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1.(西宁中考)如图,在正五边形ABCDE内,以AB为边作等边三角形ABF,再以点A为圆心,AE长为半径画弧.若AB=3,则图中阴影部分的面积是
$\frac{6π}{5}$
.答案
1. $\frac{6π}{5}$
解析
【分析】
观察可知阴影部分为扇形AEF，求解扇形面积需先确定扇形的半径和圆心角：①先根据多边形内角和公式计算正五边形的内角度数；②结合等边三角形内角为60°的性质，求出扇形的圆心角∠EAF的度数；③明确扇形半径等于正五边形的边长，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
首先计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ EAB=108°$。
$\because△ ABF$是等边三角形，$\therefore∠ BAF=60°$，
$\therefore$扇形的圆心角$∠ EAF=∠ EAB-∠ BAF=108°-60°=48°$。
$\because$正五边形各边相等，$\therefore$扇形的半径$AE=AB=3$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{48π×3^2}{360}=\frac{48π×9}{360}=\frac{6π}{5}$。
【答案】
$\frac{6π}{5}$
【知识点】
正多边形的内角计算；等边三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，将正多边形、等边三角形的性质与扇形面积计算结合考查，解题的核心是准确求出扇形的圆心角度数，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
观察可知阴影部分为扇形AEF，求解扇形面积需先确定扇形的半径和圆心角：①先根据多边形内角和公式计算正五边形的内角度数；②结合等边三角形内角为60°的性质，求出扇形的圆心角∠EAF的度数；③明确扇形半径等于正五边形的边长，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
首先计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ EAB=108°$。
$\because△ ABF$是等边三角形，$\therefore∠ BAF=60°$，
$\therefore$扇形的圆心角$∠ EAF=∠ EAB-∠ BAF=108°-60°=48°$。
$\because$正五边形各边相等，$\therefore$扇形的半径$AE=AB=3$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{48π×3^2}{360}=\frac{48π×9}{360}=\frac{6π}{5}$。
【答案】
$\frac{6π}{5}$
【知识点】
正多边形的内角计算；等边三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，将正多边形、等边三角形的性质与扇形面积计算结合考查，解题的核心是准确求出扇形的圆心角度数，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=65°$,$AB=BC=6$,以$AB$为直径的半圆$O$交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$,连接$OE$,则阴影部分的面积为（
A.$2π$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{13}{8}π$
D.$\frac{3}{2}π$
A
）A.$2π$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{13}{8}π$
D.$\frac{3}{2}π$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手：首先根据AB=BC可判断△ABC是等腰三角形，结合已知的∠BAC度数求出顶角∠ABC的度数；再利用同圆半径相等得到OB=OE，推出△OBE为等腰三角形，进而求出扇形BOE的圆心角∠BOE的度数；最后观察图形可知阴影部分面积等于扇形BOE的面积，代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$AB=BC=6$，$∠ BAC=65°$
∴$∠ BCA=∠ BAC=65°$
∴$∠ ABC=180°-65°×2=50°$
∵OB、OE均为半圆O的半径
∴$OB=OE=\frac{1}{2}AB=3$
∴$∠ OEB=∠ OBE=50°$
∴$∠ BOE=180°-50°×2=80°$
观察图形可得阴影部分面积等于扇形BOE的面积，代入扇形面积公式：
$S_{阴影}=S_{扇形BOE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{80×π×3^2}{360}=2π$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，扇形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中阴影面积计算的基础题型，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，只要熟练掌握等腰三角形性质和扇形面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手：首先根据AB=BC可判断△ABC是等腰三角形，结合已知的∠BAC度数求出顶角∠ABC的度数；再利用同圆半径相等得到OB=OE，推出△OBE为等腰三角形，进而求出扇形BOE的圆心角∠BOE的度数；最后观察图形可知阴影部分面积等于扇形BOE的面积，代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$AB=BC=6$，$∠ BAC=65°$
∴$∠ BCA=∠ BAC=65°$
∴$∠ ABC=180°-65°×2=50°$
∵OB、OE均为半圆O的半径
∴$OB=OE=\frac{1}{2}AB=3$
∴$∠ OEB=∠ OBE=50°$
∴$∠ BOE=180°-50°×2=80°$
观察图形可得阴影部分面积等于扇形BOE的面积，代入扇形面积公式：
$S_{阴影}=S_{扇形BOE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{80×π×3^2}{360}=2π$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，扇形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中阴影面积计算的基础题型，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，只要熟练掌握等腰三角形性质和扇形面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3.【生活情境】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘).若通过测量得到AC=BD=18 cm，C，D两点之间的距离为6 cm，圆心角为$60°$，则图中摆盘的面积为
$90π$
$\mathrm{cm}^2$.答案
3. $90π$
解析
【分析】
要求摆盘（阴影部分）的面积，观察可知阴影是大扇形OAB与小扇形OCD的面积差（扇环面积）。解题思路如下：第一步，先确定两个扇形的半径：△OCD中OC=OD，且圆心角为60°，可判定△OCD是等边三角形，因此OC等于CD的长度；第二步，结合AC的长度求出大扇形的半径OA；第三步，分别代入扇形面积公式计算两个扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
设OC的长度为$ r \, \mathrm{cm} $，则大扇形半径$ OA = OC + AC = (r + 18) \, \mathrm{cm} $。
∵ $ OC = OD $，$ ∠ O = 60° $，
∴ △OCD是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $ OC = CD = 6 \, \mathrm{cm} $，即$ r = 6 $，
∴ $ OA = 6 + 18 = 24 \, \mathrm{cm} $。
根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径）：
大扇形OAB的面积：$ S_{大}=\frac{60π × 24^2}{360} = 96π \, \mathrm{cm}^2 $
小扇形OCD的面积：$ S_{小}=\frac{60π × 6^2}{360} = 6π \, \mathrm{cm}^2 $
因此阴影部分面积：$ S_{阴影}=S_{大}-S_{小}=96π - 6π = 90π \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 90π $
【知识点】
等边三角形的判定，扇形面积计算，差减法求阴影面积
【点评】
本题结合生活摆盘场景考查阴影面积的计算，解题核心是识别扇环结构，借助等边三角形性质求出小扇形半径，再用差减法计算面积，侧重对基础公式和几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
要求摆盘（阴影部分）的面积，观察可知阴影是大扇形OAB与小扇形OCD的面积差（扇环面积）。解题思路如下：第一步，先确定两个扇形的半径：△OCD中OC=OD，且圆心角为60°，可判定△OCD是等边三角形，因此OC等于CD的长度；第二步，结合AC的长度求出大扇形的半径OA；第三步，分别代入扇形面积公式计算两个扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
设OC的长度为$ r \, \mathrm{cm} $，则大扇形半径$ OA = OC + AC = (r + 18) \, \mathrm{cm} $。
∵ $ OC = OD $，$ ∠ O = 60° $，
∴ △OCD是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $ OC = CD = 6 \, \mathrm{cm} $，即$ r = 6 $，
∴ $ OA = 6 + 18 = 24 \, \mathrm{cm} $。
根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径）：
大扇形OAB的面积：$ S_{大}=\frac{60π × 24^2}{360} = 96π \, \mathrm{cm}^2 $
小扇形OCD的面积：$ S_{小}=\frac{60π × 6^2}{360} = 6π \, \mathrm{cm}^2 $
因此阴影部分面积：$ S_{阴影}=S_{大}-S_{小}=96π - 6π = 90π \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 90π $
【知识点】
等边三角形的判定，扇形面积计算，差减法求阴影面积
【点评】
本题结合生活摆盘场景考查阴影面积的计算，解题核心是识别扇环结构，借助等边三角形性质求出小扇形半径，再用差减法计算面积，侧重对基础公式和几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ BAD=120°$,$BC=4$,分别以点$B$和点$D$为圆心,线段$BD$长的一半为半径作圆弧,交$AB,BC,CD,AD$于点$E,F,G,H$,则图中阴影部分的面积为（
A.$4\sqrt{3}-2π$
B.$8\sqrt{3}-4π$
C.$8\sqrt{3}-\dfrac{16π}{3}$
D.$16\sqrt{3}-8π$
B
）A.$4\sqrt{3}-2π$
B.$8\sqrt{3}-4π$
C.$8\sqrt{3}-\dfrac{16π}{3}$
D.$16\sqrt{3}-8π$
答案
4. B
解析
【分析】
本题可采用“整体减空白”的思路求解阴影面积：首先阴影部分面积等于菱形面积减去两个扇形的面积和。第一步先利用菱形的性质求出菱形的边长、内角、对角线长度，第二步确定两个扇形的圆心角和半径，分别计算菱形面积和两个扇形的总面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
1. 由菱形性质可知：$AB=BC=CD=AD=4$，$∠ ABC=∠ ADC=180°-∠ BAD=180°-120°=60°$，对角线$BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$。
2. 求$BD$长度：过$A$作$AO⊥ BD$于$O$，在$Rt△ ABO$中，$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAD=60°$，$AB=4$，则$BO=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，故$BD=2BO=4\sqrt{3}$，因此扇形半径$r=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{3}$。
3. 计算菱形面积：菱形面积可由对角线乘积的一半计算，易知$△ ABC$为等边三角形，故$AC=4$，则$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
4. 计算两个扇形面积和：两个扇形圆心角之和为$60°+60°=120°$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$，得$S_{扇和}=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$。
5. 阴影面积：$S_{阴影}=S_{菱形ABCD}-S_{扇和}=8\sqrt{3}-4π$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是四边形与圆结合的常规题型，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，难点在于准确推导扇形的半径和圆心角，掌握基础图形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题可采用“整体减空白”的思路求解阴影面积：首先阴影部分面积等于菱形面积减去两个扇形的面积和。第一步先利用菱形的性质求出菱形的边长、内角、对角线长度，第二步确定两个扇形的圆心角和半径，分别计算菱形面积和两个扇形的总面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
1. 由菱形性质可知：$AB=BC=CD=AD=4$，$∠ ABC=∠ ADC=180°-∠ BAD=180°-120°=60°$，对角线$BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$。
2. 求$BD$长度：过$A$作$AO⊥ BD$于$O$，在$Rt△ ABO$中，$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAD=60°$，$AB=4$，则$BO=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，故$BD=2BO=4\sqrt{3}$，因此扇形半径$r=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{3}$。
3. 计算菱形面积：菱形面积可由对角线乘积的一半计算，易知$△ ABC$为等边三角形，故$AC=4$，则$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
4. 计算两个扇形面积和：两个扇形圆心角之和为$60°+60°=120°$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ r^2}{360}$，得$S_{扇和}=\frac{120π×(2\sqrt{3})^2}{360}=4π$。
5. 阴影面积：$S_{阴影}=S_{菱形ABCD}-S_{扇和}=8\sqrt{3}-4π$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是四边形与圆结合的常规题型，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，难点在于准确推导扇形的半径和圆心角，掌握基础图形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5.(青岛中考)如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2√3,点C在边OB上,且OC=AC,延长CB到点D,使CD=CA,以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为
$3\sqrt{3}-π$
(结果保留π)答案
5. $3\sqrt{3}-π$
解析
【分析】
本题可通过割补法求解阴影部分面积：观察图形可知，阴影面积可以转化为平行四边形ACDE的面积加△OAC的面积，再减去扇形AOB的面积。解题步骤如下：首先根据等腰三角形性质得到∠OAC=∠AOB=30°，过A作OB的垂线构造直角三角形，用勾股定理求出AC的长度，同时得到A到OB的高；再分别计算平行四边形、△OAC、扇形AOB的面积，最后代入面积和差公式即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC=AC，∠AOB=30°
∴∠OAC=∠AOB=30°
过点A作AH⊥OB于点H，
在Rt△AOH中，∠AOH=30°，OA=2√3
∴$AH=OA·\sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$OH=OA·\cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$
设OC=AC=x，则CH=OH-OC=3-x
在Rt△ACH中，由勾股定理得：$AC^2=AH^2+CH^2$
即$x^2=(\sqrt{3})^2+(3-x)^2$
解得x=2，故AC=OC=2
∵CD=CA，
∴CD=2
∵四边形ACDE是平行四边形，CD在OB上，AH是平行四边形的高
∴$S_{平行四边形ACDE}=CD× AH=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OC× AH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$
$S_{扇形AOB}=\frac{30°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{12}×π×(2\sqrt{3})^2=π$
∴$S_{阴影}=S_{平行四边形ACDE}+S_{△ OAC}-S_{扇形AOB}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-π=3\sqrt{3}-π$
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
割补法求阴影面积，扇形面积计算，平行四边形面积计算
【点评】
本题是圆中求阴影面积的典型题型，解题核心是将不规则的阴影面积转化为多个规则图形的面积和差，需要熟练掌握等腰三角形、直角三角形、平行四边形、扇形的相关性质和面积公式。
【难度系数】
0.6
本题可通过割补法求解阴影部分面积：观察图形可知，阴影面积可以转化为平行四边形ACDE的面积加△OAC的面积，再减去扇形AOB的面积。解题步骤如下：首先根据等腰三角形性质得到∠OAC=∠AOB=30°，过A作OB的垂线构造直角三角形，用勾股定理求出AC的长度，同时得到A到OB的高；再分别计算平行四边形、△OAC、扇形AOB的面积，最后代入面积和差公式即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC=AC，∠AOB=30°
∴∠OAC=∠AOB=30°
过点A作AH⊥OB于点H，
在Rt△AOH中，∠AOH=30°，OA=2√3
∴$AH=OA·\sin30°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$OH=OA·\cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$
设OC=AC=x，则CH=OH-OC=3-x
在Rt△ACH中，由勾股定理得：$AC^2=AH^2+CH^2$
即$x^2=(\sqrt{3})^2+(3-x)^2$
解得x=2，故AC=OC=2
∵CD=CA，
∴CD=2
∵四边形ACDE是平行四边形，CD在OB上，AH是平行四边形的高
∴$S_{平行四边形ACDE}=CD× AH=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OC× AH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$
$S_{扇形AOB}=\frac{30°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{12}×π×(2\sqrt{3})^2=π$
∴$S_{阴影}=S_{平行四边形ACDE}+S_{△ OAC}-S_{扇形AOB}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}-π=3\sqrt{3}-π$
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
割补法求阴影面积，扇形面积计算，平行四边形面积计算
【点评】
本题是圆中求阴影面积的典型题型，解题核心是将不规则的阴影面积转化为多个规则图形的面积和差，需要熟练掌握等腰三角形、直角三角形、平行四边形、扇形的相关性质和面积公式。
【难度系数】
0.6
