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10.如图，AB为半圆O的直径，OE垂直于弦AC于点D，若AB=4，∠AOE=60°，求：
(1)DE的长；
(2)阴影部分的面积.
(1)DE的长；
(2)阴影部分的面积.
答案
10. 解:(1)$\because AB$为半圆$O$的直径,$AB=4$,$\therefore OA=OE=2$. 由条件知,$∠ ADO=90°$,$∠ AOE=60°$,$\therefore ∠ DAO=30°$. $\therefore OD=\frac{1}{2}OA=1$. $\therefore DE=OE-OD=1$. $\therefore DE$的长为1.
(2)连接$OC$. $\because OE⊥ AC$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}$. $\therefore ∠ COE=∠ AOE=60°$.
$\therefore ∠ AOC=∠ AOE+∠ EOC=120°$. $\therefore S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{120π× 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$. 由勾股定理,得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
$\because OE⊥ AC$,$\therefore AC=2AD=2\sqrt{3}$. $\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 1=\sqrt{3}$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ OAC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$.
(2)连接$OC$. $\because OE⊥ AC$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}$. $\therefore ∠ COE=∠ AOE=60°$.
$\therefore ∠ AOC=∠ AOE+∠ EOC=120°$. $\therefore S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{120π× 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$. 由勾股定理,得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
$\because OE⊥ AC$,$\therefore AC=2AD=2\sqrt{3}$. $\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 1=\sqrt{3}$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ OAC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）求DE的长度：先根据直径AB的长度求出半圆半径OA、OE的长度；再由OE⊥AC得到Rt△ADO，结合∠AOE=60°推出∠DAO=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OD的长，最后用OE减去OD即可得到DE的长。
（2）求阴影部分面积：观察图形可知阴影面积等于扇形AOC的面积减去△OAC的面积。首先根据垂径定理得到$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}$，推出∠COE=∠AOE=60°，得到扇形AOC的圆心角为120°，代入扇形面积公式求出扇形面积；再用勾股定理求出AD的长，结合垂径定理得到AC的长度，求出△OAC的面积，两者相减即可得到阴影面积。
【解析】
(1)
∵AB为半圆O的直径，AB=4，
∴$OA=OE=\frac{1}{2}AB=2$。
∵OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，
又
∵∠AOE=60°，
∴∠DAO=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADO中，$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$DE=OE-OD=2-1=1$。
(2) 连接OC，
∵OE⊥AC，OE是过圆心的半径，由垂径定理得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}$，
∴∠COE=∠AOE=60°，
∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=60°+60°=120°，
∴$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{120π× 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$。
在Rt△ADO中，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵OE⊥AC，
∴$AC=2AD=2\sqrt{3}$，
∴$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× AC× OD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ OAC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $DE=1$；
(2) 阴影部分面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【知识点】
垂径定理、扇形面积计算、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中计算的常规题型，解题关键是利用垂径定理得到弧、角的等量关系，再结合直角三角形性质、面积公式求解，掌握割补法求不规则图形面积是核心。
【难度系数】
0.7
（1）求DE的长度：先根据直径AB的长度求出半圆半径OA、OE的长度；再由OE⊥AC得到Rt△ADO，结合∠AOE=60°推出∠DAO=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OD的长，最后用OE减去OD即可得到DE的长。
（2）求阴影部分面积：观察图形可知阴影面积等于扇形AOC的面积减去△OAC的面积。首先根据垂径定理得到$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}$，推出∠COE=∠AOE=60°，得到扇形AOC的圆心角为120°，代入扇形面积公式求出扇形面积；再用勾股定理求出AD的长，结合垂径定理得到AC的长度，求出△OAC的面积，两者相减即可得到阴影面积。
【解析】
(1)
∵AB为半圆O的直径，AB=4，
∴$OA=OE=\frac{1}{2}AB=2$。
∵OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，
又
∵∠AOE=60°，
∴∠DAO=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADO中，$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$DE=OE-OD=2-1=1$。
(2) 连接OC，
∵OE⊥AC，OE是过圆心的半径，由垂径定理得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}$，
∴∠COE=∠AOE=60°，
∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=60°+60°=120°，
∴$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{120π× 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$。
在Rt△ADO中，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∵OE⊥AC，
∴$AC=2AD=2\sqrt{3}$，
∴$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× AC× OD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ OAC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $DE=1$；
(2) 阴影部分面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【知识点】
垂径定理、扇形面积计算、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中计算的常规题型，解题关键是利用垂径定理得到弧、角的等量关系，再结合直角三角形性质、面积公式求解，掌握割补法求不规则图形面积是核心。
【难度系数】
0.7
11. 如图，点C在以AB为直径的$\odot O$上，连接BC.若$AB=2$，$BC=1$，则阴影部分的面积为 （
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{π}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{2π}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{π}{3}$
D.$π$
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{π}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{2π}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{π}{3}$
D.$π$
答案
11.C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察阴影部分可拆分为扇形AOC和三角形OBC两部分，分别计算两部分面积相加即可。首先根据圆的直径和已知边长判断△OBC为等边三角形，得到圆心角∠AOC的度数，再分别代入扇形面积公式和等边三角形面积公式计算，最后求和就得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，$AB=2$，
∴$\odot O$的半径$OA=OB=OC=1$，
又
∵$BC=1$，
∴$OB=OC=BC=1$，即$△ OBC$是等边三角形，
∴$∠ BOC=60°$，则$∠ AOC=180°-60°=120°$。
①计算扇形AOC的面积：
$S_{扇形AOC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×1^2}{360}=\frac{π}{3}$
②计算等边$△ OBC$的面积：
$S_{△ OBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$
③阴影部分面积为两部分之和：
$S_{阴影}=S_{扇形AOC}+S_{△ OBC}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{π}{3}$
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形判定与性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的常见题型，解题核心是将不规则阴影转化为规则的扇形和三角形的面积和，要求熟练掌握扇形面积公式和特殊三角形的面积计算方法。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察阴影部分可拆分为扇形AOC和三角形OBC两部分，分别计算两部分面积相加即可。首先根据圆的直径和已知边长判断△OBC为等边三角形，得到圆心角∠AOC的度数，再分别代入扇形面积公式和等边三角形面积公式计算，最后求和就得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，$AB=2$，
∴$\odot O$的半径$OA=OB=OC=1$，
又
∵$BC=1$，
∴$OB=OC=BC=1$，即$△ OBC$是等边三角形，
∴$∠ BOC=60°$，则$∠ AOC=180°-60°=120°$。
①计算扇形AOC的面积：
$S_{扇形AOC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×π×1^2}{360}=\frac{π}{3}$
②计算等边$△ OBC$的面积：
$S_{△ OBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$
③阴影部分面积为两部分之和：
$S_{阴影}=S_{扇形AOC}+S_{△ OBC}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{π}{3}$
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形判定与性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的常见题型，解题核心是将不规则阴影转化为规则的扇形和三角形的面积和，要求熟练掌握扇形面积公式和特殊三角形的面积计算方法。
【难度系数】
0.7
12.(镇江中考)如图，直线$l_1 // l_2$，直线$m$分别交$l_1,l_2$于点$A,B$，以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2,l_1$于直线$m$同侧的点$C,D$，$∠ ADB=35°$，$AB=9$，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于（
A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
C
）A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
答案
12.C
解析
【分析】要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧对应的圆心角度数，$r$是圆的半径。已知半径$r=AB=9$，因此解题核心是求$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠CAD$的度数：首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合$∠ADB=35°$求出$△ ABD$的内角；再通过平行线的内错角相等求出$∠ABC$的度数；接着利用等腰三角形性质求出$△ ABC$的内角，进而得到$∠CAD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：
∵以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2$、$l_1$于点$C$、$D$
∴$AB=AD=AC=9$，即圆弧的半径$r=9$
在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ADB=35°$
∴$∠ABD=∠ADB=35°$（等腰三角形等边对等角）
∴$∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-35°-35°=110°$（三角形内角和为$180°$）
∵$l_1// l_2$，$BD$为截线
∴$∠ADB=∠DBC=35°$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ABC=∠ABD+∠DBC=35°+35°=70°$
在$△ ABC$中，$AB=AC$
∴$∠ACB=∠ABC=70°$（等腰三角形等边对等角）
∴$∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°$（三角形内角和为$180°$）
∴$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠CAD=∠BAD-∠BAC=110°-40°=70°$
代入弧长公式得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{nπ r}{180}=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$
【答案】C
【知识点】弧长的计算；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】本题综合考查了平行线、等腰三角形的性质和弧长计算公式，解题的关键是准确推导弧对应的圆心角度数，计算时注意不要将圆心角的度数代错。
【难度系数】0.65
【解析】
解：
∵以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2$、$l_1$于点$C$、$D$
∴$AB=AD=AC=9$，即圆弧的半径$r=9$
在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ADB=35°$
∴$∠ABD=∠ADB=35°$（等腰三角形等边对等角）
∴$∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-35°-35°=110°$（三角形内角和为$180°$）
∵$l_1// l_2$，$BD$为截线
∴$∠ADB=∠DBC=35°$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ABC=∠ABD+∠DBC=35°+35°=70°$
在$△ ABC$中，$AB=AC$
∴$∠ACB=∠ABC=70°$（等腰三角形等边对等角）
∴$∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°$（三角形内角和为$180°$）
∴$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠CAD=∠BAD-∠BAC=110°-40°=70°$
代入弧长公式得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{nπ r}{180}=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$
【答案】C
【知识点】弧长的计算；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】本题综合考查了平行线、等腰三角形的性质和弧长计算公式，解题的关键是准确推导弧对应的圆心角度数，计算时注意不要将圆心角的度数代错。
【难度系数】0.65
13.(连云港中考)如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$∠ BAC=45°$.若$\odot O$的半径为2，则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为
$π$
.答案
13.$π$
解析
【分析】要求劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径）。已知$\odot O$的半径$r=2$，因此解题关键是求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ BAC=45°$，即可求出对应的圆心角，再代入弧长公式计算即可。
【解析】连接$OB$、$OC$。
∵ $∠ BAC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC$。
已知$∠ BAC=45°$，
∴ $∠ BOC=2×45°=90°$。
又
∵ $\odot O$的半径$r=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】$π$
【知识点】圆周角定理；弧长公式
【点评】本题是基础计算题，解题的核心是利用圆周角定理将已知的圆周角转化为弧对应的圆心角，再结合弧长公式求解，计算量小，掌握基础定理和公式即可得分。
【难度系数】0.8
【解析】连接$OB$、$OC$。
∵ $∠ BAC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC$。
已知$∠ BAC=45°$，
∴ $∠ BOC=2×45°=90°$。
又
∵ $\odot O$的半径$r=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】$π$
【知识点】圆周角定理；弧长公式
【点评】本题是基础计算题，解题的核心是利用圆周角定理将已知的圆周角转化为弧对应的圆心角，再结合弧长公式求解，计算量小，掌握基础定理和公式即可得分。
【难度系数】0.8
14.【转化思想】(成都中考)如图，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{6}$
.答案
14.$\frac{π}{6}$
解析
【分析】
解题时首先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC的形状，推导得到圆心角∠AOB的度数；再利用平行四边形对边平行的性质，得到△ABC与△ABO的面积相等，从而将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是平行四边形，⊙O半径为1，
∴ AB=OC，OA=BC，且OA=OC=OB=1，
∴ OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
∵ 平行四边形OABC中AB//OC，
∴ 点O和点C到AB的距离相等，
∴ $ S_{△ ABC} = S_{△ ABO} $，
因此阴影部分面积等于扇形OAB的面积，代入扇形面积公式：
$ S_{\mathrm{扇形}OAB} = \frac{nπ r^2}{360°} = \frac{60° × π × 1^2}{360°} = \frac{π}{6} $
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算
【点评】
本题通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则扇形面积求解，需要学生熟练掌握平行四边形、等边三角形、圆和扇形的相关性质，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC的形状，推导得到圆心角∠AOB的度数；再利用平行四边形对边平行的性质，得到△ABC与△ABO的面积相等，从而将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是平行四边形，⊙O半径为1，
∴ AB=OC，OA=BC，且OA=OC=OB=1，
∴ OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
∵ 平行四边形OABC中AB//OC，
∴ 点O和点C到AB的距离相等，
∴ $ S_{△ ABC} = S_{△ ABO} $，
因此阴影部分面积等于扇形OAB的面积，代入扇形面积公式：
$ S_{\mathrm{扇形}OAB} = \frac{nπ r^2}{360°} = \frac{60° × π × 1^2}{360°} = \frac{π}{6} $
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算
【点评】
本题通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则扇形面积求解，需要学生熟练掌握平行四边形、等边三角形、圆和扇形的相关性质，是几何面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
15. 如图，$□ ABCD$ 内接于$\odot O$，连接 $AC$，将 $AC$ 沿 $CD$ 方向平移得到 $DE$.
(1)求证: $AC$ 是$\odot O$的直径;
(2)若$\odot O$的半径为 $3$，$∠ E=50°$，求$\overset{\frown}{AD}$的长(结果保留$π$).
(1)求证: $AC$ 是$\odot O$的直径;
(2)若$\odot O$的半径为 $3$，$∠ E=50°$，求$\overset{\frown}{AD}$的长(结果保留$π$).
答案
15. 解:(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$. $\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$. $\therefore ∠ ABC=90°$. $\therefore AC$是$\odot O$的直径.
(2)连接$OD$. $\because AC$沿$CD$方向平移得到$DE$,$\therefore AC// DE$,$AC=DE$.
$\therefore$ 四边形$ACDE$是平行四边形. $\therefore ∠ ACD=∠ E=50°$.
$\therefore ∠ AOD=2∠ ACD=100°$. $\therefore \overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{100π× 3}{180}=\frac{5}{3}π$.
(2)连接$OD$. $\because AC$沿$CD$方向平移得到$DE$,$\therefore AC// DE$,$AC=DE$.
$\therefore$ 四边形$ACDE$是平行四边形. $\therefore ∠ ACD=∠ E=50°$.
$\therefore ∠ AOD=2∠ ACD=100°$. $\therefore \overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{100π× 3}{180}=\frac{5}{3}π$.
解析
【分析】
(1)要证明AC是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证明平行四边形ABCD的一个内角为90°即可。结合平行四边形对角相等、圆内接四边形对角互补的性质，可推出∠ADC=∠ABC=90°，即可得证。
(2)求弧长需要用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径），已知半径为3，因此只需求出$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角∠AOD的度数即可。根据平移的性质可得AC//DE，推出四边形ACDE是平行四边形，得到∠ACD=∠E，再结合同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOD的度数，代入公式计算即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$。
$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$。
$\therefore ∠ ABC=90°$。
$\therefore AC$是$\odot O$的直径。
(2)解：连接$OD$。
$\because AC$沿$CD$方向平移得到$DE$，$\therefore AC// DE$，$AC=DE$。
$\therefore$ 四边形$ACDE$是平行四边形，$\therefore ∠ ACD=∠ E=50°$。
根据圆周角定理，$∠ AOD=2∠ ACD=100°$。
$\therefore \overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{100π× 3}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\frac{5}{3}π$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题综合考查了平行四边形的性质、平移的性质、圆的相关性质以及弧长的计算，解题的关键是结合已知条件找到角之间的数量关系，熟记弧长计算公式。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AC是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证明平行四边形ABCD的一个内角为90°即可。结合平行四边形对角相等、圆内接四边形对角互补的性质，可推出∠ADC=∠ABC=90°，即可得证。
(2)求弧长需要用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为圆的半径），已知半径为3，因此只需求出$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角∠AOD的度数即可。根据平移的性质可得AC//DE，推出四边形ACDE是平行四边形，得到∠ACD=∠E，再结合同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOD的度数，代入公式计算即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$。
$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$。
$\therefore ∠ ABC=90°$。
$\therefore AC$是$\odot O$的直径。
(2)解：连接$OD$。
$\because AC$沿$CD$方向平移得到$DE$，$\therefore AC// DE$，$AC=DE$。
$\therefore$ 四边形$ACDE$是平行四边形，$\therefore ∠ ACD=∠ E=50°$。
根据圆周角定理，$∠ AOD=2∠ ACD=100°$。
$\therefore \overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{100π× 3}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\frac{5}{3}π$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题综合考查了平行四边形的性质、平移的性质、圆的相关性质以及弧长的计算，解题的关键是结合已知条件找到角之间的数量关系，熟记弧长计算公式。
【难度系数】
0.7
16. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，$\overset{\frown}{BD}$是以点A为圆心，AB长为半径的弧，$\overset{\frown}{CD}$是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为
$9\sqrt{3}$
.(结果保留根号)答案
16.$9\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是不规则图形面积求解问题，需采用割补转化法将阴影面积转化为规则图形的面积计算。首先根据菱形边长相等、∠A=60°的条件，可推出△ABD和△BCD均为边长为6的等边三角形；再观察阴影部分的构成：阴影面积可表示为圆心为B的扇形BCD的面积加△BCD的面积，再减去圆心为A的扇形ABD的面积；由于两个扇形的半径、圆心角均相等，面积相互抵消，因此阴影面积等于等边△BCD的面积，最后计算等边三角形面积即可。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，边长为6，
∴AB=AD=BC=CD=6，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，BD=AB=6，∠ABD=60°，
∵菱形邻角互补，
∴∠ABC=180°-∠A=120°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°，
∴△BCD是边长为6的等边三角形。
由图形可得：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}BCD(\mathrm{圆心为}B)} + S_{△ BCD} - S_{\mathrm{扇形}ABD(\mathrm{圆心为}A)}$
∵扇形ABD的圆心角为60°、半径为6，扇形BCD的圆心角为60°、半径为6，
∴$S_{\mathrm{扇形}ABD}=S_{\mathrm{扇形}BCD}$，二者相互抵消，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BCD}$
根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），代入$a=6$得：
$S_{△ BCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}$
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于平面图形面积计算的常规题型，核心是运用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积，巧妙利用两个扇形面积相等的特点简化运算，避免了无意义的扇形面积计算步骤。
【难度系数】
0.7
本题是不规则图形面积求解问题，需采用割补转化法将阴影面积转化为规则图形的面积计算。首先根据菱形边长相等、∠A=60°的条件，可推出△ABD和△BCD均为边长为6的等边三角形；再观察阴影部分的构成：阴影面积可表示为圆心为B的扇形BCD的面积加△BCD的面积，再减去圆心为A的扇形ABD的面积；由于两个扇形的半径、圆心角均相等，面积相互抵消，因此阴影面积等于等边△BCD的面积，最后计算等边三角形面积即可。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，边长为6，
∴AB=AD=BC=CD=6，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，BD=AB=6，∠ABD=60°，
∵菱形邻角互补，
∴∠ABC=180°-∠A=120°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°，
∴△BCD是边长为6的等边三角形。
由图形可得：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}BCD(\mathrm{圆心为}B)} + S_{△ BCD} - S_{\mathrm{扇形}ABD(\mathrm{圆心为}A)}$
∵扇形ABD的圆心角为60°、半径为6，扇形BCD的圆心角为60°、半径为6，
∴$S_{\mathrm{扇形}ABD}=S_{\mathrm{扇形}BCD}$，二者相互抵消，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BCD}$
根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），代入$a=6$得：
$S_{△ BCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}$
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于平面图形面积计算的常规题型，核心是运用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积，巧妙利用两个扇形面积相等的特点简化运算，避免了无意义的扇形面积计算步骤。
【难度系数】
0.7
