛物线 $C_1:y=a(x-\frac{5}{2})^2+h$ 上,
∴ $\begin{cases}0=a(1-\frac{5}{2})^2+h, \\ -2=a(0-\frac{5}{2})^2+h,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\ h=\frac{9}{8},\end{cases}$
∴ 抛物线 $C_1$ 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{8}$.
(2)点 $P$ 在抛物线 $C_2$ 上. 理由如下:
∵ 将抛物线 $C_1$ 先向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位得到抛物线 $C_2$,
∴ 抛物线 $C_2$ 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2}+2)^2+\frac{9}{8}+1=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{8}$,
当 $x=3$ 时,$y=-\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{8}=-1$,
∴ 点 $P$ 在抛物线 $C_2$ 上.

思路分析
根据所给的函数表达式得到抛物线的开口方向、与y轴的交点坐标、对称轴及顶点坐标,从而找出错误的描述.
思路分析
(3)将B,C两点坐标分别代入函数表达式,得到a和b关于m的代数式,再根据a＞b列出不等式,解之即可得出m的取值范围.