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1 从$-2,0,π,0.101\ 001···$（每相邻两个1之间依次多一个0），$\frac{1}{7}$这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
B
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
1.B 【解析】在$-2,0,π,0. 101 001…$(每相邻两个1之间依次多一个0), $\frac{1}{7}$中, 无理数有 $π$,0.101 001…(每相邻两个1之间依次多一个0),共2个,则随机抽取一个,抽到无理数的概率是$\frac{2}{5}$. 故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题可以分两步思考：第一步先回忆无理数的定义，逐个判断给出的5个数中哪些是无理数，统计无理数的总个数；第二步回忆简单概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件包含的情况数除以所有等可能的总情况数，用无理数的个数除以数的总个数即可得到抽到无理数的概率。
【解析】
首先逐个判断各数的类型：
1. $-2$是负整数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $0.101\ 001···$（每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\frac{1}{7}$是分数，属于有理数。
统计可得无理数共有2个，总共有5个等可能被抽到的数，因此抽到无理数的概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】B
【知识点】无理数的识别；概率公式
【点评】本题属于基础题，解题核心是准确区分有理数和无理数，牢记常见无理数的类型（含$π$的数、无限不循环小数等），再结合概率公式计算即可。
【难度系数】0.7
要解决这道题可以分两步思考：第一步先回忆无理数的定义，逐个判断给出的5个数中哪些是无理数，统计无理数的总个数；第二步回忆简单概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件包含的情况数除以所有等可能的总情况数，用无理数的个数除以数的总个数即可得到抽到无理数的概率。
【解析】
首先逐个判断各数的类型：
1. $-2$是负整数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $0.101\ 001···$（每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\frac{1}{7}$是分数，属于有理数。
统计可得无理数共有2个，总共有5个等可能被抽到的数，因此抽到无理数的概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】B
【知识点】无理数的识别；概率公式
【点评】本题属于基础题，解题核心是准确区分有理数和无理数，牢记常见无理数的类型（含$π$的数、无限不循环小数等），再结合概率公式计算即可。
【难度系数】0.7
2[2025浙江杭州调研]下列四个图形中，从中任选一个是中心对称图形的概率是（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.1
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.1
答案
2.B 【解析】在从左到右的四个图形中,第二个和第四个是中心对称图形,$\therefore$ 从中任选一个是中心对称图形的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. 故选 B.
解析
【分析】
解决本题第一步要明确中心对称图形的判定标准：平面内一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合即为中心对称图形。先逐一判断4个图形是否符合中心对称图形的要求，再根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
逐个判断四个图形的属性：
1. 第一个三角形：绕任意点旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形；
2. 第二个长方形：绕对角线交点旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形；
3. 第三个五边形：绕任意点旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形；
4. 第四个圆：绕圆心旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形。
综上，4个图形中共有2个中心对称图形，任选1个图形的总等可能情况有4种，因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形识别、简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合了几何图形性质判断与概率计算两个考点，只要牢记中心对称图形的判定特征，掌握简单概率的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决本题第一步要明确中心对称图形的判定标准：平面内一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合即为中心对称图形。先逐一判断4个图形是否符合中心对称图形的要求，再根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
逐个判断四个图形的属性：
1. 第一个三角形：绕任意点旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形；
2. 第二个长方形：绕对角线交点旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形；
3. 第三个五边形：绕任意点旋转180°后无法和自身重合，不是中心对称图形；
4. 第四个圆：绕圆心旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形。
综上，4个图形中共有2个中心对称图形，任选1个图形的总等可能情况有4种，因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形识别、简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合了几何图形性质判断与概率计算两个考点，只要牢记中心对称图形的判定特征，掌握简单概率的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3[2026北京海淀区质检]九年级(1)班羽毛球小组共有四名队员，其中三名男生，一名女生。从中随机选取两人，恰好能组成一男一女搭档的概率是（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
D
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
3.D 【解析】由题意得,随机选取两人,共有(男1,男2),(男1,男3),(男1,女),(男2,男3),(男2,女),(男3,女)这6种等可能的结果,其中恰好能组成一男一女搭档的结果有3种,$\therefore P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. 故选 D.
解析
【分析】
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰可遵循三步：第一步，明确选取两人时不考虑先后顺序，采用列举法列出所有等可能的组合结果；第二步，从所有结果中筛选出恰好一男一女的结果数；第三步，直接套用概率公式“事件概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可得到答案。
【解析】
将三名男生分别记为男1、男2、男3，女生记为女。随机选取两人，所有等可能的结果为：(男1,男2)、(男1,男3)、(男1,女)、(男2,男3)、(男2,女)、(男3,女)，共6种。
其中恰好为一男一女搭档的结果有：(男1,女)、(男2,女)、(男3,女)，共3种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，故选D。
【答案】D
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题核心是做到不重不漏地列举所有等可能结果，要注意选取两人时不需要考虑先后顺序，避免出现重复计数或者漏数的错误。
【难度系数】
0.8
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰可遵循三步：第一步，明确选取两人时不考虑先后顺序，采用列举法列出所有等可能的组合结果；第二步，从所有结果中筛选出恰好一男一女的结果数；第三步，直接套用概率公式“事件概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可得到答案。
【解析】
将三名男生分别记为男1、男2、男3，女生记为女。随机选取两人，所有等可能的结果为：(男1,男2)、(男1,男3)、(男1,女)、(男2,男3)、(男2,女)、(男3,女)，共6种。
其中恰好为一男一女搭档的结果有：(男1,女)、(男2,女)、(男3,女)，共3种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，故选D。
【答案】D
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题核心是做到不重不漏地列举所有等可能结果，要注意选取两人时不需要考虑先后顺序，避免出现重复计数或者漏数的错误。
【难度系数】
0.8
4 从2 021,2 022,2 023,2 024,2 025这五个数中任意抽取三个数,抽到中位数是2 022的三个数的概率等于
$\frac{3}{10}$
.答案
4.$\frac{3}{10}$ 【解析】从2 021,2 022,2 023,2 024,2 025这五个数中任意抽取三个数为2 021,2 022,2 023;2 021,2 022,2 024;2 021,2 022,2 025;2 021,2 023,2 024;2 021,2 023,2 025;2 021,2 024,2 025;2 022,2 023,2 024;2 022,2 023,2 025;2 022,2 024,2 025;2 023,2 024,2 025,共有10种等可能的情况,其中中位数是2 022的有3种情况,$\therefore$ 抽到中位数是2 022的三个数的概率为$\frac{3}{10}$,故答案为$\frac{3}{10}$.
解析
【分析】
要计算抽到中位数是2022的三个数的概率，需遵循古典概型的解题思路：首先计算从5个数中任意抽取3个数的总等可能情况数，再统计中位数为2022的符合条件的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。思考中位数的要求：三个互不相同的数从小到大排列后中间数为2022，说明三个数中必须包含唯一比2022小的数2021，同时包含2022，第三个数从比2022大的3个数中选取即可。
【解析】
首先计算总情况数：从2021、2022、2023、2024、2025这5个数中任意抽取3个，所有等可能的情况共10种，分别为：
(2021,2022,2023)、(2021,2022,2024)、(2021,2022,2025)、(2021,2023,2024)、(2021,2023,2025)、(2021,2024,2025)、(2022,2023,2024)、(2022,2023,2025)、(2022,2024,2025)、(2023,2024,2025)。
再统计符合条件的情况：中位数为2022的三个数，排序后中间数是2022，需同时包含2021和2022，第三个数大于2022，符合的情况有(2021,2022,2023)、(2021,2022,2024)、(2021,2022,2025)，共3种。
根据古典概型概率公式，所求概率为$\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
中位数的定义，古典概型概率计算，列举法计数
【点评】
本题结合中位数概念考查概率计算，解题的核心是准确理解中位数的含义，枚举情况时要做到不重复、不遗漏，避免因统计错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
要计算抽到中位数是2022的三个数的概率，需遵循古典概型的解题思路：首先计算从5个数中任意抽取3个数的总等可能情况数，再统计中位数为2022的符合条件的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。思考中位数的要求：三个互不相同的数从小到大排列后中间数为2022，说明三个数中必须包含唯一比2022小的数2021，同时包含2022，第三个数从比2022大的3个数中选取即可。
【解析】
首先计算总情况数：从2021、2022、2023、2024、2025这5个数中任意抽取3个，所有等可能的情况共10种，分别为：
(2021,2022,2023)、(2021,2022,2024)、(2021,2022,2025)、(2021,2023,2024)、(2021,2023,2025)、(2021,2024,2025)、(2022,2023,2024)、(2022,2023,2025)、(2022,2024,2025)、(2023,2024,2025)。
再统计符合条件的情况：中位数为2022的三个数，排序后中间数是2022，需同时包含2021和2022，第三个数大于2022，符合的情况有(2021,2022,2023)、(2021,2022,2024)、(2021,2022,2025)，共3种。
根据古典概型概率公式，所求概率为$\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
中位数的定义，古典概型概率计算，列举法计数
【点评】
本题结合中位数概念考查概率计算，解题的核心是准确理解中位数的含义，枚举情况时要做到不重复、不遗漏，避免因统计错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
5[2025江苏盐城调研]从五个点$(-2,6),(-3,4),(2,6),(6,-2),(4,-2)$中任取一点,该点在双曲线$y=\frac{12}{x}$上的概率是
$\frac{1}{5}$
.答案
5.$\frac{1}{5}$ 【解析】$\because$ 五个点$(-2,6),(-3,4),(2,6)$,$(6,-2),(4,-2)$中,在双曲线$y=\frac{12}{x}$上的点有$(2,6)$,共有1个,$\therefore$ 从五个点中任取一点,该点在双曲线$y=\frac{12}{x}$上的概率是$\frac{1}{5}$,故答案为$\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
解决这道题可分两步思考：第一步，先明确反比例函数图象上点的坐标特征：由双曲线解析式$y=\frac{12}{x}$可变形得到$xy=12$，即若点在该双曲线上，横、纵坐标的乘积一定为12，我们可以用这个特征逐一验证给出的5个点，统计符合条件的点的数量；第二步，回忆简单概率的计算公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{所有等可能的总情况数}$，代入统计得到的数据计算即可得到结果。
【解析】
首先验证各点是否在双曲线$y=\frac{12}{x}$上：
1. 对$(-2,6)$：$(-2)×6=-12≠12$，不在双曲线上；
2. 对$(-3,4)$：$(-3)×4=-12≠12$，不在双曲线上；
3. 对$(2,6)$：$2×6=12$，满足$xy=12$，在双曲线上；
4. 对$(6,-2)$：$6×(-2)=-12≠12$，不在双曲线上；
5. 对$(4,-2)$：$4×(-2)=-8≠12$，不在双曲线上。
可得5个点中在双曲线上的点共1个，任取一点总共有5种等可能的情况，根据概率公式计算：
$P=\frac{符合条件的点的个数}{总点数}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 概率公式
【点评】
本题是反比例函数与概率计算结合的基础题，难度较低，只要掌握反比例函数图象上点的坐标满足对应函数解析式、会用公式计算简单事件的概率即可解题，计算横纵坐标乘积时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
解决这道题可分两步思考：第一步，先明确反比例函数图象上点的坐标特征：由双曲线解析式$y=\frac{12}{x}$可变形得到$xy=12$，即若点在该双曲线上，横、纵坐标的乘积一定为12，我们可以用这个特征逐一验证给出的5个点，统计符合条件的点的数量；第二步，回忆简单概率的计算公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{所有等可能的总情况数}$，代入统计得到的数据计算即可得到结果。
【解析】
首先验证各点是否在双曲线$y=\frac{12}{x}$上：
1. 对$(-2,6)$：$(-2)×6=-12≠12$，不在双曲线上；
2. 对$(-3,4)$：$(-3)×4=-12≠12$，不在双曲线上；
3. 对$(2,6)$：$2×6=12$，满足$xy=12$，在双曲线上；
4. 对$(6,-2)$：$6×(-2)=-12≠12$，不在双曲线上；
5. 对$(4,-2)$：$4×(-2)=-8≠12$，不在双曲线上。
可得5个点中在双曲线上的点共1个，任取一点总共有5种等可能的情况，根据概率公式计算：
$P=\frac{符合条件的点的个数}{总点数}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 概率公式
【点评】
本题是反比例函数与概率计算结合的基础题，难度较低，只要掌握反比例函数图象上点的坐标满足对应函数解析式、会用公式计算简单事件的概率即可解题，计算横纵坐标乘积时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
6 将一副三角板中的两个三角板的两条直角边重合叠放在一起，三角板AOB固定不动，三角板COD绕直角顶点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度$θ(0°＜θ＜90°)$，如图所示，当这两块三角板各有一条边互相垂直
建议用时 15分钟 答案 D85
时，在$30°,45°,60°,90°,120°,135°,165°$这七个度数中是$∠ AOC$的度数的概率为
建议用时 15分钟 答案 D85
时，在$30°,45°,60°,90°,120°,135°,165°$这七个度数中是$∠ AOC$的度数的概率为
$\frac{5}{7}$
。答案
6.$\frac{5}{7}$ 【解析】当 $OD ⊥ AB$ 时, $∠ AOC = 30° + 90° = 120°$; 当 $CD ⊥ OB$ 时, $∠ AOC = 45° + 90° = 135°$; 当 $CD ⊥ AB$ 时, $∠ AOC = 75° + 90° = 165°$; 当 $OC ⊥ AB$ 时, $∠ AOC = 30°$; 当 $CD ⊥ OA$ 时, $∠ AOC = 45°$. 故当这两块三角板各有一条边互相垂直时, $∠ AOC$ 的度数可能为 $120°,135°,165°,45°,30°$,$\therefore$ 当这两块三角板各有一条边互相垂直时,在 $30°,45°,60°,90°$,$120°,135°,165°$ 这七个度数中是 $∠ AOC$ 的度数的概率为$\frac{5}{7}$.
解析
【分析】
解题时先明确两块三角板的固定角度，再分类讨论两块三角板各有一条边互相垂直的所有情况，计算每种情况下∠AOC的度数，接着统计题干给出的7个度数中符合条件的角度个数，最后根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总候选情况数，即可求出结果。
【解析】
已知两块三角板均为直角三角板，∠AOB=∠COD=90°，∠B=30°，∠C=45°，分情况讨论垂直情形：
1. 当$OD ⊥ AB$时，$∠ AOC = 30° + 90° = 120°$；
2. 当$CD ⊥ OB$时，$∠ AOC = 45° + 90° = 135°$；
3. 当$CD ⊥ AB$时，$∠ AOC = 75° + 90° = 165°$；
4. 当$OC ⊥ AB$时，$∠ AOC = 30°$；
5. 当$CD ⊥ OA$时，$∠ AOC = 45°$。
可得符合条件的$∠ AOC$度数有$30°、45°、120°、135°、165°$，共5个；题干给出的候选度数共7个，因此所求概率为$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
概率计算，三角板角度特征，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角板旋转、垂直的性质与概率计算，需要全面考虑所有边垂直的情形，避免漏算符合条件的角度，考查几何知识的综合运用能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.6
解题时先明确两块三角板的固定角度，再分类讨论两块三角板各有一条边互相垂直的所有情况，计算每种情况下∠AOC的度数，接着统计题干给出的7个度数中符合条件的角度个数，最后根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总候选情况数，即可求出结果。
【解析】
已知两块三角板均为直角三角板，∠AOB=∠COD=90°，∠B=30°，∠C=45°，分情况讨论垂直情形：
1. 当$OD ⊥ AB$时，$∠ AOC = 30° + 90° = 120°$；
2. 当$CD ⊥ OB$时，$∠ AOC = 45° + 90° = 135°$；
3. 当$CD ⊥ AB$时，$∠ AOC = 75° + 90° = 165°$；
4. 当$OC ⊥ AB$时，$∠ AOC = 30°$；
5. 当$CD ⊥ OA$时，$∠ AOC = 45°$。
可得符合条件的$∠ AOC$度数有$30°、45°、120°、135°、165°$，共5个；题干给出的候选度数共7个，因此所求概率为$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
概率计算，三角板角度特征，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角板旋转、垂直的性质与概率计算，需要全面考虑所有边垂直的情形，避免漏算符合条件的角度，考查几何知识的综合运用能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.6
7 若$-5≤ a≤5$且$a$是整数，$a$使关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{a}{1-x}=4$的解为正数，且使关于$y$的不等式组$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1, \\2(y-a)≤0\end{cases}$的解集为$y＜-2$，则随机抽取一个$a$符合条件的概率为 ______ .
答案
7.$\frac{7}{11}$ 【解析】分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{a}{1-x}=4$ 的解为 $x=\frac{6-a}{4}$且 $x ≠ 1$.$\because$ 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x-1}+\frac{a}{1-x}=4$ 的解为正数,$\therefore \frac{6-a}{4}＞0$ 且 $\frac{6-a}{4} ≠ 1$,$\therefore a＜6$ 且 $a ≠ 2$.
$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1,①\\2(y-a)≤0,②\end{cases}$ 解不等式①,得 $y＜-2$; 解不等式②,得 $y ≤ a$.$\because$ 关于 $y$ 的不等式组$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1,\\2(y-a)≤0\end{cases}$的解集为 $y＜-2$,$\therefore a ≥ -2$.$\therefore -2 ≤ a＜6$ 且 $a ≠ 2$. 又$\because a$ 为整数,$\therefore a=-2,-1,0,1,3,4,5$.$\because -5 ≤ a ≤ 5$ 且 $a$ 是整数,$\therefore$ 随机抽取一个 $a$ 符合条件的概率为$\frac{7}{11}$. 故答案为$\frac{7}{11}$.
$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1,①\\2(y-a)≤0,②\end{cases}$ 解不等式①,得 $y＜-2$; 解不等式②,得 $y ≤ a$.$\because$ 关于 $y$ 的不等式组$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1,\\2(y-a)≤0\end{cases}$的解集为 $y＜-2$,$\therefore a ≥ -2$.$\therefore -2 ≤ a＜6$ 且 $a ≠ 2$. 又$\because a$ 为整数,$\therefore a=-2,-1,0,1,3,4,5$.$\because -5 ≤ a ≤ 5$ 且 $a$ 是整数,$\therefore$ 随机抽取一个 $a$ 符合条件的概率为$\frac{7}{11}$. 故答案为$\frac{7}{11}$.
解析
【分析】
这是一道综合概率、分式方程、一元一次不等式组的题目，解题思路如下：首先确定所有可能的a的总个数：已知$-5≤a≤5$且a是整数，先统计总取值数量；其次分别求解分式方程和不等式组，根据“分式方程解为正数”“不等式组解集为$y＜-2$”两个条件推导符合要求的a的范围，注意分式方程要排除增根（分母不为0）的情况，不等式组解集结合“同小取小”的原则判断；最后统计符合条件的a的个数，用符合条件的个数除以总个数即可得到所求概率。
【解析】
1. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{a}{1-x}=4$：
整理得$\frac{2-a}{x-1}=4$，解得$x=\frac{6-a}{4}$，且需满足$x≠1$（分母不为0）。
∵ 分式方程的解为正数，
∴ $\begin{cases}\frac{6-a}{4}＞0 \\ \frac{6-a}{4}≠1\end{cases}$，解得$a＜6$且$a≠2$。
2. 解不等式组$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1 ①\\2(y-a)≤0 ②\end{cases}$：
解不等式①：两边同乘6去分母得$2(y+2)-3y＞6$，展开合并得$-y＞2$，解得$y＜-2$；
解不等式②：得$y≤a$。
∵ 不等式组的解集为$y＜-2$，根据“同小取小”的原则，可得$a≥-2$。
3. 结合已知条件$-5≤a≤5$且a是整数，可得a的取值范围为$-2≤a≤5$且$a≠2$，符合条件的整数a为：-2、-1、0、1、3、4、5，共7个。
所有可能的a的取值为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，共11个。
∴ 随机抽取一个a符合条件的概率为$\frac{7}{11}$。
【答案】
$\frac{7}{11}$
【知识点】
分式方程的解、一元一次不等式组的解集、简单概率计算
【点评】
本题属于中等难度的小综合题，易错点有两处：一是解分式方程时容易忽略分母不为0的限制，漏掉$a≠2$的条件；二是确定不等式组解集时容易判断错a和-2的大小关系。解题时需熟练掌握分式方程增根的意义和不等式组解集的判定口诀，仔细审题避免漏条件。
【难度系数】
0.6
这是一道综合概率、分式方程、一元一次不等式组的题目，解题思路如下：首先确定所有可能的a的总个数：已知$-5≤a≤5$且a是整数，先统计总取值数量；其次分别求解分式方程和不等式组，根据“分式方程解为正数”“不等式组解集为$y＜-2$”两个条件推导符合要求的a的范围，注意分式方程要排除增根（分母不为0）的情况，不等式组解集结合“同小取小”的原则判断；最后统计符合条件的a的个数，用符合条件的个数除以总个数即可得到所求概率。
【解析】
1. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{a}{1-x}=4$：
整理得$\frac{2-a}{x-1}=4$，解得$x=\frac{6-a}{4}$，且需满足$x≠1$（分母不为0）。
∵ 分式方程的解为正数，
∴ $\begin{cases}\frac{6-a}{4}＞0 \\ \frac{6-a}{4}≠1\end{cases}$，解得$a＜6$且$a≠2$。
2. 解不等式组$\begin{cases}\frac{y+2}{3}-\frac{y}{2}＞1 ①\\2(y-a)≤0 ②\end{cases}$：
解不等式①：两边同乘6去分母得$2(y+2)-3y＞6$，展开合并得$-y＞2$，解得$y＜-2$；
解不等式②：得$y≤a$。
∵ 不等式组的解集为$y＜-2$，根据“同小取小”的原则，可得$a≥-2$。
3. 结合已知条件$-5≤a≤5$且a是整数，可得a的取值范围为$-2≤a≤5$且$a≠2$，符合条件的整数a为：-2、-1、0、1、3、4、5，共7个。
所有可能的a的取值为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，共11个。
∴ 随机抽取一个a符合条件的概率为$\frac{7}{11}$。
【答案】
$\frac{7}{11}$
【知识点】
分式方程的解、一元一次不等式组的解集、简单概率计算
【点评】
本题属于中等难度的小综合题，易错点有两处：一是解分式方程时容易忽略分母不为0的限制，漏掉$a≠2$的条件；二是确定不等式组解集时容易判断错a和-2的大小关系。解题时需熟练掌握分式方程增根的意义和不等式组解集的判定口诀，仔细审题避免漏条件。
【难度系数】
0.6
8 甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”的游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”“石头”“剪子”“布”的卡片张数分别为2,3,4,6. 两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
(3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
(3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
答案
8.【解】(1)若甲先摸,共有15张卡片可供选择,其中写有“石头”的卡片共3张,故甲摸出“石头”的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$.
(2)若甲先摸且摸出“石头”,则可供乙选择的卡片有14张,其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜,这样的卡片共有8张,故乙获胜的概率为$\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$.
(3)若甲先摸,则“锤子”“石头”“剪子”“布”四种卡片都有可能被摸出.
若甲先摸出“锤子”,则甲获胜(即乙摸出“石头”或“剪子”)的概率为$\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$;
若甲先摸出“石头”,则甲获胜(即乙摸出“剪子”)的概率为$\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$;
若甲先摸出“剪子”,则甲获胜(即乙摸出“布”)的概率为$\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$;
若甲先摸出“布”,则甲获胜(即乙摸出“锤子”或“石头”)的概率为$\frac{5}{14}$.$\because \frac{1}{2}＞\frac{3}{7}＞\frac{5}{14}＞\frac{2}{7}$,
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大.
(2)若甲先摸且摸出“石头”,则可供乙选择的卡片有14张,其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜,这样的卡片共有8张,故乙获胜的概率为$\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$.
(3)若甲先摸,则“锤子”“石头”“剪子”“布”四种卡片都有可能被摸出.
若甲先摸出“锤子”,则甲获胜(即乙摸出“石头”或“剪子”)的概率为$\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$;
若甲先摸出“石头”,则甲获胜(即乙摸出“剪子”)的概率为$\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$;
若甲先摸出“剪子”,则甲获胜(即乙摸出“布”)的概率为$\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$;
若甲先摸出“布”,则甲获胜(即乙摸出“锤子”或“石头”)的概率为$\frac{5}{14}$.$\because \frac{1}{2}＞\frac{3}{7}＞\frac{5}{14}＞\frac{2}{7}$,
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大.
解析
【分析】
(1) 第一问考查基础概率计算，根据概率公式，摸出“石头”的概率等于“石头”卡片数量除以卡片总数量，直接代入数据计算即可。
(2) 第二问是不放回抽样的概率计算，甲摸走1张“石头”后总卡片剩余14张，先根据胜负规则找出乙获胜需要摸的卡片类型，统计对应卡片总数，再除以剩余总卡片数即可得到结果。
(3) 第三问要判断摸哪种卡片获胜可能性最大，需要分别计算甲摸出四种卡片时各自的获胜概率，再比较四个概率的大小，概率最大对应的卡片即为所求。
【解析】
(1) 总共有15张卡片，其中“石头”卡片共3张，因此甲摸出“石头”的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
(2) 甲摸出“石头”后，剩余卡片总数为 $15-1=14$ 张；根据胜负规则，乙摸出“锤子”或“布”可获胜，这类卡片共有 $2+6=8$ 张，因此乙获胜的概率为 $\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$。
(3) 分别计算甲摸出四种卡片时的获胜概率：
① 甲摸出“锤子”时，剩余14张卡片，乙摸出“石头”或“剪子”甲获胜，对应卡片共 $3+4=7$ 张，获胜概率为 $\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$；
② 甲摸出“石头”时，剩余14张卡片，乙摸出“剪子”甲获胜，对应卡片共4张，获胜概率为 $\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$；
③ 甲摸出“剪子”时，剩余14张卡片，乙摸出“布”甲获胜，对应卡片共6张，获胜概率为 $\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$；
④ 甲摸出“布”时，剩余14张卡片，乙摸出“锤子”或“石头”甲获胜，对应卡片共 $2+3=5$ 张，获胜概率为 $\frac{5}{14}$。
比较大小得 $\frac{1}{2}＞\frac{3}{7}＞\frac{5}{14}＞\frac{2}{7}$，因此甲摸出“锤子”获胜的可能性最大。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{1}{5}}$
(2) $\boxed{\frac{4}{7}}$
(3) $\boxed{锤子}$
【知识点】
概率公式，不放回抽样概率，可能性大小判断
【点评】
本题结合生活中常见的游戏场景考查概率的基础应用，解题的核心是准确梳理不同胜负规则下符合要求的事件数，注意不放回抽样时总样本数会发生变化，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考查基础概率计算，根据概率公式，摸出“石头”的概率等于“石头”卡片数量除以卡片总数量，直接代入数据计算即可。
(2) 第二问是不放回抽样的概率计算，甲摸走1张“石头”后总卡片剩余14张，先根据胜负规则找出乙获胜需要摸的卡片类型，统计对应卡片总数，再除以剩余总卡片数即可得到结果。
(3) 第三问要判断摸哪种卡片获胜可能性最大，需要分别计算甲摸出四种卡片时各自的获胜概率，再比较四个概率的大小，概率最大对应的卡片即为所求。
【解析】
(1) 总共有15张卡片，其中“石头”卡片共3张，因此甲摸出“石头”的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
(2) 甲摸出“石头”后，剩余卡片总数为 $15-1=14$ 张；根据胜负规则，乙摸出“锤子”或“布”可获胜，这类卡片共有 $2+6=8$ 张，因此乙获胜的概率为 $\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$。
(3) 分别计算甲摸出四种卡片时的获胜概率：
① 甲摸出“锤子”时，剩余14张卡片，乙摸出“石头”或“剪子”甲获胜，对应卡片共 $3+4=7$ 张，获胜概率为 $\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$；
② 甲摸出“石头”时，剩余14张卡片，乙摸出“剪子”甲获胜，对应卡片共4张，获胜概率为 $\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$；
③ 甲摸出“剪子”时，剩余14张卡片，乙摸出“布”甲获胜，对应卡片共6张，获胜概率为 $\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$；
④ 甲摸出“布”时，剩余14张卡片，乙摸出“锤子”或“石头”甲获胜，对应卡片共 $2+3=5$ 张，获胜概率为 $\frac{5}{14}$。
比较大小得 $\frac{1}{2}＞\frac{3}{7}＞\frac{5}{14}＞\frac{2}{7}$，因此甲摸出“锤子”获胜的可能性最大。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{1}{5}}$
(2) $\boxed{\frac{4}{7}}$
(3) $\boxed{锤子}$
【知识点】
概率公式，不放回抽样概率，可能性大小判断
【点评】
本题结合生活中常见的游戏场景考查概率的基础应用，解题的核心是准确梳理不同胜负规则下符合要求的事件数，注意不放回抽样时总样本数会发生变化，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
