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1. 一个长方形的周长是26,这个长方形的长减小1,宽增加2,就可以成为一个正方形,设长方形的长为x,可列方程为 (
A.$x-1=(26-x)+2$
B.$x-1=(13-x)+2$
C.$x+1=(26-x)-2$
D.$x+1=(13-x)-2$
B
)A.$x-1=(26-x)+2$
B.$x-1=(13-x)+2$
C.$x+1=(26-x)-2$
D.$x+1=(13-x)-2$
答案
A
解析
用夹逼法估算无理数大小：
因为$16＜19＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$，
不等式两边同时减3，得$4-3＜\sqrt{19}-3＜5-3$，也就是$1＜\sqrt{19}-3＜2$，
因此$\sqrt{19}-3$的值在1到2之间。
因为$16＜19＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$，
不等式两边同时减3，得$4-3＜\sqrt{19}-3＜5-3$，也就是$1＜\sqrt{19}-3＜2$，
因此$\sqrt{19}-3$的值在1到2之间。
2.（青海中考）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（
A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x = π×(\dfrac{6}{2})^2 (x+5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x = π×(\dfrac{6}{2})^2 (x-5)$
C.$π×8^2 x = π×6^2 (x+5)$
D.$π×8^2 x = π×6^2 ×5$
A
）A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x = π×(\dfrac{6}{2})^2 (x+5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x = π×(\dfrac{6}{2})^2 (x-5)$
C.$π×8^2 x = π×6^2 (x+5)$
D.$π×8^2 x = π×6^2 ×5$
答案
B
解析
由点C对应的数是-2，可得OC=2。因为BC⊥AC，即∠OCB=90°，在Rt△OCB中，根据勾股定理计算得OB=√(OC²+BC²)=√(2²+1²)=√5。已知OA=OB，因此OA=√5，又因为点A在数轴的负半轴上，所以点A所表示的数是-√5。
3. 某商店出售一种体积为$36π \mathrm{ cm}^3$的橡皮小球，已知球的体积公式为$V=\dfrac{4}{3}π r^3$（$r$为球的半径），则该橡皮小球的半径为
3
cm.答案
$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$
解析
先估算$\sqrt{6}$的取值范围：
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$3＜\sqrt{6}+1＜4$。
由此可得$\sqrt{6}+1$的整数部分$a=3$，小数部分$b=(\sqrt{6}+1)-3=\sqrt{6}-2$。
将$a=3$，$b=\sqrt{6}-2$代入$\frac{a+2b}{2a}$：
$\frac{a+2b}{2a}=\frac{3+2×(\sqrt{6}-2)}{2×3}=\frac{3+2\sqrt{6}-4}{6}=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$3＜\sqrt{6}+1＜4$。
由此可得$\sqrt{6}+1$的整数部分$a=3$，小数部分$b=(\sqrt{6}+1)-3=\sqrt{6}-2$。
将$a=3$，$b=\sqrt{6}-2$代入$\frac{a+2b}{2a}$：
$\frac{a+2b}{2a}=\frac{3+2×(\sqrt{6}-2)}{2×3}=\frac{3+2\sqrt{6}-4}{6}=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$
4. 现有一把无刻度的直尺和四块完全一样的长方形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，则根据图中给出的数据可知直尺的长度是
15
cm.答案
4. 15 解析:设长方形纸片的宽为x cm,则长为2x cm,根据题意,得2x×4-1=2x+2×2x+3,解得x=2,所以直尺的长度是8x-1=8×2-1=15(cm).
解析
【分析】
本题的解题关键是抓住直尺长度固定这一不变量。首先根据长方形长是宽的2倍，设长方形的宽为未知数，可表示出长；再分别观察左右两个图形，结合标注的高度差，用含未知数的式子分别表示出直尺的长度；最后根据直尺长度相等列方程求解，代入式子即可得到直尺的长度。
【解析】
解：设长方形纸片的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长方形的长为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据直尺长度不变，列方程得：
$4×2x -1 = 2x + 2×2x +3$
化简得：$8x -1 = 6x +3$
移项合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
将$x=2$代入$8x-1$，得直尺长度为：$8×2 -1=15(\mathrm{cm})$
【答案】
15
【知识点】
一元一次方程的应用，等量关系分析，图形信息提取
【点评】
本题结合图形摆放考查方程的实际应用，需要从图形中准确提取高度差的数量关系，找到不变量列方程是解题的核心，能锻炼学生的观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
本题的解题关键是抓住直尺长度固定这一不变量。首先根据长方形长是宽的2倍，设长方形的宽为未知数，可表示出长；再分别观察左右两个图形，结合标注的高度差，用含未知数的式子分别表示出直尺的长度；最后根据直尺长度相等列方程求解，代入式子即可得到直尺的长度。
【解析】
解：设长方形纸片的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长方形的长为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据直尺长度不变，列方程得：
$4×2x -1 = 2x + 2×2x +3$
化简得：$8x -1 = 6x +3$
移项合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
将$x=2$代入$8x-1$，得直尺长度为：$8×2 -1=15(\mathrm{cm})$
【答案】
15
【知识点】
一元一次方程的应用，等量关系分析，图形信息提取
【点评】
本题结合图形摆放考查方程的实际应用，需要从图形中准确提取高度差的数量关系，找到不变量列方程是解题的核心，能锻炼学生的观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板,厨房和卫生间地面铺设瓷砖.将房间地面全部铺设完预计需要花费10 000元,其中包含安装费1 270元.若每平方米木地板和瓷砖的价格之比是5:3,求每平方米木地板和瓷砖的价格.
答案
5. 设每平方米木地板的价格为5x元,则每平方米瓷砖的价格为3x元.厨房面积:2×3=6($m^2$),卫生间面积:2×3=6($m^2$),客厅面积:(8-4)×(6-3)+6×4=36($m^2$),卧室面积:5×3=15($m^2$).由题意可得(6+6)×3x+(36+15)×5x=10 000-1 270,解得x=30,所以5x=150,3x=90.
答:每平方米木地板的价格为150元,每平方米瓷砖的价格为90元.
答:每平方米木地板的价格为150元,每平方米瓷砖的价格为90元.
解析
【分析】
要解这道题，首先需要从平面示意图中提取各区域的边长数据，计算出厨房、卫生间（铺瓷砖区域）和客厅、卧室（铺木地板区域）的面积；再根据两种建材的价格比设未知数，结合“瓷砖总费用+木地板总费用=总预算-安装费”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出未知数即可得到两种建材的单价。
【解析】
1. 计算各区域面积：
厨房为长3m、宽2m的矩形，面积：$2×3=6(\mathrm{m}^2)$
卫生间为长3m、宽2m的矩形，面积：$3×2=6(\mathrm{m}^2)$
客厅可拆分为两部分计算，总面积：$(8-4)×(6-3)+6×4=12+24=36(\mathrm{m}^2)$
卧室为长5m、宽3m的矩形，面积：$5×3=15(\mathrm{m}^2)$
2. 设未知数：
已知每平方米木地板和瓷砖的价格比为$5:3$，设每平方米木地板价格为$5x$元，每平方米瓷砖价格为$3x$元。
3. 列方程：
总材料费用为总花费减去安装费，铺瓷砖总面积为$6+6=12\mathrm{m}^2$，铺木地板总面积为$36+15=51\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(6+6)×3x+(36+15)×5x=10000-1270$
4. 解方程：
化简得：$36x+255x=8730$，即$291x=8730$，解得$x=30$
因此$5x=5×30=150$，$3x=3×30=90$
【答案】
每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元。
【知识点】
一元一次方程应用；矩形面积计算；比例应用
【点评】
本题结合房屋装修的生活场景命题，既需要学生具备从平面图形中提取有效数据计算面积的能力，也要求学生熟练掌握利用方程解决比例类实际问题的方法，解题核心是准确计算各区域面积和找准费用的等量关系。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需要从平面示意图中提取各区域的边长数据，计算出厨房、卫生间（铺瓷砖区域）和客厅、卧室（铺木地板区域）的面积；再根据两种建材的价格比设未知数，结合“瓷砖总费用+木地板总费用=总预算-安装费”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出未知数即可得到两种建材的单价。
【解析】
1. 计算各区域面积：
厨房为长3m、宽2m的矩形，面积：$2×3=6(\mathrm{m}^2)$
卫生间为长3m、宽2m的矩形，面积：$3×2=6(\mathrm{m}^2)$
客厅可拆分为两部分计算，总面积：$(8-4)×(6-3)+6×4=12+24=36(\mathrm{m}^2)$
卧室为长5m、宽3m的矩形，面积：$5×3=15(\mathrm{m}^2)$
2. 设未知数：
已知每平方米木地板和瓷砖的价格比为$5:3$，设每平方米木地板价格为$5x$元，每平方米瓷砖价格为$3x$元。
3. 列方程：
总材料费用为总花费减去安装费，铺瓷砖总面积为$6+6=12\mathrm{m}^2$，铺木地板总面积为$36+15=51\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(6+6)×3x+(36+15)×5x=10000-1270$
4. 解方程：
化简得：$36x+255x=8730$，即$291x=8730$，解得$x=30$
因此$5x=5×30=150$，$3x=3×30=90$
【答案】
每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元。
【知识点】
一元一次方程应用；矩形面积计算；比例应用
【点评】
本题结合房屋装修的生活场景命题，既需要学生具备从平面图形中提取有效数据计算面积的能力，也要求学生熟练掌握利用方程解决比例类实际问题的方法，解题核心是准确计算各区域面积和找准费用的等量关系。
【难度系数】
0.7
6. 有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20 cm，高20 cm，现内装溶液若干.当如图②放置时，测得液面高10 cm；当如图③放置时，测得液面高16 cm，则该玻璃密封器皿总容量为（
A.$1250π \ \mathrm{cm}^3$
B.$1300π \ \mathrm{cm}^3$
C.$1350π \ \mathrm{cm}^3$
D.$1400π \ \mathrm{cm}^3$
D
）A.$1250π \ \mathrm{cm}^3$
B.$1300π \ \mathrm{cm}^3$
C.$1350π \ \mathrm{cm}^3$
D.$1400π \ \mathrm{cm}^3$
答案
$\sqrt{5}-3$；$\sqrt{5}-2$
解析
1. 先判断大小：因为$\sqrt{5}\approx2.236＜3$，所以$\sqrt{5}-3＜0$，因此$|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$，它的相反数为$-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-3$。
2. 求$\sqrt{5}+2$的倒数：倒数为$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$，对其分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-2$，得$\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$。
2. 求$\sqrt{5}+2$的倒数：倒数为$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$，对其分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}-2$，得$\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$。
