【例1】如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$E$，$F$分别为$AB$，$AC$上的点，且$∠ AED + ∠ AFD = 180°$.求证：$DE=DF$.

证明：
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵∠AED + ∠AFD = 180°，∠DFN + ∠AFD = 180°，
∴∠AED = ∠DFN。
在△DME和△DNF中，
$\{\begin{array}{l}∠DME = ∠DNF = 90° \\∠DEM = ∠DFN \\DM = DN\end{array} $
∴△DME ≌ △DNF（AAS），
∴DE = DF。

【分析】
要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知AD是∠BAC的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB、AC的垂线，得到相等的垂线段DM、DN，构造出△DME和△DNF两个直角三角形。再结合已知∠AED+∠AFD=180°，利用同角的补角相等得到一组对应角相等，即可通过AAS证明两个三角形全等，进而得到DE=DF。
【解析】
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵∠AED + ∠AFD = 180°，∠DFN + ∠AFD = 180°，
∴∠AED = ∠DFN。
在△DME和△DNF中，
$\{\begin{array}{l}∠DME = ∠DNF = 90° \\∠DEM = ∠DFN \\DM = DN\end{array} $
∴△DME ≌ △DNF（AAS），
∴DE = DF。
【答案】
$DE=DF$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线构造全等的典型题型，核心是利用“角平分线作双垂”的辅助线构造方法，将证线段相等的问题转化为证三角形全等的问题，解题时需注意结合已知的角互补条件推导对应角相等，熟练掌握角平分线相关的辅助线构造技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【例 2】（2025·营口月考）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D为BC边上的一点，DA平分$∠ CDE$，且$AB=AE$。若$CD=2$，$BD=3$，求DE的长。

7

【分析】
遇到角平分线时，可通过过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质得到相等线段，同时构造全等三角形。本题先过A作AF⊥DE于F，先利用角平分线性质得到AC=AF，证明Rt△ACD≌Rt△AFD得到CD=DF，再结合AB=AE证明Rt△ACB≌Rt△AFE得到BC=EF，最后将线段相加即可求出DE的长度。
【解析】
过点A作$AF ⊥ DE$于点F。
1. 因为$DA$平分$∠ CDE$，$∠ C=90°$（即$AC ⊥ CD$），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$AC=AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中：
$\begin{cases}AD=AD \\AC=AF\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AFD \ (\mathrm{HL})$，因此$CD=DF=2$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ AFE$中：
$\begin{cases}AB=AE \\AC=AF\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ AFE \ (\mathrm{HL})$，因此$BC=EF$。
已知$CD=2$，$BD=3$，所以$BC=CD+BD=2+3=5$，即$EF=5$。
3. 因此$DE=DF+EF=2+5=7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是角平分线构造全等的典型题型，通过作垂线构造全等三角形实现线段的等量转化，核心是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形全等的判定方法，合理作出辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.6