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6.(2025·大连西岗区期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$,$DE⊥ BC$于点$E$.若$△ ABC$与$△ CDE$的周长分别为15和3,则$AB$的长为 (
A.3
B.6
C.9
D.12
B
)A.3
B.6
C.9
D.12
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：BD是∠ABC的角平分线，∠BAC=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，首先根据角平分线的性质可得AD=DE；再通过AAS证明△ABD≌△EBD，得到AB=BE。接下来将两个三角形的周长进行拆解，利用得到的等量关系替换线段，把△CDE的周长整体代入△ABC的周长表达式中，即可建立关于AB的方程求解。
【解析】
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°，DE⊥BC
∴AD=DE，∠BAD=∠BED=90°
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAD=∠ BED\\ ∠ ABD=∠ EBD\\ BD=BD\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（AAS）
∴AB=BE
已知$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=15$，$C_{△ CDE}=CD+DE+EC=3$
∵AD=DE，
∴CD+DE=CD+AD=AC，即$C_{△ CDE}=AC+EC=3$
又
∵BC=BE+EC=AB+EC
将BC、AC+EC代入$△ ABC$的周长公式：
$AB + AC + AB + EC = 2AB + (AC+EC) = 2AB + 3 =15$
解得$2AB=12$，即$AB=6$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题的核心是利用角平分线性质和全等三角形实现线段的等量替换，将两个三角形的周长建立关联，整体代入简化计算，是三角形部分的典型综合题，对学生的转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：BD是∠ABC的角平分线，∠BAC=90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，首先根据角平分线的性质可得AD=DE；再通过AAS证明△ABD≌△EBD，得到AB=BE。接下来将两个三角形的周长进行拆解，利用得到的等量关系替换线段，把△CDE的周长整体代入△ABC的周长表达式中，即可建立关于AB的方程求解。
【解析】
∵BD平分∠ABC，∠BAC=90°，DE⊥BC
∴AD=DE，∠BAD=∠BED=90°
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAD=∠ BED\\ ∠ ABD=∠ EBD\\ BD=BD\end{array} $
∴△ABD≌△EBD（AAS）
∴AB=BE
已知$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=15$，$C_{△ CDE}=CD+DE+EC=3$
∵AD=DE，
∴CD+DE=CD+AD=AC，即$C_{△ CDE}=AC+EC=3$
又
∵BC=BE+EC=AB+EC
将BC、AC+EC代入$△ ABC$的周长公式：
$AB + AC + AB + EC = 2AB + (AC+EC) = 2AB + 3 =15$
解得$2AB=12$，即$AB=6$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题的核心是利用角平分线性质和全等三角形实现线段的等量替换，将两个三角形的周长建立关联，整体代入简化计算，是三角形部分的典型综合题，对学生的转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.7
7.(2024·营口期中)如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的高,AE是$∠ BAD$的平分线,F为AE上一点,连接BF,$∠ BFE=45°$.
(1)求证:BF平分$∠ ABE$;
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:$∠ AFC=90°$;
(3)在(2)的条件下,当$BE=3,AG=4.5$时,求线段AB的长.
(1)求证:BF平分$∠ ABE$;
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:$∠ AFC=90°$;
(3)在(2)的条件下,当$BE=3,AG=4.5$时,求线段AB的长.
答案
7.(1)略
(2)略
(3)7.5
(2)略
(3)7.5
解析
【分析】
(1) 要证BF平分∠ABE，需证∠ABF=∠CBF。先利用AD⊥BC得到∠BAD+∠ABD=90°，再结合三角形外角性质，∠BFE=∠BAF+∠ABF=45°，结合AE平分∠BAD等量代换，即可推出∠ABD=2∠ABF，得证。
(2) 要证∠AFC=90°，先由BF是角平分线，得F到AB、BC的距离相等，结合两个三角形面积相等推出AB=BC，再证△ABF≌△CBF，得到∠AFB=∠CFB=135°，利用周角360°即可算出∠AFC=90°。
(3) 求AB长可采用截长补短法：在AB上截取BH=BE，先证△BEF≌△BHF得BH=BE=3，∠BFH=∠BFE=45°，再证△AFH≌△AFG得AH=AG=4.5，相加即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴$∠ BAD+∠ ABD=90°$。
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAD$。
∵$∠ BFE$是$△ ABF$的外角，
∴$∠ BFE=∠ BAE+∠ ABF=45°$，
∴$2∠ BAE+2∠ ABF=90°$，即$∠ BAD+2∠ ABF=90°$，
又
∵$∠ BAD+∠ ABD=90°$，
∴$∠ ABD=2∠ ABF$，即$∠ ABF=∠ CBF$，
∴BF平分$∠ ABE$。
(2) 证明：过F作$FM⊥ AB$于M，$FN⊥ BC$于N，
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$FM=FN$。
∵$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· FM$，$S_{△ CBF}=\frac{1}{2}BC· FN$，且$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，
∴$AB=BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABF=∠ CBF \\BF=BF\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AFB=∠ CFB$。
∵$∠ BFE=45°$，
∴$∠ AFB=180°-45°=135°$，
∴$∠ CFB=135°$，
∴$∠ AFC=360°-∠ AFB-∠ CFB=360°-135°-135°=90°$。
(3) 解：在AB上截取$BH=BE$，连接FH，
在$△ BEF$和$△ BHF$中：
$\begin{cases}BE=BH \\∠ EBF=∠ HBF \\BF=BF\end{cases}$
∴$△ BEF≌△ BHF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ BFE=∠ BFH=45°$，$BH=BE=3$。
∵$∠ AFB=135°$，
∴$∠ AFH=∠ AFB-∠ BFH=135°-45°=90°$，
由(2)知$∠ AFC=90°$，
∴$∠ AFH=∠ AFG=90°$。
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ FAH=∠ FAG$，
在$△ AFH$和$△ AFG$中：
$\begin{cases}∠ FAH=∠ FAG \\AF=AF \\∠ AFH=∠ AFG\end{cases}$
∴$△ AFH≌△ AFG(\mathrm{ASA})$，
∴$AH=AG=4.5$，
∴$AB=AH+BH=4.5+3=7.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\boxed{7.5}$
【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形的相关知识，解题的关键是合理利用角平分线的性质构造全等三角形，截长补短法是处理线段和差类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 要证BF平分∠ABE，需证∠ABF=∠CBF。先利用AD⊥BC得到∠BAD+∠ABD=90°，再结合三角形外角性质，∠BFE=∠BAF+∠ABF=45°，结合AE平分∠BAD等量代换，即可推出∠ABD=2∠ABF，得证。
(2) 要证∠AFC=90°，先由BF是角平分线，得F到AB、BC的距离相等，结合两个三角形面积相等推出AB=BC，再证△ABF≌△CBF，得到∠AFB=∠CFB=135°，利用周角360°即可算出∠AFC=90°。
(3) 求AB长可采用截长补短法：在AB上截取BH=BE，先证△BEF≌△BHF得BH=BE=3，∠BFH=∠BFE=45°，再证△AFH≌△AFG得AH=AG=4.5，相加即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴$∠ BAD+∠ ABD=90°$。
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAD$。
∵$∠ BFE$是$△ ABF$的外角，
∴$∠ BFE=∠ BAE+∠ ABF=45°$，
∴$2∠ BAE+2∠ ABF=90°$，即$∠ BAD+2∠ ABF=90°$，
又
∵$∠ BAD+∠ ABD=90°$，
∴$∠ ABD=2∠ ABF$，即$∠ ABF=∠ CBF$，
∴BF平分$∠ ABE$。
(2) 证明：过F作$FM⊥ AB$于M，$FN⊥ BC$于N，
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$FM=FN$。
∵$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· FM$，$S_{△ CBF}=\frac{1}{2}BC· FN$，且$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，
∴$AB=BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABF=∠ CBF \\BF=BF\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AFB=∠ CFB$。
∵$∠ BFE=45°$，
∴$∠ AFB=180°-45°=135°$，
∴$∠ CFB=135°$，
∴$∠ AFC=360°-∠ AFB-∠ CFB=360°-135°-135°=90°$。
(3) 解：在AB上截取$BH=BE$，连接FH，
在$△ BEF$和$△ BHF$中：
$\begin{cases}BE=BH \\∠ EBF=∠ HBF \\BF=BF\end{cases}$
∴$△ BEF≌△ BHF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ BFE=∠ BFH=45°$，$BH=BE=3$。
∵$∠ AFB=135°$，
∴$∠ AFH=∠ AFB-∠ BFH=135°-45°=90°$，
由(2)知$∠ AFC=90°$，
∴$∠ AFH=∠ AFG=90°$。
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ FAH=∠ FAG$，
在$△ AFH$和$△ AFG$中：
$\begin{cases}∠ FAH=∠ FAG \\AF=AF \\∠ AFH=∠ AFG\end{cases}$
∴$△ AFH≌△ AFG(\mathrm{ASA})$，
∴$AH=AG=4.5$，
∴$AB=AH+BH=4.5+3=7.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\boxed{7.5}$
【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形的相关知识，解题的关键是合理利用角平分线的性质构造全等三角形，截长补短法是处理线段和差类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
8.[问题背景]
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.
[初步探索]
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到线段BE,EF,FD之间的数量关系是
[探索延伸]
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.
[初步探索]
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到线段BE,EF,FD之间的数量关系是
EF=BE+FD
.[探索延伸]
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
答案
8.【初步探索】$EF=BE+FD$
【探索延伸】结论仍然成立.理由略
【探索延伸】结论仍然成立.理由略
解析
【分析】
初步探索部分采用补短法构造全等：先延长FD到G，使DG=BE，结合已知AB=AD、∠B=∠ADG=90°，可证△ABE≌△ADG，得到对应边、角相等；再结合∠EAF=60°、∠BAD=120°推出∠EAF=∠GAF，结合公共边AF证明△AEF≌△AGF，将EF转化为GF即可得到三者数量关系。探索延伸部分虽不再是直角，但∠B+∠D=180°可推出∠B=∠ADG，仍可沿用上述全等思路验证结论。
【解析】
初步探索
延长FD到点G，使$DG=BE$，连接AG。
∵$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ADG=180°-∠ ADC=90°$，即$∠ B=∠ ADG=90°$。
在$△ ABE$和$△ ADG$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ B=∠ ADG \\BE=DG\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ADG(\mathrm{SAS})$，得$AE=AG$，$∠ BAE=∠ DAG$。
∵$∠ BAD=120°$，$∠ EAF=60°$，
∴$∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=60°$，
∴$∠ DAG+∠ DAF=∠ GAF=60°$，即$∠ EAF=∠ GAF$。
在$△ AEF$和$△ AGF$中：
$\begin{cases}AE=AG \\∠ EAF=∠ GAF \\AF=AF\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ AGF(\mathrm{SAS})$，得$EF=GF$。
∵$GF=DG+FD=BE+FD$，
∴$EF=BE+FD$。
探索延伸
结论$EF=BE+FD$仍然成立，理由如下：
延长FD到点G，使$DG=BE$，连接AG。
∵$∠ B+∠ ADC=180°$，$∠ ADG+∠ ADC=180°$，
∴$∠ B=∠ ADG$。
在$△ ABE$和$△ ADG$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ B=∠ ADG \\BE=DG\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ADG(\mathrm{SAS})$，得$AE=AG$，$∠ BAE=∠ DAG$。
∵$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，
∴$∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，
∴$∠ DAG+∠ DAF=∠ GAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，即$∠ EAF=∠ GAF$。
在$△ AEF$和$△ AGF$中：
$\begin{cases}AE=AG \\∠ EAF=∠ GAF \\AF=AF\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ AGF(\mathrm{SAS})$，得$EF=GF$。
∵$GF=DG+FD=BE+FD$，
∴$EF=BE+FD$，结论成立。
【答案】
【初步探索】$\boldsymbol{EF=BE+FD}$
【探索延伸】结论仍然成立，理由如上。
【知识点】
全等三角形判定与性质，截长补短辅助线，补角的性质
【点评】
本题是半角模型的典型应用，核心思路是通过构造全等三角形将分散的线段转移到同一条线段上，进而得到线段的数量关系，解题的关键是根据已知条件合理构造辅助线，通过两次全等完成线段的等量代换。
【难度系数】
0.65
初步探索部分采用补短法构造全等：先延长FD到G，使DG=BE，结合已知AB=AD、∠B=∠ADG=90°，可证△ABE≌△ADG，得到对应边、角相等；再结合∠EAF=60°、∠BAD=120°推出∠EAF=∠GAF，结合公共边AF证明△AEF≌△AGF，将EF转化为GF即可得到三者数量关系。探索延伸部分虽不再是直角，但∠B+∠D=180°可推出∠B=∠ADG，仍可沿用上述全等思路验证结论。
【解析】
初步探索
延长FD到点G，使$DG=BE$，连接AG。
∵$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ADG=180°-∠ ADC=90°$，即$∠ B=∠ ADG=90°$。
在$△ ABE$和$△ ADG$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ B=∠ ADG \\BE=DG\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ADG(\mathrm{SAS})$，得$AE=AG$，$∠ BAE=∠ DAG$。
∵$∠ BAD=120°$，$∠ EAF=60°$，
∴$∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=60°$，
∴$∠ DAG+∠ DAF=∠ GAF=60°$，即$∠ EAF=∠ GAF$。
在$△ AEF$和$△ AGF$中：
$\begin{cases}AE=AG \\∠ EAF=∠ GAF \\AF=AF\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ AGF(\mathrm{SAS})$，得$EF=GF$。
∵$GF=DG+FD=BE+FD$，
∴$EF=BE+FD$。
探索延伸
结论$EF=BE+FD$仍然成立，理由如下：
延长FD到点G，使$DG=BE$，连接AG。
∵$∠ B+∠ ADC=180°$，$∠ ADG+∠ ADC=180°$，
∴$∠ B=∠ ADG$。
在$△ ABE$和$△ ADG$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ B=∠ ADG \\BE=DG\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ADG(\mathrm{SAS})$，得$AE=AG$，$∠ BAE=∠ DAG$。
∵$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，
∴$∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，
∴$∠ DAG+∠ DAF=∠ GAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，即$∠ EAF=∠ GAF$。
在$△ AEF$和$△ AGF$中：
$\begin{cases}AE=AG \\∠ EAF=∠ GAF \\AF=AF\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ AGF(\mathrm{SAS})$，得$EF=GF$。
∵$GF=DG+FD=BE+FD$，
∴$EF=BE+FD$，结论成立。
【答案】
【初步探索】$\boldsymbol{EF=BE+FD}$
【探索延伸】结论仍然成立，理由如上。
【知识点】
全等三角形判定与性质，截长补短辅助线，补角的性质
【点评】
本题是半角模型的典型应用，核心思路是通过构造全等三角形将分散的线段转移到同一条线段上，进而得到线段的数量关系，解题的关键是根据已知条件合理构造辅助线，通过两次全等完成线段的等量代换。
【难度系数】
0.65
