1[2026河北保定期末,中]某工人加工一个机器零件(数据如图),经过测量,这个零件不符合标准.标准要求是$∠ EFD = 120°$,且$∠ A, ∠ B, ∠ E$保持不变.为了达到标准,工人应将图中$∠ D$(填“增大”或“减小”)度,横线处应分别填 ()

A.减小,15
B.增大,15
C.减小,5
D.增大,5

(第1题图)
(第2题图)

1. A 【解析】如图,延长 EF 交 CD 于 H. 由题意得∠DCE = ∠BCA = 180°-∠A-∠B=60°,
∴ ∠DHE = ∠E + ∠DCE=100°.
∵ ∠DFE = ∠D + ∠DHF,
∴ 符合标准的∠D = ∠DFE - ∠DHF = 120°-100°=20°,
∴ ∠D从35°减小到20°,减小了15°,故选 A.

2 [中]如图,在△ABC中,∠ABC = 2∠C,点 E,F 分别在边 BC,AC 上,∠FEC = 28°,∠AEF = 2∠AFE,∠ABC 的平分线与∠AEF 的平分线交于点 P,则∠P 的度数为 ()

A.62°
B.56°
C.76°
D.58°

2. B 【解析】
∵ ∠ABC=2∠C,BP平分∠ABC,
∴ ∠PBC = ∠C. 设∠C = x, 则∠PBC = x.
∵ ∠FEC=28°,
∴ ∠AFE=x+28°.
∵ ∠AEF=2∠AFE,
∴ ∠AEF=2x+56°.
∵ EP平分∠AEF,
∴ ∠FEP = x+28°.
∵ ∠PEC = ∠P + ∠PBC,
∴ x+28°+28°=∠P+x,
∴ ∠P=56°,故选 B.

3[中]如图,已知点P是射线ON上一动点(不与点O重合),∠O=30°,若△AOP为钝角三角形,则∠A的取值范围是。

3. 0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150° 【解析】由题意,分两种情况:若∠A为钝角,则90°＜∠A＜180°-30°,即90°＜∠A＜150°. 若∠A为锐角,则0°＜∠A＜90°,90°＜∠APO＜180°-30°,即90°＜∠APO＜150°,
∴ 30°＜∠APN＜90°.
∵ ∠APN=∠O+∠A,
∴ 30°＜∠A+30°＜90°,
∴ 0°＜∠A＜60°. 综上,∠A的取值范围为0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°.

4[2025浙江宁波期中，中]如图，在$△ ABC$中，三个内角的平分线交于点D，其中$∠ CAB = n°$，$∠ CBA = m°$，延长AC至点F，延长DB至点G，$∠ FCB$与$∠ CBG$的平分线交于点E，若$BE // AC$，则$\frac{4}{7}n+\frac{3}{7}m=$。

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4. 360/7 【解析】
∵ BD 平分∠CBA,且∠CBA = m°,
∴ ∠CBD=1/2∠CBA=1/2m°.
∵ 延长DB至点G,
∴ ∠CBD+∠CBG=180°,
∴ ∠CBG=180°-∠CBD=180°-1/2m°.
∵ BE平分∠CBG,
∴ ∠CBE = 1/2∠CBG = 1/2(180°-1/2m°)=90°-1/4m°.
∵ 延长AC至点F,
∴ ∠FCB是△ABC的外角.
∵ ∠CAB=n°,∠CBA=m°,
∴ ∠FCB=∠CBA+∠CAB=m°+n°. 又
∵ BE//AC,
∴ ∠FCB+∠CBE=180°,
∴ m°+n°+90°-1/4m°=180°,
∴ 3/4m +n=90,
∴ 4/7n + 3/7m =4/7(n+3/4m)=4/7×90=360/7. 故答案为360/7.

5 核心素养推理能力[难]【概念认识】如图(1),在$∠ ABC$中,若$∠ ABD=∠ DBE=∠ EBC$,则$BD$,$BE$叫作$∠ ABC$的“三分线”.其中,$BD$是“邻$AB$三分线”,$BE$是“邻$BC$三分线”.
【问题解决】
(1)如图(2),在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,$∠ B=45°$,若$∠ B$的“三分线”$BD$交$AC$于点$D$,则$∠ BDC=$;
(2)如图(3),在$△ ABC$中,$BP$,$CP$分别是$∠ ABC$的“邻$AB$三分线”和$∠ ACB$的“邻$AC$三分线”,且$BP⊥ CP$,求$∠ A$的度数;
【延伸推广】
(3)在$△ ABC$中,$∠ ACD$是$△ ABC$的外角,$∠ ABC$的“三分线”所在的直线与$∠ ACD$的“三分线”所在的直线交于点$P$.若$∠ A=m°$,$∠ ABC=n°$,请直接写出$∠ BPC$的度数.(用含$m$,$n$的代数式表示)

5.【解】(1) 如图(1),当 BD 是“邻 AB 三分线”时,∠ABD' = 1/3 × 45° = 15°,
∴ ∠BD'C = 70° + 15° = 85°; 当 BD 是“邻 BC 三分线”时,∠ABD'' = 2/3 × 45° = 30°,
∴ ∠BD''C=70°+30°=100°.故答案为 85°或 100°.

(2)
∵ BP ⊥ CP,
∴ ∠BPC = 90°,
∴ ∠PBC + ∠PCB = 90°. 又
∵ BP, CP 分别是∠ABC 的“邻 AB 三分线”和∠ACB 的“邻 AC 三分线”,
∴ ∠PBC = 2/3 ∠ABC, ∠PCB = 2/3 ∠ACB,
∴ 2/3 ∠ABC+2/3 ∠ACB=90°,
∴ ∠ABC+∠ACB=135°. 在△ABC 中, ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°,
∴ ∠A = 180°-(∠ABC+∠ACB)=45°.
(3) ∠BPC 的度数为 2/3 m°或 1/3 m°或 2/3 m°+1/3 n°或 1/3 m°-1/3 n°或 1/3 n°-1/3 m°.
分四种情况进行画图计算:
①如图(2),当 BP 和 CP 分别是“邻 AB 三分线”“邻 AC 三分线”时,∠BPC=2/3∠A=2/3 m°;

②如图(3),当 BP 和 CP 分别是“邻 BC 三分线”“邻 CD 三分线”时,∠BPC=1/3∠A=1/3 m°;

③如图(4),当 BP 和 CP 分别是“邻 BC 三分线”“邻 AC 三分线”时,∠BPC = 2/3 ∠A + 1/3 ∠ABC = 2/3 m°+1/3 n°;

④如图(5)、图(6),当∠ABC 的“邻 AB 三分线”所在直线与∠ACD 的“邻 CD 三分线”所在直线交于点 P 时,当 m＞n 时,∠BPC=1/3∠A-1/3∠ABC=1/3 m°-1/3 n°;当 m ＜ n 时, ∠BPC = 1/3 ∠ABC - 1/3 ∠A = 1/3 n° - 1/3 m°.


综上所述,∠BPC 的度数为 2/3 m°或 1/3 m°或 2/3 m°+1/3 n°或 1/3 m°-1/3 n°或 1/3 n°-1/3 m°.
思路分析
(3) 根据∠ABC 的“三分线”所在的直线与∠ACD 的“三分线”所在的直线交于点 P,分四种情况画图:情况一,当 BP 和 CP 分别是“邻 AB 三分线”“邻 AC 三分线”时;情况二,当 BP 和 CP 分别是“邻 BC 三分线”“邻 CD 三分线”时;情况三,当 BP 和 CP 分别是“邻 BC 三分线”“邻 AC 三分线”时;情况四,当∠ABC 的“邻 AB 三分线”所在直线与∠ACD 的“邻 CD 三分线”所在直线交于点 P 时,再根据 ∠A = m°,∠ABC = n°,求出 ∠BPC 的度数.