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11.从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条.若将得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形,则x的值可能为 （
A.2
B.2.5
C.3
D.6
C
）A.2
B.2.5
C.3
D.6
答案
11.C
解析
【分析】首先确定三根木条的长度分别为x米、x米、(10-2x)米，要构成三角形需满足两个条件：一是所有边长都为正数，二是任意两边之和大于第三边。据此列出关于x的不等式，求解出x的取值范围后，对照选项选出符合要求的数值即可。
【解析】由题意得，截取后三根木条的长度分别为x m、x m、(10-2x)m。
根据三角形的构成条件，列不等式组：
1. 边长为正：$10-2x＞0$，解得$x＜5$；
2. 两边之和大于第三边：$x+x＞10-2x$，
移项合并得$4x＞10$，解得$x＞2.5$。
因此x的取值范围是$2.5＜x＜5$。
逐一判断选项：
A选项2＜2.5，不符合；B选项2.5为边界值，此时三边为2.5、2.5、5，$2.5+2.5=5$，无法构成三角形，不符合；C选项3在$2.5＜x＜5$范围内，符合要求；D选项6＞5，不符合。
故选C。
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题时需注意不仅要满足三边的大小关系，还要保证所有边长均为正数，同时边界值无法构成三角形，不要误选B选项。
【难度系数】0.7
【解析】由题意得，截取后三根木条的长度分别为x m、x m、(10-2x)m。
根据三角形的构成条件，列不等式组：
1. 边长为正：$10-2x＞0$，解得$x＜5$；
2. 两边之和大于第三边：$x+x＞10-2x$，
移项合并得$4x＞10$，解得$x＞2.5$。
因此x的取值范围是$2.5＜x＜5$。
逐一判断选项：
A选项2＜2.5，不符合；B选项2.5为边界值，此时三边为2.5、2.5、5，$2.5+2.5=5$，无法构成三角形，不符合；C选项3在$2.5＜x＜5$范围内，符合要求；D选项6＞5，不符合。
故选C。
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题时需注意不仅要满足三边的大小关系，还要保证所有边长均为正数，同时边界值无法构成三角形，不要误选B选项。
【难度系数】0.7
12.如图,在同一平面内,将长度分别为1,5,1,1,d的线段首尾顺次相接组成凸五边形,则d的值可能是 (
A.1
B.2
C.7
D.8
C
)A.1
B.2
C.7
D.8
答案
12.C
解析
【分析】
要确定d的取值范围，我们可以利用两点之间线段最短的性质：凸多边形中任意一条边的长度，一定小于其余所有边的长度之和（其余边是连接这条边两个端点的折线，长度必然大于两点间的线段长度）。我们需要分别考虑已知的最长边5和未知边d作为最长边的两种情况，列不等式求出d的范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据凸多边形的边长性质：任意一边的长度小于其余各边长度之和。
1. 若d为五边形的最长边，则d ＜ 其余四条边的长度和，即：
$d ＜ 1 + 5 + 1 + 1 = 8$
2. 若长度为5的边为五边形的最长边，则5 ＜ 其余四条边的长度和，即：
$5 ＜ 1 + 1 + 1 + d$
解得：$d ＞ 2$
综上，d的取值范围是$2 ＜ d ＜ 8$。
观察选项，只有7在该范围内，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 凸多边形边长性质
【点评】
本题将两点之间线段最短的基础性质推广到凸多边形的边长判断，解题关键是要考虑到最长边的两种可能性，避免漏解导致范围计算错误。
【难度系数】
0.65
要确定d的取值范围，我们可以利用两点之间线段最短的性质：凸多边形中任意一条边的长度，一定小于其余所有边的长度之和（其余边是连接这条边两个端点的折线，长度必然大于两点间的线段长度）。我们需要分别考虑已知的最长边5和未知边d作为最长边的两种情况，列不等式求出d的范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据凸多边形的边长性质：任意一边的长度小于其余各边长度之和。
1. 若d为五边形的最长边，则d ＜ 其余四条边的长度和，即：
$d ＜ 1 + 5 + 1 + 1 = 8$
2. 若长度为5的边为五边形的最长边，则5 ＜ 其余四条边的长度和，即：
$5 ＜ 1 + 1 + 1 + d$
解得：$d ＞ 2$
综上，d的取值范围是$2 ＜ d ＜ 8$。
观察选项，只有7在该范围内，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 凸多边形边长性质
【点评】
本题将两点之间线段最短的基础性质推广到凸多边形的边长判断，解题关键是要考虑到最长边的两种可能性，避免漏解导致范围计算错误。
【难度系数】
0.65
13.(2025·营口月考)已知a,b,c分别为△ABC的三边长.化简:|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a+b|.
答案
13.$-a+b+3c$
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需根据绝对值的性质判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号合并同类项。本题中a、b、c是三角形的三边，可先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内式子的正负，再逐步化简计算即可。
【解析】
解：
∵a、b、c为△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$b+c＞a$，$a+c＞b$，$a+b＞c$
∴分别判断绝对值内式子的符号：
$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
$b-c-a=b-(c+a)＜0$，
$c-a+b=(b+c)-a＞0$
根据绝对值的性质，去绝对值得：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
$|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a$
$|c-a+b|=c-a+b$
将上述结果相加：
原式$=(-a+b+c)+(-b+c+a)+(c-a+b)$
$=-a+b+c-b+c+a+c-a+b$
合并同类项得：
原式$=-a+b+3c$
【答案】
$-a+b+3c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题核心是先借助三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的式子，首先需根据绝对值的性质判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号合并同类项。本题中a、b、c是三角形的三边，可先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内式子的正负，再逐步化简计算即可。
【解析】
解：
∵a、b、c为△ABC的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$b+c＞a$，$a+c＞b$，$a+b＞c$
∴分别判断绝对值内式子的符号：
$a-b-c=a-(b+c)＜0$，
$b-c-a=b-(c+a)＜0$，
$c-a+b=(b+c)-a＞0$
根据绝对值的性质，去绝对值得：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
$|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a$
$|c-a+b|=c-a+b$
将上述结果相加：
原式$=(-a+b+c)+(-b+c+a)+(c-a+b)$
$=-a+b+c-b+c+a+c-a+b$
合并同类项得：
原式$=-a+b+3c$
【答案】
$-a+b+3c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题核心是先借助三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14.用一条长为18 cm 的细绳能围成一个其中一边长为5 cm 的等腰三角形吗？若能，求出另外两边的长；若不能，请说明理由.
答案
14.能.另外两边的长分别为5 cm,8 cm或$\dfrac{13}{2}$ cm,$\dfrac{13}{2}$ cm
解析
【分析】
解题时首先明确等腰三角形两腰长度相等，题目给出的5cm边长未明确是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算另外两边的长度，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断计算出的三边能否构成三角形，同时保证周长为18cm，最终得出结论。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当5cm的边为腰长时：
底边长为 $18 - 5 × 2 = 8$（cm）
此时三边长为5cm、5cm、8cm，验证三边关系：$5+5＞8$，$5+8＞5$，满足三角形任意两边之和大于第三边，可构成三角形，另外两边长为5cm、8cm。
② 当5cm的边为底边长时：
腰长为 $\dfrac{18-5}{2} = \dfrac{13}{2}$（cm）
此时三边长为$\dfrac{13}{2}$cm、$\dfrac{13}{2}$cm、5cm，验证三边关系：$\dfrac{13}{2}+\dfrac{13}{2}=13＞5$，$\dfrac{13}{2}+5=\dfrac{23}{2}＞\dfrac{13}{2}$，满足三角形三边关系，可构成三角形，另外两边长为$\dfrac{13}{2}$cm、$\dfrac{13}{2}$cm。
【答案】
能.另外两边的长分别为5 cm,8 cm或$\dfrac{13}{2}$ cm,$\dfrac{13}{2}$ cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是遗漏对已知边是腰还是底边的分类讨论，或是未通过三边关系验证边长的合理性，解题时要养成分类讨论后验证的习惯，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确等腰三角形两腰长度相等，题目给出的5cm边长未明确是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算另外两边的长度，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断计算出的三边能否构成三角形，同时保证周长为18cm，最终得出结论。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当5cm的边为腰长时：
底边长为 $18 - 5 × 2 = 8$（cm）
此时三边长为5cm、5cm、8cm，验证三边关系：$5+5＞8$，$5+8＞5$，满足三角形任意两边之和大于第三边，可构成三角形，另外两边长为5cm、8cm。
② 当5cm的边为底边长时：
腰长为 $\dfrac{18-5}{2} = \dfrac{13}{2}$（cm）
此时三边长为$\dfrac{13}{2}$cm、$\dfrac{13}{2}$cm、5cm，验证三边关系：$\dfrac{13}{2}+\dfrac{13}{2}=13＞5$，$\dfrac{13}{2}+5=\dfrac{23}{2}＞\dfrac{13}{2}$，满足三角形三边关系，可构成三角形，另外两边长为$\dfrac{13}{2}$cm、$\dfrac{13}{2}$cm。
【答案】
能.另外两边的长分别为5 cm,8 cm或$\dfrac{13}{2}$ cm,$\dfrac{13}{2}$ cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是遗漏对已知边是腰还是底边的分类讨论，或是未通过三边关系验证边长的合理性，解题时要养成分类讨论后验证的习惯，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
15.(一本原创)如图，P是△ABC内的一点，连接PB，PC，BP的延长线交AC于点D.
(1)填空:
由三角形两边的和大于第三边，
得$AB+AD＞ \_\_\_\_\_\_$，
$PD+CD＞ \_\_\_\_\_\_$.
将不等式的左边、右边分别相加，
得$AB+AD+PD+CD＞ \_\_\_\_\_\_$，
得$AB+AC＞ \_\_\_\_\_\_$.
(2)连接PA，求证:$PA+PB+PC＜AB+BC+AC$.
(1)填空:
由三角形两边的和大于第三边，
得$AB+AD＞ \_\_\_\_\_\_$，
$PD+CD＞ \_\_\_\_\_\_$.
将不等式的左边、右边分别相加，
得$AB+AD+PD+CD＞ \_\_\_\_\_\_$，
得$AB+AC＞ \_\_\_\_\_\_$.
(2)连接PA，求证:$PA+PB+PC＜AB+BC+AC$.
答案
15.解:(1)$BD$ $PC$ $BD+PC$ $PC+BP$
(2)证明:由(1)同理可得,$AB+BC＞PA+PC$,
$BC+AC＞PB+PA$,
$\therefore AB+AC+AB+BC+BC+AC＞PB+PC+PA+PC+PB+PA$,
$\therefore AB+BC+AC＞PA+PB+PC$,
即 $PA+PB+PC＜AB+BC+AC$.
(2)证明:由(1)同理可得,$AB+BC＞PA+PC$,
$BC+AC＞PB+PA$,
$\therefore AB+AC+AB+BC+BC+AC＞PB+PC+PA+PC+PB+PA$,
$\therefore AB+BC+AC＞PA+PB+PC$,
即 $PA+PB+PC＜AB+BC+AC$.
解析
【分析】
(1) 第一问运用三角形两边之和大于第三边的性质：先看△ABD，可得AB+AD与BD的大小关系；再看△PDC，可得PD+CD与PC的大小关系。将两个不等式左右两边分别相加，左边AD+CD可合并为AC，右边BD可拆为BP+PD，两边消去PD后即可推导出AB+AC和PB+PC的大小关系，对应完成填空即可。
(2) 第二问参考(1)的推导逻辑，分别针对另外两组边写出对应的不等式，再将三个不等式相加，化简后即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得$AB+AD＞BD$；
在△PDC中，根据三角形两边之和大于第三边，得$PD+CD＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$；
由于$AD+CD=AC$，$BD=BP+PD$，代入后两边同时减去PD，可得$AB+AC＞PC+BP$。
(2) 证明：由(1)同理可得，
$AB+BC＞PA+PC$，
$BC+AC＞PB+PA$，
$\therefore AB+AC+AB+BC+BC+AC＞PB+PC+PA+PC+PB+PA$，
整理得$2(AB+BC+AC)＞2(PA+PB+PC)$，
两边同时除以2得$AB+BC+AC＞PA+PB+PC$，
即 $PA+PB+PC＜AB+BC+AC$。
【答案】
(1) $BD$；$PC$；$BD+PC$；$PC+BP$
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用，第一问为基础性质的直接应用，第二问需要通过类比推导得到多个不等式，再结合不等式的性质变形得到结论，解题时要准确选取对应的三角形列不等关系，化简时注意消去公共项即可。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问运用三角形两边之和大于第三边的性质：先看△ABD，可得AB+AD与BD的大小关系；再看△PDC，可得PD+CD与PC的大小关系。将两个不等式左右两边分别相加，左边AD+CD可合并为AC，右边BD可拆为BP+PD，两边消去PD后即可推导出AB+AC和PB+PC的大小关系，对应完成填空即可。
(2) 第二问参考(1)的推导逻辑，分别针对另外两组边写出对应的不等式，再将三个不等式相加，化简后即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边，得$AB+AD＞BD$；
在△PDC中，根据三角形两边之和大于第三边，得$PD+CD＞PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB+AD+PD+CD＞BD+PC$；
由于$AD+CD=AC$，$BD=BP+PD$，代入后两边同时减去PD，可得$AB+AC＞PC+BP$。
(2) 证明：由(1)同理可得，
$AB+BC＞PA+PC$，
$BC+AC＞PB+PA$，
$\therefore AB+AC+AB+BC+BC+AC＞PB+PC+PA+PC+PB+PA$，
整理得$2(AB+BC+AC)＞2(PA+PB+PC)$，
两边同时除以2得$AB+BC+AC＞PA+PB+PC$，
即 $PA+PB+PC＜AB+BC+AC$。
【答案】
(1) $BD$；$PC$；$BD+PC$；$PC+BP$
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用，第一问为基础性质的直接应用，第二问需要通过类比推导得到多个不等式，再结合不等式的性质变形得到结论，解题时要准确选取对应的三角形列不等关系，化简时注意消去公共项即可。
【难度系数】
0.7
