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1.如图,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.
(1)求∠AFC的度数;
(2)求证:AE+CD=AC.
(1)求∠AFC的度数;
(2)求证:AE+CD=AC.
答案
(1)$120°$
(2)略
(2)略
解析
【分析】
(1) 求∠AFC的度数，可先利用三角形内角和求出∠BAC与∠BCA的和，再结合角平分线的定义求出△AFC中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和即可计算出∠AFC的度数。
(2) 要证明AE+CD=AC，属于线段和差证明问题，可采用截长补短法：在AC上截取AG=AE，先证△AEF≌△AGF，得到对应角相等，再结合∠AFC的度数推出△CFG和△CFD全等，得到CD=CG，即可通过线段和的关系得出结论。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B=60°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - ∠ B = 180° - 60° = 120°$
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA
∴$∠ FAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ FCA = \frac{1}{2}∠ BCA$
∴$∠ FAC + ∠ FCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = \frac{1}{2}×120° = 60°$
在△AFC中，$∠ AFC = 180° - (∠ FAC + ∠ FCA) = 180° - 60° = 120°$
(2) 证明：在AC上截取AG=AE，连接FG。
∵AD是∠BAC的平分线
∴$∠ EAF = ∠ GAF$
在△AEF和△AGF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AG \\∠EAF=∠GAF \\AF=AF\end{array} $
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴$∠ AFE = ∠ AFG$
∵$∠ AFC=120°$，
∴$∠ AFE = 180° - ∠ AFC = 60°$
∴$∠ AFG=60°$，则$∠ CFG = ∠ AFC - ∠ AFG = 120° - 60° = 60°$
又
∵$∠ CFD = ∠ AFE = 60°$（对顶角相等）
∴$∠ CFG = ∠ CFD$
∵CE是∠BCA的平分线
∴$∠ FCD = ∠ FCG$
在△CFG和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠CFG=∠CFD \\CF=CF \\∠FCG=∠FCD\end{array} $
∴△CFG≌△CFD（ASA）
∴CD=CG
∵$AC = AG + CG$，且$AG=AE$
∴$AC = AE + CD$，即$AE + CD = AC$，得证。
【答案】
(1) $120°$
(2) 证明见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问较为基础，熟练运用三角形内角和与角平分线的性质即可求解；第二问是线段和差类证明题，截长补短法构造全等三角形是解决这类问题的常用思路，需要掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠AFC的度数，可先利用三角形内角和求出∠BAC与∠BCA的和，再结合角平分线的定义求出△AFC中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和即可计算出∠AFC的度数。
(2) 要证明AE+CD=AC，属于线段和差证明问题，可采用截长补短法：在AC上截取AG=AE，先证△AEF≌△AGF，得到对应角相等，再结合∠AFC的度数推出△CFG和△CFD全等，得到CD=CG，即可通过线段和的关系得出结论。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B=60°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - ∠ B = 180° - 60° = 120°$
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA
∴$∠ FAC = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ FCA = \frac{1}{2}∠ BCA$
∴$∠ FAC + ∠ FCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = \frac{1}{2}×120° = 60°$
在△AFC中，$∠ AFC = 180° - (∠ FAC + ∠ FCA) = 180° - 60° = 120°$
(2) 证明：在AC上截取AG=AE，连接FG。
∵AD是∠BAC的平分线
∴$∠ EAF = ∠ GAF$
在△AEF和△AGF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AG \\∠EAF=∠GAF \\AF=AF\end{array} $
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴$∠ AFE = ∠ AFG$
∵$∠ AFC=120°$，
∴$∠ AFE = 180° - ∠ AFC = 60°$
∴$∠ AFG=60°$，则$∠ CFG = ∠ AFC - ∠ AFG = 120° - 60° = 60°$
又
∵$∠ CFD = ∠ AFE = 60°$（对顶角相等）
∴$∠ CFG = ∠ CFD$
∵CE是∠BCA的平分线
∴$∠ FCD = ∠ FCG$
在△CFG和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠CFG=∠CFD \\CF=CF \\∠FCG=∠FCD\end{array} $
∴△CFG≌△CFD（ASA）
∴CD=CG
∵$AC = AG + CG$，且$AG=AE$
∴$AC = AE + CD$，即$AE + CD = AC$，得证。
【答案】
(1) $120°$
(2) 证明见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问较为基础，熟练运用三角形内角和与角平分线的性质即可求解；第二问是线段和差类证明题，截长补短法构造全等三角形是解决这类问题的常用思路，需要掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
2.如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D,E分别在CA和AC的延长线上,AD=CE,F为BA延长线上的一点,且∠CFA=∠DFA.求证:CF=DF+BE.
答案
证明:方法1(截长法):
,在FC上截取$FG=FD$,连接$AG$.在$△ AFG$ 和$△ AFD$ 中,$\begin{cases} FG=FD, \\ ∠ GFA=∠ DFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ AFD (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AD,∠ GAF=∠ DAF.$
$\because AD=CE,\therefore AG=CE.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAF=∠ DAF=∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAC=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ GAC$ 和$△ ECB$ 中,$\begin{cases} AG=CE, \\ ∠ GAC=∠ ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ GAC ≌ △ ECB (\mathrm{SAS}),\therefore GC=BE.$
$\because CF=FG+GC,\therefore CF=DF+BE.$
方法2(补短法):
,延长FD至点H,使$FH=FC$,连接$AH$.在$△ HFA$ 和$△ CFA$ 中,$\begin{cases} HF=CF, \\ ∠ HFA=∠ CFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ HFA ≌ △ CFA (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AH=AC,∠ FAH=∠ FAC.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,
$\therefore ∠ CAB=45°,AH=BC,$
$\therefore ∠ FAC=∠ FAH=135°,$
$\therefore ∠ HAB=45°,\therefore ∠ HAC=90°,$
$\therefore ∠ HAD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ BCE$ 和$△ HAD$ 中,$\begin{cases} BC=HA, \\ ∠ BCE=∠ HAD, \\ CE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ HAD (\mathrm{SAS}),\therefore DH=BE,$
$\therefore CF=FH=DF+DH=DF+BE.$
解析
【分析】
本题是线段和差关系的证明题，此类问题优先使用截长补短法构造辅助线求解。首先由已知∠CFA=∠DFA可知FA是∠CFD的角平分线，结合公共边FA，可构造含公共边、等角的全等三角形：若用截长法，就在长线段CF上截取一段等于DF，先证一组全等得到边相等，再结合等腰直角三角形AC=BC、直角的性质以及已知AD=CE，证第二组全等得到剩余线段等于BE；若用补短法，就延长较短线段DF使总长等于CF，先证一组全等得到边相等，再证第二组全等得到延长部分等于BE，即可推导出结论。
【解析】
方法1（截长法）：
在FC上截取$FG=FD$，连接$AG$。
在$△ AFG$ 和$△ AFD$ 中，
$\begin{cases} FG=FD, \\ ∠ GFA=∠ DFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ AFD (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AD,∠ GAF=∠ DAF.$
$\because AD=CE,\therefore AG=CE.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAF=∠ DAF=∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAC=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ GAC$ 和$△ ECB$ 中，
$\begin{cases} AG=CE, \\ ∠ GAC=∠ ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ GAC ≌ △ ECB (\mathrm{SAS}),\therefore GC=BE.$
$\because CF=FG+GC,\therefore CF=DF+BE.$
方法2（补短法）：
延长FD至点H，使$FH=FC$，连接$AH$。
在$△ HFA$ 和$△ CFA$ 中，
$\begin{cases} HF=CF, \\ ∠ HFA=∠ CFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ HFA ≌ △ CFA (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AH=AC,∠ FAH=∠ FAC.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
$\therefore ∠ CAB=45°,AH=BC,$
$\therefore ∠ FAC=∠ FAH=135°,$
$\therefore ∠ HAB=45°,\therefore ∠ HAC=90°,$
$\therefore ∠ HAD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ BCE$ 和$△ HAD$ 中，
$\begin{cases} BC=HA, \\ ∠ BCE=∠ HAD, \\ CE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ HAD (\mathrm{SAS}),\therefore DH=BE,$
$\therefore CF=FH=DF+DH=DF+BE.$
【答案】
证明:方法1(截长法):,在FC上截取$FG=FD$,连接$AG$.
在$△ AFG$ 和$△ AFD$ 中,$\begin{cases} FG=FD, \\ ∠ GFA=∠ DFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ AFD (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AD,∠ GAF=∠ DAF.$
$\because AD=CE,\therefore AG=CE.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAF=∠ DAF=∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAC=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ GAC$ 和$△ ECB$ 中,$\begin{cases} AG=CE, \\ ∠ GAC=∠ ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ GAC ≌ △ ECB (\mathrm{SAS}),\therefore GC=BE.$
$\because CF=FG+GC,\therefore CF=DF+BE.$
方法2(补短法):,延长FD至点H,使$FH=FC$,连接$AH$.
在$△ HFA$ 和$△ CFA$ 中,$\begin{cases} HF=CF, \\ ∠ HFA=∠ CFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ HFA ≌ △ CFA (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AH=AC,∠ FAH=∠ FAC.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,
$\therefore ∠ CAB=45°,AH=BC,$
$\therefore ∠ FAC=∠ FAH=135°,$
$\therefore ∠ HAB=45°,\therefore ∠ HAC=90°,$
$\therefore ∠ HAD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ BCE$ 和$△ HAD$ 中,$\begin{cases} BC=HA, \\ ∠ BCE=∠ HAD, \\ CE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ HAD (\mathrm{SAS}),\therefore DH=BE,$
$\therefore CF=FH=DF+DH=DF+BE.$
【知识点】
截长补短构造全等，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造思路，结合角平分线条件构造第一组全等三角形，再利用等腰直角三角形的边角性质证明第二组全等，实现线段的等量代换从而得到结论，熟练掌握全等三角形的证明方法和截长补短的构造技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是线段和差关系的证明题，此类问题优先使用截长补短法构造辅助线求解。首先由已知∠CFA=∠DFA可知FA是∠CFD的角平分线，结合公共边FA，可构造含公共边、等角的全等三角形：若用截长法，就在长线段CF上截取一段等于DF，先证一组全等得到边相等，再结合等腰直角三角形AC=BC、直角的性质以及已知AD=CE，证第二组全等得到剩余线段等于BE；若用补短法，就延长较短线段DF使总长等于CF，先证一组全等得到边相等，再证第二组全等得到延长部分等于BE，即可推导出结论。
【解析】
方法1（截长法）：
在FC上截取$FG=FD$，连接$AG$。
在$△ AFG$ 和$△ AFD$ 中，
$\begin{cases} FG=FD, \\ ∠ GFA=∠ DFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ AFD (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AD,∠ GAF=∠ DAF.$
$\because AD=CE,\therefore AG=CE.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAF=∠ DAF=∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAC=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ GAC$ 和$△ ECB$ 中，
$\begin{cases} AG=CE, \\ ∠ GAC=∠ ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ GAC ≌ △ ECB (\mathrm{SAS}),\therefore GC=BE.$
$\because CF=FG+GC,\therefore CF=DF+BE.$
方法2（补短法）：
延长FD至点H，使$FH=FC$，连接$AH$。
在$△ HFA$ 和$△ CFA$ 中，
$\begin{cases} HF=CF, \\ ∠ HFA=∠ CFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ HFA ≌ △ CFA (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AH=AC,∠ FAH=∠ FAC.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
$\therefore ∠ CAB=45°,AH=BC,$
$\therefore ∠ FAC=∠ FAH=135°,$
$\therefore ∠ HAB=45°,\therefore ∠ HAC=90°,$
$\therefore ∠ HAD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ BCE$ 和$△ HAD$ 中，
$\begin{cases} BC=HA, \\ ∠ BCE=∠ HAD, \\ CE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ HAD (\mathrm{SAS}),\therefore DH=BE,$
$\therefore CF=FH=DF+DH=DF+BE.$
【答案】
证明:方法1(截长法):
,在FC上截取$FG=FD$,连接$AG$.在$△ AFG$ 和$△ AFD$ 中,$\begin{cases} FG=FD, \\ ∠ GFA=∠ DFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ AFD (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AD,∠ GAF=∠ DAF.$
$\because AD=CE,\therefore AG=CE.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAF=∠ DAF=∠ CAB=45°,\therefore ∠ GAC=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ GAC$ 和$△ ECB$ 中,$\begin{cases} AG=CE, \\ ∠ GAC=∠ ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ GAC ≌ △ ECB (\mathrm{SAS}),\therefore GC=BE.$
$\because CF=FG+GC,\therefore CF=DF+BE.$
方法2(补短法):
,延长FD至点H,使$FH=FC$,连接$AH$.在$△ HFA$ 和$△ CFA$ 中,$\begin{cases} HF=CF, \\ ∠ HFA=∠ CFA, \\ FA=FA, \end{cases}$
$\therefore △ HFA ≌ △ CFA (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AH=AC,∠ FAH=∠ FAC.$
$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,
$\therefore ∠ CAB=45°,AH=BC,$
$\therefore ∠ FAC=∠ FAH=135°,$
$\therefore ∠ HAB=45°,\therefore ∠ HAC=90°,$
$\therefore ∠ HAD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
在$△ BCE$ 和$△ HAD$ 中,$\begin{cases} BC=HA, \\ ∠ BCE=∠ HAD, \\ CE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE ≌ △ HAD (\mathrm{SAS}),\therefore DH=BE,$
$\therefore CF=FH=DF+DH=DF+BE.$
【知识点】
截长补短构造全等，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造思路，结合角平分线条件构造第一组全等三角形，再利用等腰直角三角形的边角性质证明第二组全等，实现线段的等量代换从而得到结论，熟练掌握全等三角形的证明方法和截长补短的构造技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
