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10.(教材P4习题T3变式)如图,在锐角三角形ABC中,D是AB上的一点,且∠BDC＜90°,DE⊥AC,垂足为E.
(1)图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.
(2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
(1)图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.
(2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
答案
10.解:(1)图中有5个三角形,分别是△ABC,△ADC,△ADE,△CDE,△BCD.
(2)锐角三角形是△ABC,△BCD,直角三角形是△ADE,△CDE,钝角三角形是△ADC.
(2)锐角三角形是△ABC,△BCD,直角三角形是△ADE,△CDE,钝角三角形是△ADC.
解析
【分析】
(1) 数三角形时可按照从小到大、固定顶点的顺序逐一查找，避免出现重复或遗漏的情况：先数单个的小三角形，再数由小三角形组合而成的大三角形。
(2) 对三角形按角分类前先明确分类标准：三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形。结合已知的DE⊥AC、△ABC是锐角三角形、∠BDC＜90°的条件，逐一推导各三角形的类型即可。
【解析】
(1) 按顺序计数：
单个的小三角形有△ADE、△CDE、△BCD；
由两个小三角形组合成的三角形有△ADC；
最大的三角形为△ABC。
综上共有5个三角形，分别是△ABC、△ADC、△ADE、△CDE、△BCD。
(2) 按分类标准判断：
① 直角三角形：
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠CED=90°，因此含直角的△ADE、△CDE是直角三角形；
② 钝角三角形：
∵∠BDC＜90°，且∠BDC与∠ADC互为邻补角，
∴∠ADC=180°-∠BDC＞90°，即△ADC含钝角，为钝角三角形；
③ 锐角三角形：已知△ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角；△BCD中∠B是锐角三角形ABC的内角为锐角，∠BDC＜90°为锐角，∠BCD也为锐角，因此△BCD是锐角三角形。
【答案】
(1) 图中有5个三角形，分别是△ABC，△ADC，△ADE，△CDE，△BCD。
(2) 锐角三角形是△ABC，△BCD；直角三角形是△ADE，△CDE；钝角三角形是△ADC。
【知识点】
三角形的识别；三角形的按角分类；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形相关的基础题，考查三角形计数和按角分类的知识，计数时按固定顺序查找可有效避免重漏，牢记三角形按角分类的判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.9
(1) 数三角形时可按照从小到大、固定顶点的顺序逐一查找，避免出现重复或遗漏的情况：先数单个的小三角形，再数由小三角形组合而成的大三角形。
(2) 对三角形按角分类前先明确分类标准：三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形。结合已知的DE⊥AC、△ABC是锐角三角形、∠BDC＜90°的条件，逐一推导各三角形的类型即可。
【解析】
(1) 按顺序计数：
单个的小三角形有△ADE、△CDE、△BCD；
由两个小三角形组合成的三角形有△ADC；
最大的三角形为△ABC。
综上共有5个三角形，分别是△ABC、△ADC、△ADE、△CDE、△BCD。
(2) 按分类标准判断：
① 直角三角形：
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠CED=90°，因此含直角的△ADE、△CDE是直角三角形；
② 钝角三角形：
∵∠BDC＜90°，且∠BDC与∠ADC互为邻补角，
∴∠ADC=180°-∠BDC＞90°，即△ADC含钝角，为钝角三角形；
③ 锐角三角形：已知△ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角；△BCD中∠B是锐角三角形ABC的内角为锐角，∠BDC＜90°为锐角，∠BCD也为锐角，因此△BCD是锐角三角形。
【答案】
(1) 图中有5个三角形，分别是△ABC，△ADC，△ADE，△CDE，△BCD。
(2) 锐角三角形是△ABC，△BCD；直角三角形是△ADE，△CDE；钝角三角形是△ADC。
【知识点】
三角形的识别；三角形的按角分类；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形相关的基础题，考查三角形计数和按角分类的知识，计数时按固定顺序查找可有效避免重漏，牢记三角形按角分类的判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.9
11.将一张三角形纸片剪成两个三角形,这两个三角形不可能（
A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
C
）A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先明确剪三角形的操作本质：沿过三角形一个顶点的直线剪开对边，会在对边的交点处形成两个和为180°的邻补角，这两个角分别是两个新三角形的内角。接下来结合三角形按角分类的特征，逐一验证每个选项是否成立，核心判断依据是邻补角的和为180°，两个角中最多只能有1个锐角。
【解析】
将三角形剪成两个三角形时，需过三角形的一个顶点作直线与对边相交，交点处形成的两个角是邻补角，二者之和为180°。
选项A：过直角三角形的直角顶点向斜边作高剪开，可得到两个直角三角形，该情况可能，排除A；
选项B：过钝角三角形的钝角顶点作非高的直线与对边相交，可得到两个钝角三角形，该情况可能，排除B；
选项C：若两个三角形都是锐角三角形，则剪开形成的两个邻补角都必须是锐角（锐角三角形的所有内角都是锐角），而两个锐角的和小于180°，与邻补角和为180°的性质矛盾，该情况不可能，符合题意；
选项D：过三角形的一个顶点作直线与对边相交，可得到一个直角三角形和一个钝角三角形，该情况可能，排除D。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；三角形的分类
【点评】
本题考查三角形相关性质的灵活应用，解题的突破口是抓住剪开后形成的邻补角和为180°的特征，结合不同类型三角形的内角特点逐一判断即可，避免仅凭直观想象判断导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确剪三角形的操作本质：沿过三角形一个顶点的直线剪开对边，会在对边的交点处形成两个和为180°的邻补角，这两个角分别是两个新三角形的内角。接下来结合三角形按角分类的特征，逐一验证每个选项是否成立，核心判断依据是邻补角的和为180°，两个角中最多只能有1个锐角。
【解析】
将三角形剪成两个三角形时，需过三角形的一个顶点作直线与对边相交，交点处形成的两个角是邻补角，二者之和为180°。
选项A：过直角三角形的直角顶点向斜边作高剪开，可得到两个直角三角形，该情况可能，排除A；
选项B：过钝角三角形的钝角顶点作非高的直线与对边相交，可得到两个钝角三角形，该情况可能，排除B；
选项C：若两个三角形都是锐角三角形，则剪开形成的两个邻补角都必须是锐角（锐角三角形的所有内角都是锐角），而两个锐角的和小于180°，与邻补角和为180°的性质矛盾，该情况不可能，符合题意；
选项D：过三角形的一个顶点作直线与对边相交，可得到一个直角三角形和一个钝角三角形，该情况可能，排除D。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；三角形的分类
【点评】
本题考查三角形相关性质的灵活应用，解题的突破口是抓住剪开后形成的邻补角和为180°的特征，结合不同类型三角形的内角特点逐一判断即可，避免仅凭直观想象判断导致出错。
【难度系数】
0.7
12.一个由多个小三角形拼成的大三角形如图所示,则图中三角形的个数为 （
A.10
B.12
C.13
D.15
C
）A.10
B.12
C.13
D.15
答案
12.C
解析
【分析】
要数出图中三角形的总个数，可采用分类计数的方法，按照三角形的边长（以小三角形的边长为1个单位）分类，分别数出不同边长的三角形数量，再相加求和，计数时注意区分尖朝上和尖朝下的三角形，避免重复或遗漏。
【解析】
我们按三角形的边长大小分类计数：
1. 边长为1的小三角形：
尖朝上的有$1+2+3=6$个，尖朝下的有$1+2=3$个，共$6+3=9$个；
2. 边长为2（由4个小三角形组成）的三角形：
仅存在尖朝上的，共$1+2=3$个；
3. 边长为3（由9个小三角形组成）的三角形：
即整个大三角形，共1个。
总个数为$9+3+1=13$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的识别，分类计数
【点评】
本题属于图形计数类题目，解题的核心是建立有序的计数逻辑，按照固定标准分类统计，能有效避免漏数、重复数的问题，锻炼有序思考的能力。
【难度系数】
0.7
要数出图中三角形的总个数，可采用分类计数的方法，按照三角形的边长（以小三角形的边长为1个单位）分类，分别数出不同边长的三角形数量，再相加求和，计数时注意区分尖朝上和尖朝下的三角形，避免重复或遗漏。
【解析】
我们按三角形的边长大小分类计数：
1. 边长为1的小三角形：
尖朝上的有$1+2+3=6$个，尖朝下的有$1+2=3$个，共$6+3=9$个；
2. 边长为2（由4个小三角形组成）的三角形：
仅存在尖朝上的，共$1+2=3$个；
3. 边长为3（由9个小三角形组成）的三角形：
即整个大三角形，共1个。
总个数为$9+3+1=13$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的识别，分类计数
【点评】
本题属于图形计数类题目，解题的核心是建立有序的计数逻辑，按照固定标准分类统计，能有效避免漏数、重复数的问题，锻炼有序思考的能力。
【难度系数】
0.7
13.有若干个三角形，测量这些三角形的内角的度数，其中有2个直角、3个钝角、22个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有
4
个.答案
13.4
解析
【分析】
解题思路梳理：首先根据三角形内角和为180°的性质，可知任意一个三角形中最多只能存在1个直角或者1个钝角，剩余两个角均为锐角；而锐角三角形的三个角都是锐角。解题时首先根据直角和钝角的数量，分别确定直角三角形、钝角三角形的个数，再计算这两类三角形一共消耗的锐角数量，用总锐角数减去已消耗的锐角数，得到所有锐角三角形的锐角总和，最后除以每个锐角三角形含有的3个锐角，即可求出锐角三角形的个数。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°可知，任意1个三角形最多有1个直角或1个钝角：
1. 共有2个直角，对应有2个直角三角形，每个直角三角形含2个锐角，这部分锐角总数为 $2×2=4$ 个；
2. 共有3个钝角，对应有3个钝角三角形，每个钝角三角形含2个锐角，这部分锐角总数为 $3×2=6$ 个；
3. 直角三角形和钝角三角形一共消耗的锐角数量为 $4+6=10$ 个；
4. 剩余的锐角均属于锐角三角形，剩余锐角数为 $22-10=12$ 个；
5. 每个锐角三角形有3个锐角，因此锐角三角形的个数为 $12÷3=4$ 个。
【答案】
4
【知识点】
三角形按角分类、三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角形分类和内角和性质考查，解题核心是明确不同类型三角形中锐角的数量限制，理清各类三角形的锐角数量关系即可顺利求解，易错点是混淆非锐角三角形和锐角三角形的锐角个数。
【难度系数】
0.7
解题思路梳理：首先根据三角形内角和为180°的性质，可知任意一个三角形中最多只能存在1个直角或者1个钝角，剩余两个角均为锐角；而锐角三角形的三个角都是锐角。解题时首先根据直角和钝角的数量，分别确定直角三角形、钝角三角形的个数，再计算这两类三角形一共消耗的锐角数量，用总锐角数减去已消耗的锐角数，得到所有锐角三角形的锐角总和，最后除以每个锐角三角形含有的3个锐角，即可求出锐角三角形的个数。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°可知，任意1个三角形最多有1个直角或1个钝角：
1. 共有2个直角，对应有2个直角三角形，每个直角三角形含2个锐角，这部分锐角总数为 $2×2=4$ 个；
2. 共有3个钝角，对应有3个钝角三角形，每个钝角三角形含2个锐角，这部分锐角总数为 $3×2=6$ 个；
3. 直角三角形和钝角三角形一共消耗的锐角数量为 $4+6=10$ 个；
4. 剩余的锐角均属于锐角三角形，剩余锐角数为 $22-10=12$ 个；
5. 每个锐角三角形有3个锐角，因此锐角三角形的个数为 $12÷3=4$ 个。
【答案】
4
【知识点】
三角形按角分类、三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角形分类和内角和性质考查，解题核心是明确不同类型三角形中锐角的数量限制，理清各类三角形的锐角数量关系即可顺利求解，易错点是混淆非锐角三角形和锐角三角形的锐角个数。
【难度系数】
0.7
14.(教材P4习题T5变式)如图,直线a上有点A,B,直线b上有点C,D,E,F.以这6个点中的任意3个点作为三角形的顶点,一共可以组成多少个三角形?请分别写出它们.
答案
14.解:一共可以组成16个三角形,分别是△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF,△BCD,△BCE,△BCF,△BDE,△BDF,△BEF,△CAB,△DAB,△EAB,△FAB.
解析
【分析】
要构成三角形，三个顶点不能在同一条直线上，本题中所有点分布在直线a、b两条直线上，因此可分两类情况计数：①从直线a上选2个点，直线b上选1个点；②从直线a上选1个点，直线b上选2个点，两类情况的数量相加即为三角形总个数，最后按顺序枚举所有三角形即可，计数时注意避免重复、遗漏。
【解析】
解：根据三角形的构成条件，共线的三点无法组成三角形，因此分两类计算：
1. 从直线a上取2个点，直线b上取1个点：
直线a上共有A、B2个点，取2个点仅1种组合，直线b上有C、D、E、F4个点，取1个点共4种选择，此类可组成4个三角形，分别为△CAB、△DAB、△EAB、△FAB。
2. 从直线a上取1个点，直线b上取2个点：
直线a上取1个点有A、B2种选择；直线b上4个点取2个点，共有CD、CE、CF、DE、DF、EF共6种组合：
① 取点A时，对应三角形为△ACD、△ACE、△ACF、△ADE、△ADF、△AEF，共6个；
② 取点B时，对应三角形为△BCD、△BCE、△BCF、△BDE、△BDF、△BEF，共6个；
此类共6+6=12个三角形。
总个数为4+12=16个，所有三角形如上所列。
【答案】
一共可以组成16个三角形,分别是△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF,△BCD,△BCE,△BCF,△BDE,△BDF,△BEF,△CAB,△DAB,△EAB,△FAB。
【知识点】
1.三角形构成条件 2.分类计数 3.有序枚举
【点评】
本题是三角形概念的基础应用题，解题的核心是明确共线三点无法构成三角形，通过分类讨论的思路有序计数，可有效避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
要构成三角形，三个顶点不能在同一条直线上，本题中所有点分布在直线a、b两条直线上，因此可分两类情况计数：①从直线a上选2个点，直线b上选1个点；②从直线a上选1个点，直线b上选2个点，两类情况的数量相加即为三角形总个数，最后按顺序枚举所有三角形即可，计数时注意避免重复、遗漏。
【解析】
解：根据三角形的构成条件，共线的三点无法组成三角形，因此分两类计算：
1. 从直线a上取2个点，直线b上取1个点：
直线a上共有A、B2个点，取2个点仅1种组合，直线b上有C、D、E、F4个点，取1个点共4种选择，此类可组成4个三角形，分别为△CAB、△DAB、△EAB、△FAB。
2. 从直线a上取1个点，直线b上取2个点：
直线a上取1个点有A、B2种选择；直线b上4个点取2个点，共有CD、CE、CF、DE、DF、EF共6种组合：
① 取点A时，对应三角形为△ACD、△ACE、△ACF、△ADE、△ADF、△AEF，共6个；
② 取点B时，对应三角形为△BCD、△BCE、△BCF、△BDE、△BDF、△BEF，共6个；
此类共6+6=12个三角形。
总个数为4+12=16个，所有三角形如上所列。
【答案】
一共可以组成16个三角形,分别是△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF,△BCD,△BCE,△BCF,△BDE,△BDF,△BEF,△CAB,△DAB,△EAB,△FAB。
【知识点】
1.三角形构成条件 2.分类计数 3.有序枚举
【点评】
本题是三角形概念的基础应用题，解题的核心是明确共线三点无法构成三角形，通过分类讨论的思路有序计数，可有效避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
15.【从特殊到一般】如图,在$△ ABC$中,$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$为$AC$边上不同的$n$个点(不与点$A,C$重合),首先连接$BA_1$,图中有3个不同的三角形,再连接$BA_2$,图中有6个不同的三角形……
(1)完成下表:
连接点的个数 1 2 3 4 5
三角形的个数
(2)若连接$n$个点,即连接$BA_1,BA_2,BA_3,\dots,BA_n$,则图中三角形的个数为
(1)完成下表:
连接点的个数 1 2 3 4 5
三角形的个数
(2)若连接$n$个点,即连接$BA_1,BA_2,BA_3,\dots,BA_n$,则图中三角形的个数为
$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
(用含$n$的代数式表示).答案
15.(1)[图1]
(2)$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
(2)$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
解析
【分析】
我们观察发现，图中所有三角形都以B为公共顶点，另外两个顶点都在AC边上，因此三角形的总个数等于AC边上不同线段的总条数。数线段时，若一条直线上有m个点，线段总条数为从(m-1)开始依次递减加到1的和，我们可以先通过前几个连接点的数量找到计数规律，再推广到一般情况。
【解析】
(1) 当连接1个点时，AC边上共有3个点（A、A₁、C），线段条数为2+1=3，对应三角形个数3；
当连接2个点时，AC边上共有4个点（A、A₁、A₂、C），线段条数为3+2+1=6，对应三角形个数6；
当连接3个点时，AC边上共有5个点，线段条数为4+3+2+1=10，对应三角形个数10；
当连接4个点时，AC边上共有6个点，线段条数为5+4+3+2+1=15，对应三角形个数15；
当连接5个点时，AC边上共有7个点，线段条数为6+5+4+3+2+1=21，对应三角形个数21。
因此表格中从左到右依次填3、6、10、15、21。
(2) 当连接n个点时，AC边上总共有(n+2)个点（包含端点A、C），线段总条数为：
$(n+1)+n+(n-1)+\dots+2+1$
根据求和规律，连续正整数相加的和为（首项+末项）×项数÷2，这里首项1，末项n+1，项数n+1，代入得：
$\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
【答案】
(1) 表格中从左到右依次填：3、6、10、15、21
(2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
【知识点】
三角形的概念；图形计数；规律探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，解题关键是将三角形计数转化为AC边上的线段计数，掌握线段计数的规律即可快速推导结论，同时要注意代数式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
我们观察发现，图中所有三角形都以B为公共顶点，另外两个顶点都在AC边上，因此三角形的总个数等于AC边上不同线段的总条数。数线段时，若一条直线上有m个点，线段总条数为从(m-1)开始依次递减加到1的和，我们可以先通过前几个连接点的数量找到计数规律，再推广到一般情况。
【解析】
(1) 当连接1个点时，AC边上共有3个点（A、A₁、C），线段条数为2+1=3，对应三角形个数3；
当连接2个点时，AC边上共有4个点（A、A₁、A₂、C），线段条数为3+2+1=6，对应三角形个数6；
当连接3个点时，AC边上共有5个点，线段条数为4+3+2+1=10，对应三角形个数10；
当连接4个点时，AC边上共有6个点，线段条数为5+4+3+2+1=15，对应三角形个数15；
当连接5个点时，AC边上共有7个点，线段条数为6+5+4+3+2+1=21，对应三角形个数21。
因此表格中从左到右依次填3、6、10、15、21。
(2) 当连接n个点时，AC边上总共有(n+2)个点（包含端点A、C），线段总条数为：
$(n+1)+n+(n-1)+\dots+2+1$
根据求和规律，连续正整数相加的和为（首项+末项）×项数÷2，这里首项1，末项n+1，项数n+1，代入得：
$\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
【答案】
(1) 表格中从左到右依次填：3、6、10、15、21
(2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
【知识点】
三角形的概念；图形计数；规律探究
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，解题关键是将三角形计数转化为AC边上的线段计数，掌握线段计数的规律即可快速推导结论，同时要注意代数式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
