1.(2024·淮安)用一根小木棒与另外两根长度分别为3 cm,5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 ()

A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm

1.B

【分析】
要解决这道题，首先需要用到三角形的三边关系判断第三根小木棒的长度范围。第一步，先设第三根小木棒的长度为x cm；第二步，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，列出关于x的不等式，求出x的取值范围；第三步，对比四个选项，找出在取值范围内的选项即可。
【解析】
设这根小木棒的长度为x cm。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
即$2 ＜ x ＜ 8$
逐一分析选项：
A. $9\mathrm{cm}＞8\mathrm{cm}$，不符合范围，排除；
B. $2\mathrm{cm}＜7\mathrm{cm}＜8\mathrm{cm}$，符合范围；
C. $2\mathrm{cm}=2\mathrm{cm}$，不符合范围，排除；
D. $1\mathrm{cm}＜2\mathrm{cm}$，不符合范围，排除。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项筛选答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9

2.(2025·大连嘉汇中学月考)如图,从点A到点G,下列路径最短的是 ()


A.A→B→F→G
B.A→C→F→G
C.A→D→F→G
D.A→E→F→G

2.A

【分析】
要判断四个路径哪个最短，首先观察到所有路径都包含F→G这一公共路段，该段长度对四个选项来说是相等的，因此只需比较路径中除F→G外的部分长度即可，也就是比较A到B/C/D/E的长度与对应点到F的长度之和的大小。我们可以利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）来逐一比较这几个和的大小，就能得出最短路径。
【解析】
四个选项的路径均包含F→G段，该段长度相同，因此只需比较A→X + X→F的长度和（X分别为B、C、D、E）的大小：
1. 比较选项A和B：
$AC + CF = (AB + BC) + CF$，在$△ BCF$中，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，可得$BC + CF ＞ BF$，因此$AC + CF = AB + BC + CF ＞ AB + BF$，即B选项的前两段和大于A选项。
2. 比较选项B和C：
$AD + DF = (AC + CD) + DF$，在$△ CDF$中，由三角形三边关系得$CD + DF ＞ CF$，因此$AD + DF = AC + CD + DF ＞ AC + CF$，即C选项的前两段和大于B选项。
3. 比较选项C和D：
$AE + EF = (AD + DE) + EF$，在$△ DEF$中，由三角形三边关系得$DE + EF ＞ DF$，因此$AE + EF = AD + DE + EF ＞ AD + DF$，即D选项的前两段和大于C选项。
综上，前两段和的大小关系为：$AB+BF ＜ AC+CF ＜ AD+DF ＜ AE+EF$，加上相同的FG长度后，A选项的总路径最短。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 路径长短比较
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用问题，解题的关键是先排除公共路段，简化需要比较的内容，再结合三角形三边关系即可快速判断出最短路径。
【难度系数】
0.7

3.(2025·抚顺新宾期末)已知三角形的三边长分别为2,7,x,则x的取值范围是.

3.5＜x＜9

【分析】
本题要求三角形第三边的取值范围，解题核心是运用三角形三边关系定理。首先回忆三角形三边的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。对于已知的两条边长2和7，第三边x的取值需要同时满足大于两边的差、小于两边的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系：
任意两边之差 ＜ 第三边 ＜ 任意两边之和
已知三角形的两条边长为2和7，因此：
$7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2$
计算可得：$5 ＜ x ＜ 9$
【答案】
$\boldsymbol{5＜x＜9}$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查三角形三边关系的应用，熟练掌握三边的大小关系即可快速解题，是三角形相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.8

4.(2025·鞍山月考)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$a=4,b=6$，设$△ ABC$的周长是$x$.
(1)求$c$与$x$的取值范围；
(2)若$x$是小于18的偶数，试判断$△ ABC$的形状.

4.(1)$2＜c＜10,12＜x＜20$
(2)$△ ABC$是等腰三角形

【分析】
(1) 求第三边c的取值范围可直接运用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出c的范围后，结合周长x=a+b+c的公式，代入a、b的定值，即可通过c的范围推导得到x的取值范围。
(2) 先结合第一问得到的x的范围，以及“x是小于18的偶数”的限定条件，筛选出所有符合要求的x值，再分别计算对应c的长度，根据边长相等的特征即可判断三角形的形状。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，已知a=4，b=6，可得：
$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$
三角形周长$x = a+b+c = 4+6+c = 10+c$
将$2 ＜ c ＜ 10$不等式两边同时加10，得：
$2+10 ＜ 10+c ＜ 10+10$，即$12 ＜ x ＜ 20$
(2) 已知x是小于18的偶数，且$12 ＜ x ＜ 20$，因此x的取值为14或16：
① 当x=14时，$c = 14 - 10 = 4$，此时c=a=4，△ABC为等腰三角形；
② 当x=16时，$c = 16 - 10 = 6$，此时c=b=6，△ABC为等腰三角形。
综上，△ABC是等腰三角形。
【答案】
(1)$2＜c＜10,12＜x＜20$；(2)$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
三角形三边关系、周长计算、等腰三角形判定
【点评】
本题属于三角形边长相关的基础题型，重点考查三边关系的实际应用，解题时需注意结合限定条件筛选符合要求的边长，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7

5.【新情境·生活情境】如图，把手机放在三角形支架上就可以将其固定，用到的数学道理是（）

A.三角形的稳定性
B.对顶角相等
C.垂线段最短
D.两点之间，线段最短

5.A

【分析】
解题时首先明确题干核心信息：固定手机的支架为三角形结构，需要匹配对应的数学原理。我们可以先逐一梳理各选项知识点的适用场景：三角形的稳定性是三角形独有的结构特性，对应三角形结构稳固、不易变形的特点；对顶角相等用于角的等量关系推导；垂线段最短用于解决点到直线的最短距离问题；两点之间线段最短用于解决两点间的最短路径问题。结合三角形支架固定物体、不易变形的用途，即可对应到正确原理。
【解析】
三角形具有稳固、不易变形的特性，即三角形的稳定性，生活中很多带有三角形结构的物品都是利用了这一性质。
对各选项分析如下：
A. 三角形的稳定性，符合三角形支架固定手机的原理，该选项正确；
B. 对顶角相等多用于角度的等量证明与计算，与固定支架的用途无关，该选项错误；
C. 垂线段最短是点到直线的最短距离的依据，不符合题意，该选项错误；
D. 两点之间，线段最短是两点间最短路径的依据，与本题无关，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活常见的手机支架情境考查数学知识的实际应用，贴近生活，能够引导学生建立数学与生活的联系，体会数学的实用性。
【难度系数】
0.9

6.如图,李明家有一个已经变形的置物架,需要通过增加木条使其固定,工人师傅增加木条的数量最少为
（）


A.2根
B.3根
C.4根
D.5根

6.B

【分析】
解题的核心是利用三角形具有稳定性的性质，要让多边形结构固定，需要通过添加木条将多边形分割为若干个三角形。首先确定该置物架为六边形，思考将六边形分割为互不重叠的三角形时最少需要添加的线段数量：n边形要通过添加最少线段分割为三角形，可从一个顶点出发连接其余不相邻的顶点，添加线段的总数为n-3条，代入六边形的边数即可计算出结果。
【解析】
解：三角形具有稳定性，四边形及边数更多的多边形不具备稳定性，因此要固定六边形置物架，需要添加木条将六边形分割为多个三角形。
对于n边形，要以最少的线段将其分割为三角形，可从同一个顶点出发连接不相邻的顶点，需要添加的线段数为$n-3$条。
本题中置物架是六边形，即$n=6$，因此最少需要添加的木条数量为$6-3=3$根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性，多边形的分割
【点评】
本题是三角形稳定性在实际生活中的应用类题目，解题关键是明确固定n边形结构的本质是将其转化为多个三角形结构，掌握该规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

7.无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福.某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有.

7.稳定性

【分析】
这道题考查三角形的基本特性，解题时首先回忆三角形区别于其他多边形的特殊性质：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不会发生改变，也就是稳定性，生活中需要结构稳固的场景大多会利用三角形的这一性质。题目中托枪构成三角形是为了持枪更稳固，所以对应三角形的稳定性。
【解析】
三角形具有稳定性，即当三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全固定，不会轻易变形。本题中战士托枪时构成三角形，就是利用三角形的这一性质，让托枪的结构更稳固，因此应填稳定性。
【答案】
稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形的基础性质，贴近生活，容易理解，只要掌握三角形稳定性的特点就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

8.已知一个等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则该等腰三角形的周长为 cm。

8.10

【分析】
解决本题首先要结合等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论腰长和底边长的取值，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况能否构成三角形，排除不符合的情况后，对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长为2 cm和4 cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2 cm，底边长为4 cm，则三角形三边长为2 cm、2 cm、4 cm。
因为 $2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为4 cm，底边长为2 cm，则三角形三边长为4 cm、4 cm、2 cm。
因为 $2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
此时周长为 $4+4+2=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题考查等腰三角形相关计算，易错点是忽略三角形构成条件，直接对两种情况计算周长，解题时要注意分类讨论后必须验证三边是否满足三角形的三边关系，排除不能构成三角形的情况。
【难度系数】
0.7

9.已知四条线段的长分别为13 cm,10 cm,7 cm,5 cm,从中任取三条线段为边组成三角形,则可以组成的三角形的个数最多为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

9.C

【分析】
要解决本题，首先需要明确两个核心步骤：第一，枚举从四条线段中任取三条的所有可能组合，避免漏项；第二，利用三角形三边关系判断每个组合能否构成三角形，判断时可以用简化技巧：只需验证较小两条边的长度和是否大于最大边的长度即可，若满足则可构成三角形，反之则不能。最后统计符合要求的组合数即可得到答案。
【解析】
首先列出从4条线段中任取3条的所有组合，共4种：
①13cm，10cm，7cm；②13cm，10cm，5cm；③13cm，7cm，5cm；④10cm，7cm，5cm。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，逐一验证：
①较小两边为7cm、10cm，$7+10=17＞13$，满足要求，可组成三角形；
②较小两边为5cm、10cm，$5+10=15＞13$，满足要求，可组成三角形；
③较小两边为5cm、7cm，$5+7=12＜13$，不满足要求，不可组成三角形；
④较小两边为5cm、7cm，$5+7=12＞10$，满足要求，可组成三角形。
综上，能组成三角形的组合共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，枚举法
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是完整枚举所有可能的组合，同时利用“较小两边之和大于最大边”的技巧提升判断效率，避免出现漏解或错判的情况。
【难度系数】
0.7

10.(2025·大连甘井子区期中)如图,用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架,为了使这个框架具有稳定性,可再钉上一根细木条(图中的灰色木条).下列四种情况中,不能成功的是 ()

10.D

【分析】
我们已知三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，要让四边形框架变得稳定，添加的木条需要和原四边形的边共同构成三角形结构，利用三角形的稳定性固定整体形状。解题时我们只需逐一判断每个选项中添加灰色木条后，是否形成了三角形结构即可。
【解析】
根据三角形具有稳定性的性质，要使四边形框架稳定，添加木条后框架需包含三角形结构：
选项A：灰色木条与原四边形的右腰、下底共同构成三角形，框架具有稳定性；
选项B：灰色木条为四边形的对角线，将四边形分割为2个三角形，框架具有稳定性；
选项C：灰色木条与原四边形的左腰、上底、右腰共同构成三角形，框架具有稳定性；
选项D：灰色木条连接上底和下底，将原四边形分割为2个小四边形，没有形成三角形结构，框架不具有稳定性。
因此不能成功的是D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是三角形稳定性的实际应用类题目，解题关键是明确只要结构中包含三角形即可获得稳定性，结合图形直观判断即可，贴近生活实际，难度不高。
【难度系数】
0.8