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1[中]如图，$△ ABC$中，$∠ A=65°$，直线$DE$交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，则$∠ BDE+∠ CED=$（
A.$180°$
B.$215°$
C.$235°$
D.$245°$
D
）A.$180°$
B.$215°$
C.$235°$
D.$245°$
答案
1. D 【解析】
∵ ∠A = 65°,
∴ ∠ADE + ∠AED = 180°−65° = 115°,
∴ ∠BDE + ∠CED = 360°−115° = 245°,故选 D.
∵ ∠A = 65°,
∴ ∠ADE + ∠AED = 180°−65° = 115°,
∴ ∠BDE + ∠CED = 360°−115° = 245°,故选 D.
2[中]如图，$∠ ABD$，$∠ ACD$的平分线交于点$P$，若$∠ A=55°$，$∠ D=15°$，则$∠ P$的度数为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
2. B 【解析】如图，延长 PC 交 BD 于 E.
∵ ∠ABD,∠ACD 的平分线交于点 P,
∴ ∠1=∠2,∠3 = ∠4. 由三角形的内角和定理得，∠A+∠1 = ∠P+∠3. ① 在△PBE 中，∠5 = ∠2 + ∠P, 在△DCE 中，∠5 = ∠4 − ∠D,
∴ ∠2+∠P = ∠4 − ∠D. ② ①−②得 ∠A−∠P = ∠P + ∠D,
∴ ∠P = 1/2(∠A−∠D).
∵ ∠A = 55°, ∠D = 15°,
∴ ∠P = 1/2 ( 55°−15°) = 20°. 故选 B.
∵ ∠ABD,∠ACD 的平分线交于点 P,
∴ ∠1=∠2,∠3 = ∠4. 由三角形的内角和定理得，∠A+∠1 = ∠P+∠3. ① 在△PBE 中，∠5 = ∠2 + ∠P, 在△DCE 中，∠5 = ∠4 − ∠D,
∴ ∠2+∠P = ∠4 − ∠D. ② ①−②得 ∠A−∠P = ∠P + ∠D,
∴ ∠P = 1/2(∠A−∠D).
∵ ∠A = 55°, ∠D = 15°,
∴ ∠P = 1/2 ( 55°−15°) = 20°. 故选 B.
3[中]问题情境:
如图(1)所示的图形像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样的图形叫作“规形图”.
探究发现:
(1)观察“规形图”,试探究$∠ D$与$∠ BAC,∠ B,∠ C$之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(2)请你利用以上结论,解决下列问题:
①如图(2),把一块含$45°$角的三角尺$DEF$放置在$△ ABC$上,使三角尺的两条直角边$DE$,$DF$恰好经过点$B$,$C$,若$∠ A=40°$,则$∠ ABD+∠ ACD=$
②如图(3),$BD$平分$∠ ABP$,$CD$平分$∠ ACP$,若$∠ A=40°$,$∠ P=130°$,则$∠ D$的度数为
如图(1)所示的图形像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样的图形叫作“规形图”.
探究发现:
(1)观察“规形图”,试探究$∠ D$与$∠ BAC,∠ B,∠ C$之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(2)请你利用以上结论,解决下列问题:
①如图(2),把一块含$45°$角的三角尺$DEF$放置在$△ ABC$上,使三角尺的两条直角边$DE$,$DF$恰好经过点$B$,$C$,若$∠ A=40°$,则$∠ ABD+∠ ACD=$
50
°.②如图(3),$BD$平分$∠ ABP$,$CD$平分$∠ ACP$,若$∠ A=40°$,$∠ P=130°$,则$∠ D$的度数为
85°
.答案
3.【解】(1)∠BDC = ∠BAC+∠B+∠C.
理由:如图,连接 AD 并延长至点 F.
根据外角的性质,可得∠BDF = ∠BAD+∠B,
∠CDF = ∠C+∠CAD.
又
∵ ∠BDC = ∠BDF + ∠CDF, ∠BAC = ∠BAD+∠CAD,
∴ ∠BDC = ∠BAC+∠B+∠C.
(2)①由(1)可得∠D = ∠ABD+∠ACD+∠A.
又
∵ ∠A = 40°,∠D = 90°,
∴ ∠ABD + ∠ACD = 90°−40° = 50°,故答案为 50.
②由(1)可得∠P = ∠A+∠ABP+∠ACP,∠D = ∠A+∠ABD+∠ACD,
∴ ∠ABP+∠ACP = ∠P−∠A = 130°−40° = 90°.
又
∵ BD 平分 ∠ABP, CD 平分 ∠ACP,
∴ ∠ABD+∠ACD = 1/2(∠ABP+∠ACP) = 45°,
∴ ∠D = 45°+40° = 85°. 故答案为 85°.
理由:如图,连接 AD 并延长至点 F.
根据外角的性质,可得∠BDF = ∠BAD+∠B,
∠CDF = ∠C+∠CAD.
又
∵ ∠BDC = ∠BDF + ∠CDF, ∠BAC = ∠BAD+∠CAD,
∴ ∠BDC = ∠BAC+∠B+∠C.
(2)①由(1)可得∠D = ∠ABD+∠ACD+∠A.
又
∵ ∠A = 40°,∠D = 90°,
∴ ∠ABD + ∠ACD = 90°−40° = 50°,故答案为 50.
②由(1)可得∠P = ∠A+∠ABP+∠ACP,∠D = ∠A+∠ABD+∠ACD,
∴ ∠ABP+∠ACP = ∠P−∠A = 130°−40° = 90°.
又
∵ BD 平分 ∠ABP, CD 平分 ∠ACP,
∴ ∠ABD+∠ACD = 1/2(∠ABP+∠ACP) = 45°,
∴ ∠D = 45°+40° = 85°. 故答案为 85°.
4[中]如图，$∠ A = ∠ C = 90°$，$AD$，$BC$交于点$E$，$∠ 2 = 27°$，则$∠ 1$的度数为 (
A.$53°$
B.$43°$
C.$37°$
D.$27°$
D
)A.$53°$
B.$43°$
C.$37°$
D.$27°$
答案
4. D 【解析】由对顶角相等得∠CED = ∠AEB.
∵ ∠A = ∠C = 90°,
∴ ∠CED + ∠1 = 90°,∠AEB+∠2 = 90°,
∴ ∠1 = ∠2 = 27°. 故选 D.
∵ ∠A = ∠C = 90°,
∴ ∠CED + ∠1 = 90°,∠AEB+∠2 = 90°,
∴ ∠1 = ∠2 = 27°. 故选 D.
5[中]如图，∠BAD与∠BCE的平分线交于点P，BC交AD于O，CE的反向延长线交AD于D，则∠P与∠B，∠D的数量关系是（
A.$2∠P - ∠B + ∠D = 180°$
B.$2∠P - ∠B - ∠D = 180°$
C.$2∠P + ∠B - ∠D = 180°$
D.$2∠P + ∠B + ∠D = 360°$
B
）A.$2∠P - ∠B + ∠D = 180°$
B.$2∠P - ∠B - ∠D = 180°$
C.$2∠P + ∠B - ∠D = 180°$
D.$2∠P + ∠B + ∠D = 360°$
答案
5. B 【解析】如图,设 PC 交 AD 于 G,∠PAB = ∠OAP = x,∠ECP = ∠PCB = y,则 ∠BAO = 2x,∠BCE = 2y.
∵ ∠AOB = ∠COD,∠AGP = ∠CGD,
∴ ∠B+∠BAO = ∠D+∠OCD,∠P+∠PAG = ∠D+∠GCD,
∴ {∠B+2x = ∠D+180°−2y,① ∠P+x = ∠D+180°−y,② ①−2×②,可得∠B−2∠P = −∠D−180°,则 2∠P−∠B−∠D = 180°. 故选 B.
∵ ∠AOB = ∠COD,∠AGP = ∠CGD,
∴ ∠B+∠BAO = ∠D+∠OCD,∠P+∠PAG = ∠D+∠GCD,
∴ {∠B+2x = ∠D+180°−2y,① ∠P+x = ∠D+180°−y,② ①−2×②,可得∠B−2∠P = −∠D−180°,则 2∠P−∠B−∠D = 180°. 故选 B.
