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1.(2025·大连中山区期末)如图，D，E分别在AB，AC上.若$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ A=60°$，$∠ B=35°$，则$∠ BDC$的度数是（
A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
D
）A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
答案
1.D
解析
【分析】
要求∠BDC的度数，可先通过已知的边相等条件和公共角证明三角形全等，得到对应角的度数，再利用三角形外角的性质计算目标角。首先观察到AB=AC、AD=AE，且∠A是△ABE和△ACD的公共角，可先证两三角形全等，得到∠ACD的度数，再根据三角形外角等于不相邻两个内角之和，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACD：
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\∠A=∠A(\mathrm{公共角})\\AE=AD(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）
2. 由全等三角形的性质可得：∠ACD=∠B=35°
3. 计算∠BDC的度数：
∵∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BDC=∠A + ∠ACD
代入∠A=60°，∠ACD=35°，得∠BDC=60°+35°=95°
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，综合考查了全等三角形相关知识和三角形外角性质，解题的突破口是准确找到全等三角形，得到对应角的度数，再结合外角性质求解即可。
【难度系数】
0.7
要求∠BDC的度数，可先通过已知的边相等条件和公共角证明三角形全等，得到对应角的度数，再利用三角形外角的性质计算目标角。首先观察到AB=AC、AD=AE，且∠A是△ABE和△ACD的公共角，可先证两三角形全等，得到∠ACD的度数，再根据三角形外角等于不相邻两个内角之和，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACD：
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\∠A=∠A(\mathrm{公共角})\\AE=AD(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）
2. 由全等三角形的性质可得：∠ACD=∠B=35°
3. 计算∠BDC的度数：
∵∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BDC=∠A + ∠ACD
代入∠A=60°，∠ACD=35°，得∠BDC=60°+35°=95°
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，综合考查了全等三角形相关知识和三角形外角性质，解题的突破口是准确找到全等三角形，得到对应角的度数，再结合外角性质求解即可。
【难度系数】
0.7
2.(2025·大连沙河口区期末)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,$AD=BE$,$AC// DF$.添加一个条件,使得$△ ABC≌△ DEF$.不增加任何新的字母或线段,这个条件可以是
AC=DF(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
2.AC=DF(答案不唯一)
解析
【分析】
要确定添加什么条件可使△ABC≌△DEF，首先推导已知条件隐含的等量关系：①由AD=BE，结合线段和的关系可推出AB=DE；②由AC//DF，根据平行线的性质可推出∠A=∠FDE。此时已经得到一组边相等、一组角相等，结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），补充缺少的对应边或对应角相等的条件即可。
【解析】
∵ AD=BE
∴ AD+DB=BE+DB，即AB=DE
∵ AC//DF
∴ ∠A=∠FDE（两直线平行，同位角相等）
若添加条件AC=DF：
在△ABC和△DEF中
$\{\begin{array}{l}AC=DF\\∠A=∠FDE\\AB=DE\end{array} $
∴ △ABC≌△DEF（SAS）
（也可添加∠C=∠F、∠ABC=∠E等条件，均可证明两三角形全等）
【答案】
AC=DF（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题属于开放性填空题，需要先从已知条件出发挖掘隐含的等量关系，再结合全等三角形的判定定理补充合适的条件，解题时注意避免使用SSA等不能判定三角形全等的条件。
【难度系数】
0.7
要确定添加什么条件可使△ABC≌△DEF，首先推导已知条件隐含的等量关系：①由AD=BE，结合线段和的关系可推出AB=DE；②由AC//DF，根据平行线的性质可推出∠A=∠FDE。此时已经得到一组边相等、一组角相等，结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），补充缺少的对应边或对应角相等的条件即可。
【解析】
∵ AD=BE
∴ AD+DB=BE+DB，即AB=DE
∵ AC//DF
∴ ∠A=∠FDE（两直线平行，同位角相等）
若添加条件AC=DF：
在△ABC和△DEF中
$\{\begin{array}{l}AC=DF\\∠A=∠FDE\\AB=DE\end{array} $
∴ △ABC≌△DEF（SAS）
（也可添加∠C=∠F、∠ABC=∠E等条件，均可证明两三角形全等）
【答案】
AC=DF（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题属于开放性填空题，需要先从已知条件出发挖掘隐含的等量关系，再结合全等三角形的判定定理补充合适的条件，解题时注意避免使用SSA等不能判定三角形全等的条件。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，$D$为$AB$的中点，$E$是$BC$上的一点，$∠ DEB=∠ ACB$。
(1)过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：$AF=DE$。
(1)过点$D$作$DF// BC$交$AC$于点$F$(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：$AF=DE$。
答案
(1) 按尺规作图要求作出过点D且平行于BC的直线DF，交AC于点F，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ D为AB的中点，
∴ AD = DB。
∵ DF // BC，
∴ ∠ADF = ∠B，∠AFD = ∠ACB。
又∵ ∠DEB = ∠ACB，
∴ ∠AFD = ∠DEB。
在△ADF和△DBE中，
$\{\begin{array}{l}∠AFD = ∠DEB \\∠ADF = ∠B \\AD = DB\end{array} $
∴ △ADF ≌ △DBE（AAS），
∴ AF = DE。
(2) 证明：
∵ D为AB的中点，
∴ AD = DB。
∵ DF // BC，
∴ ∠ADF = ∠B，∠AFD = ∠ACB。
又∵ ∠DEB = ∠ACB，
∴ ∠AFD = ∠DEB。
在△ADF和△DBE中，
$\{\begin{array}{l}∠AFD = ∠DEB \\∠ADF = ∠B \\AD = DB\end{array} $
∴ △ADF ≌ △DBE（AAS），
∴ AF = DE。
解析
【分析】
(1) 尺规作图作平行线可依据“同位角相等，两直线平行”的原理，过点D作∠ADF=∠B，使角的另一边交AC于点F即可得到DF//BC。
(2) 要证AF=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用中点性质得到相等边，再结合平行线的性质得到对应角相等，结合已知角相等的条件，通过等量代换得到全等所需的角相等条件，用AAS判定三角形全等即可得到对应边相等的结论。
【解析】
(1) 过点D作∠ADF=∠B，使DF的另一边与AC交于点F，DF即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ D为AB的中点，
∴ AD = DB。
∵ DF // BC，
∴ ∠ADF = ∠B，∠AFD = ∠ACB（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠DEB = ∠ACB，
∴ ∠AFD = ∠DEB（等量代换）。
在△ADF和△DBE中，
$\{\begin{array}{l}∠AFD = ∠DEB \\∠ADF = ∠B \\AD = DB\end{array} $
∴ △ADF ≌ △DBE（AAS），
∴ AF = DE（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 按尺规作图要求作出过D且平行于BC的直线DF，交AC于F，保留作图痕迹即可；
(2) 证明如上，AF=DE成立。
【知识点】
尺规作图；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，结合了尺规作图和三角形全等证明，难度较低，核心是熟练掌握平行线性质和全等判定定理，准确找到全等的对应边、对应角即可解题。
【难度系数】
0.75
(1) 尺规作图作平行线可依据“同位角相等，两直线平行”的原理，过点D作∠ADF=∠B，使角的另一边交AC于点F即可得到DF//BC。
(2) 要证AF=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用中点性质得到相等边，再结合平行线的性质得到对应角相等，结合已知角相等的条件，通过等量代换得到全等所需的角相等条件，用AAS判定三角形全等即可得到对应边相等的结论。
【解析】
(1) 过点D作∠ADF=∠B，使DF的另一边与AC交于点F，DF即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ D为AB的中点，
∴ AD = DB。
∵ DF // BC，
∴ ∠ADF = ∠B，∠AFD = ∠ACB（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠DEB = ∠ACB，
∴ ∠AFD = ∠DEB（等量代换）。
在△ADF和△DBE中，
$\{\begin{array}{l}∠AFD = ∠DEB \\∠ADF = ∠B \\AD = DB\end{array} $
∴ △ADF ≌ △DBE（AAS），
∴ AF = DE（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 按尺规作图要求作出过D且平行于BC的直线DF，交AC于F，保留作图痕迹即可；
(2) 证明如上，AF=DE成立。
【知识点】
尺规作图；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，结合了尺规作图和三角形全等证明，难度较低，核心是熟练掌握平行线性质和全等判定定理，准确找到全等的对应边、对应角即可解题。
【难度系数】
0.75
4.【新情境·生活情境】小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离$BD=2.5\ \mathrm{m}$.乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离$AC=1.5\ \mathrm{m}$，点A到地面的距离$AE=1.5\ \mathrm{m}$，当他从点A处摆动到点$A'$处时，若$A'B⊥ AB$，求点$A'$到BD的距离.
答案
4.1 m
解析
【分析】
要计算点A'到BD的距离，可过A'作BD的垂线A'F，将问题转化为求线段A'F的长度。首先利用矩形的性质求出BC的长度，再根据角的互余关系推导得到相等的角，结合秋千绳长不变（AB=A'B），证明△ABC和△BA'F全等，利用全等三角形对应边相等即可得到A'F的长度，也就是点A'到BD的距离。
【解析】
过点$A'$作$A'F ⊥ BD$，垂足为$F$，则$∠ A'FB=90°$。
$\because AC ⊥ BD$，$AE ⊥$地面，$BD ⊥$地面，
$\therefore$四边形$ACDE$是矩形，
$\therefore CD=AE=1.5\ \mathrm{m}$。
$\because BD=2.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=BD-CD=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90°$。
$\because A'B ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ABA'=90°$，即$∠ A'BF+∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ A'BF$。
在$△ ABC$和$△ BA'F$中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ BFA'=90° \\∠ BAC=∠ A'BF \\AB=BA' \quad (\mathrm{秋千绳长不变})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BA'F \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore A'F=BC=1\ \mathrm{m}$，即点$A'$到$BD$的距离为$1\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合荡秋千的生活情境考查几何知识的实际应用，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将实际距离问题转化为几何线段长度的求解，贴合生活实际，能锻炼学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算点A'到BD的距离，可过A'作BD的垂线A'F，将问题转化为求线段A'F的长度。首先利用矩形的性质求出BC的长度，再根据角的互余关系推导得到相等的角，结合秋千绳长不变（AB=A'B），证明△ABC和△BA'F全等，利用全等三角形对应边相等即可得到A'F的长度，也就是点A'到BD的距离。
【解析】
过点$A'$作$A'F ⊥ BD$，垂足为$F$，则$∠ A'FB=90°$。
$\because AC ⊥ BD$，$AE ⊥$地面，$BD ⊥$地面，
$\therefore$四边形$ACDE$是矩形，
$\therefore CD=AE=1.5\ \mathrm{m}$。
$\because BD=2.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=BD-CD=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ ABC=90°$。
$\because A'B ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ABA'=90°$，即$∠ A'BF+∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ A'BF$。
在$△ ABC$和$△ BA'F$中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ BFA'=90° \\∠ BAC=∠ A'BF \\AB=BA' \quad (\mathrm{秋千绳长不变})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BA'F \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore A'F=BC=1\ \mathrm{m}$，即点$A'$到$BD$的距离为$1\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题结合荡秋千的生活情境考查几何知识的实际应用，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将实际距离问题转化为几何线段长度的求解，贴合生活实际，能锻炼学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
5.(2025·沈阳模拟)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点G,作射线AG交BC于点D.已知$BD=5$,$CD=3$,P为AB上的一个动点,则PD长度的最小值为 (
A.2
B.3
C.5
D.8
B
)A.2
B.3
C.5
D.8
答案
5.B
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图为作角平分线的操作，可得AD平分∠BAC；要找AB上动点P到D的最小距离，根据“垂线段最短”可知，当PD垂直AB时PD长度最小；再结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，已知CD⊥AC且CD=3，即可得到D到AB的距离，也就是PD的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，射线AG是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
2. 根据垂线段最短的性质，当DP⊥AB时，PD的长度取得最小值。
3. 已知∠C=90°，即DC⊥AC，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AB的距离等于CD的长度，即PD的最小值=CD=3。
【答案】
B
【知识点】
角平分线尺规作图，垂线段最短，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是先根据作图特征判断AD为角平分线，再结合垂线段最短确定PD取最小值的情形，最后利用角平分线的性质求解，考查了对基础几何作图和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先识别题中的尺规作图为作角平分线的操作，可得AD平分∠BAC；要找AB上动点P到D的最小距离，根据“垂线段最短”可知，当PD垂直AB时PD长度最小；再结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，已知CD⊥AC且CD=3，即可得到D到AB的距离，也就是PD的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，射线AG是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
2. 根据垂线段最短的性质，当DP⊥AB时，PD的长度取得最小值。
3. 已知∠C=90°，即DC⊥AC，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AB的距离等于CD的长度，即PD的最小值=CD=3。
【答案】
B
【知识点】
角平分线尺规作图，垂线段最短，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是先根据作图特征判断AD为角平分线，再结合垂线段最短确定PD取最小值的情形，最后利用角平分线的性质求解，考查了对基础几何作图和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
