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9 某企业1月的营业额是1000万元，第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x，则可列方程为 （
A.$1000(1+x)^2=3990$
B.$1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 3990$
C.$1000(1+2x)=3990$
D.$1000 + 1000(1+x) + 1000(1+2x) = 3990$
B
）A.$1000(1+x)^2=3990$
B.$1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 3990$
C.$1000(1+2x)=3990$
D.$1000 + 1000(1+x) + 1000(1+2x) = 3990$
答案
9. B
解析
【分析】
解这道题首先要明确第一季度指1月、2月、3月三个月的营业额总和，解题思路是先分别用含x的代数式表示出2月、3月的营业额，再根据“三个月营业额相加等于总营业额3990万元”列方程。已知1月营业额为1000万元，月平均增长率为x，后一个月的营业额是前一个月的(1+x)倍，据此可以依次算出2月、3月的营业额，求和即可列出对应方程，解题时要注意区分“单月营业额”和“总营业额”，不要误将3月的营业额当成第一季度总营业额，也要避免把增长率当成固定增长量错算3月营业额。
【解析】
第一步：明确第一季度营业额为1月、2月、3月营业额之和。
第二步：分别表示各月营业额：
1月营业额：1000万元；
2月营业额：在1月基础上增长x，即$1000(1+x)$万元；
3月营业额：在2月基础上增长x，即$1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2$万元。
第三步：根据总营业额列方程：
三个月营业额相加等于3990万元，因此方程为：
$1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 3990$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的常规应用题，解题核心是准确表示出每个时间节点的对应量，易错点是容易混淆单月量和总量，或是错误使用单利计算方式计算增长后的量，解题时要仔细审题明确所求的是总和还是某一阶段的量。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确第一季度指1月、2月、3月三个月的营业额总和，解题思路是先分别用含x的代数式表示出2月、3月的营业额，再根据“三个月营业额相加等于总营业额3990万元”列方程。已知1月营业额为1000万元，月平均增长率为x，后一个月的营业额是前一个月的(1+x)倍，据此可以依次算出2月、3月的营业额，求和即可列出对应方程，解题时要注意区分“单月营业额”和“总营业额”，不要误将3月的营业额当成第一季度总营业额，也要避免把增长率当成固定增长量错算3月营业额。
【解析】
第一步：明确第一季度营业额为1月、2月、3月营业额之和。
第二步：分别表示各月营业额：
1月营业额：1000万元；
2月营业额：在1月基础上增长x，即$1000(1+x)$万元；
3月营业额：在2月基础上增长x，即$1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2$万元。
第三步：根据总营业额列方程：
三个月营业额相加等于3990万元，因此方程为：
$1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 3990$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的常规应用题，解题核心是准确表示出每个时间节点的对应量，易错点是容易混淆单月量和总量，或是错误使用单利计算方式计算增长后的量，解题时要仔细审题明确所求的是总和还是某一阶段的量。
【难度系数】
0.8
10 教材变式题 有一株月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总个数是73，求每个支干长出多少个小分支. 设每个支干长出 $ x $ 个小分支，则根据题意可列出方程为（
A.$ 1 + x + x(1 + x) = 73 $
B.$ 1 + x + x^2 = 73 $
C.$ 1 + x^2 = 73 $
D.$ x + x(1 + x) = 73 $
B
）A.$ 1 + x + x(1 + x) = 73 $
B.$ 1 + x + x^2 = 73 $
C.$ 1 + x^2 = 73 $
D.$ x + x(1 + x) = 73 $
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先明确总数量的构成：总个数=主干数量+支干数量+小分支数量，分别计算三部分的数量再列方程即可。首先主干固定只有1个；其次支干是主干长出的，题目设每个支干长出x个小分支，说明主干共长出x个支干；最后小分支由支干长出，每个支干长x个小分支，x个支干共长出x·x=x²个小分支，注意主干不会长出小分支，不要误将小分支算为x(1+x)，将三部分加和等于73即可得到正确方程。
【解析】
首先分别计算各部分数量：
1. 主干数量：只有1个；
2. 支干数量：主干长出x个支干，共x个；
3. 小分支数量：每个支干长出x个小分支，总数量为$x × x = x^2$个。
根据“主干、支干、小分支的总个数是73”，列方程得：
$1 + x + x^2 = 73$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 实际问题列一元二次方程
2. 分支类数量计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是理清不同层级的数量关系，注意区分分支问题和传播问题的计算差异，避免漏算主干或错算小分支的数量。
【难度系数】
0.8
解题时先明确总数量的构成：总个数=主干数量+支干数量+小分支数量，分别计算三部分的数量再列方程即可。首先主干固定只有1个；其次支干是主干长出的，题目设每个支干长出x个小分支，说明主干共长出x个支干；最后小分支由支干长出，每个支干长x个小分支，x个支干共长出x·x=x²个小分支，注意主干不会长出小分支，不要误将小分支算为x(1+x)，将三部分加和等于73即可得到正确方程。
【解析】
首先分别计算各部分数量：
1. 主干数量：只有1个；
2. 支干数量：主干长出x个支干，共x个；
3. 小分支数量：每个支干长出x个小分支，总数量为$x × x = x^2$个。
根据“主干、支干、小分支的总个数是73”，列方程得：
$1 + x + x^2 = 73$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 实际问题列一元二次方程
2. 分支类数量计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是理清不同层级的数量关系，注意区分分支问题和传播问题的计算差异，避免漏算主干或错算小分支的数量。
【难度系数】
0.8
11 新情境 市场营销 [2024绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为每件500元，因销量持续攀升，商家在3月提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月售价的基础上，4,5月按照相同的降价率r连续降价。已知5月礼盒的售价为每件486元，则r=
10%
。答案
11. 10%
解析
【分析】
解题时首先要梳理清楚礼盒价格的变化过程：第一步先算出3月提价后的售价，第二步明确4、5月是连续两次相同降价率的降价，属于平均降低率问题，可套用平均变化率公式：变化后量=变化前量×(1-降低率)ⁿ（n为降价次数），将已知量代入公式列一元二次方程，求解后结合降价率的实际意义（大于0小于1）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：1. 计算3月提价后的售价：
原价为500元，提价20%，因此3月售价为：
$ 500×(1+20\%) = 600 $（元）
2. 列方程求解降价率r：
4、5月在3月售价基础上连续2次降价，降价率为r，因此5月售价可表示为$ 600(1-r)^2 $，根据题意5月售价为486元，可列方程：
$ 600(1-r)^2 = 486 $
两边同时除以600得：
$ (1-r)^2 = 0.81 $
开平方得：
$ 1-r = \pm0.9 $
若$ 1-r=0.9 $，则$ r=0.1=10\% $，符合实际意义；
若$ 1-r=-0.9 $，则$ r=1.9 $，降价率不能大于1，舍去该解。
综上，$ r=10\% $。
【答案】
10%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的市场营销情境设计题目，考查平均降低率的计算应用，解题关键是理清价格的变化逻辑，正确列写方程，同时要注意结合实际情况对一元二次方程的两个根进行取舍，避免出现不合逻辑的结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要梳理清楚礼盒价格的变化过程：第一步先算出3月提价后的售价，第二步明确4、5月是连续两次相同降价率的降价，属于平均降低率问题，可套用平均变化率公式：变化后量=变化前量×(1-降低率)ⁿ（n为降价次数），将已知量代入公式列一元二次方程，求解后结合降价率的实际意义（大于0小于1）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：1. 计算3月提价后的售价：
原价为500元，提价20%，因此3月售价为：
$ 500×(1+20\%) = 600 $（元）
2. 列方程求解降价率r：
4、5月在3月售价基础上连续2次降价，降价率为r，因此5月售价可表示为$ 600(1-r)^2 $，根据题意5月售价为486元，可列方程：
$ 600(1-r)^2 = 486 $
两边同时除以600得：
$ (1-r)^2 = 0.81 $
开平方得：
$ 1-r = \pm0.9 $
若$ 1-r=0.9 $，则$ r=0.1=10\% $，符合实际意义；
若$ 1-r=-0.9 $，则$ r=1.9 $，降价率不能大于1，舍去该解。
综上，$ r=10\% $。
【答案】
10%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的市场营销情境设计题目，考查平均降低率的计算应用，解题关键是理清价格的变化逻辑，正确列写方程，同时要注意结合实际情况对一元二次方程的两个根进行取舍，避免出现不合逻辑的结果。
【难度系数】
0.8
12 在人群密集的场所，信息传播很快.某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么平均每轮传播中1人传播了多少人？
答案
12. 设平均每轮传播中1人传播了x人.根据题意,得$3+3x+x(3x+3)=864×50\%$,解得$x_1=11$,$x_2=-13$(不合题意,舍去).
∴平均每轮传播中1人传播了11人
∴平均每轮传播中1人传播了11人
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确传播的数量逻辑：①初始知晓喜讯的人数为3人；②设平均每轮传播中1人传播x人，第一轮传播后新增知晓人数为3x，第一轮结束后总知晓人数为3+3x；③第二轮传播时，以第一轮结束后的总知晓人数为传播基数，第二轮新增知晓人数为x·(3+3x)，两轮结束后总知晓人数等于小区总人数的50%，据此列一元二次方程求解，最后结合传播人数为正的实际意义舍去不符合要求的负根即可。
【解析】
解：设平均每轮传播中1人传播了x人。
先计算两轮传播后总知晓人数：$864×50\% = 432$
根据题意列方程：
$3 + 3x + x(3 + 3x) = 432$
整理方程得：$3(1+x)^2 = 432$
两边同时除以3得：$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = ±12$
解得：$x_1=11$，$x_2=-13$
由于传播人数不能为负数，因此$x_2=-13$不合题意，舍去。
【答案】
平均每轮传播中1人传播了11人
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题；一元二次方程求解
【点评】
本题是传播类应用题的常规考法，解题核心是理清每一轮传播的人数基数，找准等量关系建立方程模型，求解后要注意结合实际情境对根进行取舍，侧重考察学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的传播类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确传播的数量逻辑：①初始知晓喜讯的人数为3人；②设平均每轮传播中1人传播x人，第一轮传播后新增知晓人数为3x，第一轮结束后总知晓人数为3+3x；③第二轮传播时，以第一轮结束后的总知晓人数为传播基数，第二轮新增知晓人数为x·(3+3x)，两轮结束后总知晓人数等于小区总人数的50%，据此列一元二次方程求解，最后结合传播人数为正的实际意义舍去不符合要求的负根即可。
【解析】
解：设平均每轮传播中1人传播了x人。
先计算两轮传播后总知晓人数：$864×50\% = 432$
根据题意列方程：
$3 + 3x + x(3 + 3x) = 432$
整理方程得：$3(1+x)^2 = 432$
两边同时除以3得：$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = ±12$
解得：$x_1=11$，$x_2=-13$
由于传播人数不能为负数，因此$x_2=-13$不合题意，舍去。
【答案】
平均每轮传播中1人传播了11人
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题；一元二次方程求解
【点评】
本题是传播类应用题的常规考法，解题核心是理清每一轮传播的人数基数，找准等量关系建立方程模型，求解后要注意结合实际情境对根进行取舍，侧重考察学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
13 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月游客人数为1.6万，4月游客人数为2.5万.
（1）求3月和4月该景区游客人数的月平均增长率.
（2）预计5月该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客人数为2.125万，则5月后10天日均接待游客人数最多是多少万？
（1）求3月和4月该景区游客人数的月平均增长率.
（2）预计5月该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客人数为2.125万，则5月后10天日均接待游客人数最多是多少万？
答案
13.（1）设3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意,可知$1.6(1+x)^2=2.5$,解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$,$x_2=-\frac{9}{4}$(不合题意,舍去).
∴3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为25% （2）设5月后10天日均接待游客人数是a万.由题意,可知$2.125+10a≤2.5(1+25\%)$,解得$a≤0.1$.
∴5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万
∴3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为25% （2）设5月后10天日均接待游客人数是a万.由题意,可知$2.125+10a≤2.5(1+25\%)$,解得$a≤0.1$.
∴5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万
解析
【分析】
（1）本题为平均增长率类问题，核心公式为：增长后量=增长前量×(1+月平均增长率)^增长次数。已知2月游客人数为增长前的量1.6万，到4月共经过2次增长，增长后量为2.5万，设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）题干明确5月增长率不超过前两个月的平均增长率，因此5月最多游客总量为4月游客数×(1+25%)。设5月后10天日均接待a万，5月总游客数=前21天接待数+后10天接待总数，总游客数不能超过5月最大游客量，据此列一元一次不等式求解即可得到a的最大值。
【解析】
（1）设3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为x。
由题意列方程：
$1.6(1+x)^2=2.5$
整理得$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开方得$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$，$x_2=-\frac{9}{4}$
因为游客人数增长率为正数，故舍去$x_2=-\frac{9}{4}$。
（2）设5月后10天日均接待游客人数是a万。
由题可知5月最高增长率为25%，因此5月游客总人数最多为$2.5×(1+25\%)$万，列不等式：
$2.125 + 10a ≤ 2.5×(1+25\%)$
计算得$2.125+10a≤3.125$
移项化简得$10a≤1$
解得$a≤0.1$
【答案】
（1）3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万。
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际生活场景命题，解题关键是找准等量关系、不等关系列方程与不等式，需注意结合实际意义舍去不合理解，同时准确把握“不超过”等关键词对应的不等号方向，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
（1）本题为平均增长率类问题，核心公式为：增长后量=增长前量×(1+月平均增长率)^增长次数。已知2月游客人数为增长前的量1.6万，到4月共经过2次增长，增长后量为2.5万，设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）题干明确5月增长率不超过前两个月的平均增长率，因此5月最多游客总量为4月游客数×(1+25%)。设5月后10天日均接待a万，5月总游客数=前21天接待数+后10天接待总数，总游客数不能超过5月最大游客量，据此列一元一次不等式求解即可得到a的最大值。
【解析】
（1）设3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为x。
由题意列方程：
$1.6(1+x)^2=2.5$
整理得$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开方得$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$，$x_2=-\frac{9}{4}$
因为游客人数增长率为正数，故舍去$x_2=-\frac{9}{4}$。
（2）设5月后10天日均接待游客人数是a万。
由题可知5月最高增长率为25%，因此5月游客总人数最多为$2.5×(1+25\%)$万，列不等式：
$2.125 + 10a ≤ 2.5×(1+25\%)$
计算得$2.125+10a≤3.125$
移项化简得$10a≤1$
解得$a≤0.1$
【答案】
（1）3月和4月该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）5月后10天日均接待游客人数最多是0.1万。
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际生活场景命题，解题关键是找准等量关系、不等关系列方程与不等式，需注意结合实际意义舍去不合理解，同时准确把握“不超过”等关键词对应的不等号方向，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
14 某公司研发新产品，第一年投入的研发资金为200万元.第二年研发资金投入减少，降低率为x；第三年在第二年的基础上增加投入，增长率为2x.已知第三年投入的研发资金比第一年少39万元.
（1）求x的值；
（2）若该产品第一年的年销售额为500万元，且年销售额的年平均增长率与研发资金第二年的降低率相同，求第三年的年销售额比第二年多多少万元.
（1）求x的值；
（2）若该产品第一年的年销售额为500万元，且年销售额的年平均增长率与研发资金第二年的降低率相同，求第三年的年销售额比第二年多多少万元.
答案
14.（1）由题意,得第二年研发资金为$200(1-x)$万元,第三年研发资金为$200(1-x)(1+2x)$万元.根据题意,得$200(1-x)·(1+2x)=200-39$.整理,得$400x^2-200x-39=0$,解得$x_1=\frac{13}{20}=65\%$,$x_2=-\frac{3}{20}$(不合题意,舍去).
∴x的值为65%
（2）根据题意,得年销售额的年平均增长率为65%,则第二年的年销售额为$500(1+65\%)$万元,第三年的年销售额为$500(1+65\%)^2$万元,$500(1+65\%)^2-500(1+65\%)=500×65\%×(1+65\%)=536.25$(万元).
∴第三年的年销售额比第二年多536.25万元
∴x的值为65%
（2）根据题意,得年销售额的年平均增长率为65%,则第二年的年销售额为$500(1+65\%)$万元,第三年的年销售额为$500(1+65\%)^2$万元,$500(1+65\%)^2-500(1+65\%)=500×65\%×(1+65\%)=536.25$(万元).
∴第三年的年销售额比第二年多536.25万元
解析
【分析】
（1）解第一问时，先梳理各年研发资金的数量关系：第一年研发资金为200万元，第二年投入的降低率为x，因此第二年研发资金可表示为$200(1-x)$万元；第三年在第二年基础上的增长率为2x，因此第三年研发资金为第二年资金乘$(1+2x)$。再根据“第三年投入的研发资金比第一年少39万元”的等量关系列一元二次方程，求解后结合降低率的实际意义（不能为负）舍去不合题意的根，即可得到x的值。
（2）解第二问时，首先明确年销售额的年平均增长率与第一问求得的x相等，分别写出第二年、第三年的年销售额表达式，用第三年销售额减去第二年销售额即可得到结果，计算时可提取公因式简化运算。
【解析】
（1）由题意得：
第二年研发资金为$200(1-x)$万元，第三年研发资金为$200(1-x)(1+2x)$万元。
根据等量关系列方程：
$200(1-x)·(1+2x)=200-39$
整理得：$400x^2-200x-39=0$
解得$x_1=\frac{13}{20}=65\%$，$x_2=-\frac{3}{20}$，降低率不能为负，故$x_2$不合题意，舍去。
（2）由题意得年销售额的年平均增长率为65%：
第二年的年销售额为$500(1+65\%)$万元，
第三年的年销售额为$500(1+65\%)^2$万元，
则第三年比第二年多的销售额为：
$500(1+65\%)^2-500(1+65\%)=500×65\%×(1+65\%)=536.25$（万元）
【答案】
（1）$x$的值为$65\%$；
（2）第三年的年销售额比第二年多$536.25$万元。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，增长率计算
【点评】
本题属于常见的变化率类应用题，解题核心是准确表示不同阶段的对应量，结合题干给出的等量关系列方程求解，注意求解后要结合实际场景验证根的合理性，运算时注意细心即可。
【难度系数】
0.7
（1）解第一问时，先梳理各年研发资金的数量关系：第一年研发资金为200万元，第二年投入的降低率为x，因此第二年研发资金可表示为$200(1-x)$万元；第三年在第二年基础上的增长率为2x，因此第三年研发资金为第二年资金乘$(1+2x)$。再根据“第三年投入的研发资金比第一年少39万元”的等量关系列一元二次方程，求解后结合降低率的实际意义（不能为负）舍去不合题意的根，即可得到x的值。
（2）解第二问时，首先明确年销售额的年平均增长率与第一问求得的x相等，分别写出第二年、第三年的年销售额表达式，用第三年销售额减去第二年销售额即可得到结果，计算时可提取公因式简化运算。
【解析】
（1）由题意得：
第二年研发资金为$200(1-x)$万元，第三年研发资金为$200(1-x)(1+2x)$万元。
根据等量关系列方程：
$200(1-x)·(1+2x)=200-39$
整理得：$400x^2-200x-39=0$
解得$x_1=\frac{13}{20}=65\%$，$x_2=-\frac{3}{20}$，降低率不能为负，故$x_2$不合题意，舍去。
（2）由题意得年销售额的年平均增长率为65%：
第二年的年销售额为$500(1+65\%)$万元，
第三年的年销售额为$500(1+65\%)^2$万元，
则第三年比第二年多的销售额为：
$500(1+65\%)^2-500(1+65\%)=500×65\%×(1+65\%)=536.25$（万元）
【答案】
（1）$x$的值为$65\%$；
（2）第三年的年销售额比第二年多$536.25$万元。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，增长率计算
【点评】
本题属于常见的变化率类应用题，解题核心是准确表示不同阶段的对应量，结合题干给出的等量关系列方程求解，注意求解后要结合实际场景验证根的合理性，运算时注意细心即可。
【难度系数】
0.7
