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1 在一次会议上，每2个参加会议的人都互相握手1次，有人统计一共握了66次手，则这次参加会议的人数为（
A.10
B.11
C.12
D.13
C
）A.10
B.11
C.12
D.13
答案
1. C
解析
【分析】
这是典型的单循环计数类应用题，解题思路如下：第一步，设参加会议的人数为x人；第二步，分析握手次数的计算逻辑：每个人需和除自己外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)会把每一次握手重复统计1次，因此实际总握手次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；第三步，根据总握手次数为66次列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到参会人数。
【解析】
设这次参加会议的人数为$x$人。
由于每两人之间仅握手1次，剔除重复计数的部分后，总握手次数满足等式：
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
整理方程得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=-11$。
结合实际意义，人数不能为负数，因此舍去$x=-11$，即参加会议的人数为12人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，解题核心是理清单循环问题的计数逻辑，避免重复计算，同时要注意结合实际场景对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是典型的单循环计数类应用题，解题思路如下：第一步，设参加会议的人数为x人；第二步，分析握手次数的计算逻辑：每个人需和除自己外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)会把每一次握手重复统计1次，因此实际总握手次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；第三步，根据总握手次数为66次列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到参会人数。
【解析】
设这次参加会议的人数为$x$人。
由于每两人之间仅握手1次，剔除重复计数的部分后，总握手次数满足等式：
$\frac{1}{2}x(x-1)=66$
整理方程得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=-11$。
结合实际意义，人数不能为负数，因此舍去$x=-11$，即参加会议的人数为12人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，解题核心是理清单循环问题的计数逻辑，避免重复计算，同时要注意结合实际场景对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
2 若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话1次，共通话21次。设这些朋友一共x人，则可列方程为
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
。答案
2. $\frac{1}{2}x(x-1)=21$
解析
【分析】
这是典型的单循环通话类实际问题，解题思路为先分析单人的通话次数，再排除重复计数的部分，最后结合总通话次数列方程。x个朋友中，每个人都需要和除自己外的其余(x-1)人各通话1次，直接累加所有人的通话次数时，每一次通话会被通话的双方各统计1次，属于重复计算，因此实际总通话次数是累加值的一半，结合已知总通话21次即可列方程。
【解析】
设这些朋友一共有x人：
1. 每个人需要和除自己外的$(x-1)$人各通话1次，若不排除重复，统计的总通话次数为$x(x-1)$次；
2. 每两个朋友之间的通话仅算1次，上述统计中每1次通话都被重复计算了2次，因此实际总通话次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 已知实际共通话21次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=21$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题核心是掌握单循环类问题的计数逻辑，易错点是忽略重复计数的情况，忘记除以2导致列式错误，理清计数规则就能快速得出正确方程。
【难度系数】
0.8
这是典型的单循环通话类实际问题，解题思路为先分析单人的通话次数，再排除重复计数的部分，最后结合总通话次数列方程。x个朋友中，每个人都需要和除自己外的其余(x-1)人各通话1次，直接累加所有人的通话次数时，每一次通话会被通话的双方各统计1次，属于重复计算，因此实际总通话次数是累加值的一半，结合已知总通话21次即可列方程。
【解析】
设这些朋友一共有x人：
1. 每个人需要和除自己外的$(x-1)$人各通话1次，若不排除重复，统计的总通话次数为$x(x-1)$次；
2. 每两个朋友之间的通话仅算1次，上述统计中每1次通话都被重复计算了2次，因此实际总通话次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 已知实际共通话21次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=21$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题核心是掌握单循环类问题的计数逻辑，易错点是忽略重复计数的情况，忘记除以2导致列式错误，理清计数规则就能快速得出正确方程。
【难度系数】
0.8
3 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每2个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，问：比赛组织者应邀请多少个队参赛？
答案
3.
∵ 赛程计划安排 6 天,每天安排 6 场比赛,
∴ 共 6×6=36(场)比赛. 设比赛组织者应邀请 x 个队参赛.
∵ 每 2 个队之间只有 1 场比赛,
∴ 可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$,解得$x_1=9$,$x_2=-8$(舍去).
∴ 比赛组织者应邀请 9 个队参赛
∵ 赛程计划安排 6 天,每天安排 6 场比赛,
∴ 共 6×6=36(场)比赛. 设比赛组织者应邀请 x 个队参赛.
∵ 每 2 个队之间只有 1 场比赛,
∴ 可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=36$,解得$x_1=9$,$x_2=-8$(舍去).
∴ 比赛组织者应邀请 9 个队参赛
解析
【分析】
解题时首先计算总的比赛场数，根据赛程6天、每天6场，总场次为二者的乘积。其次本题属于单循环比赛问题，若有x个队参赛，每个队要和其余(x-1)个队各赛1场，但每场比赛会被重复计算1次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。最后根据总场次相等列一元二次方程求解，注意参赛队数为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：先计算总比赛场数：$6×6=36$（场）
设比赛组织者应邀请$x$个队参赛。
由于每2个队之间仅赛1场，总比赛场次可表示为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总场次为36列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
整理得$x^2-x-72=0$
因式分解得$(x-9)(x+8)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=-8$
因为参赛队数不能为负数，故舍去$x_2=-8$。
答：比赛组织者应邀请9个队参赛。
【答案】9个
【知识点】
一元二次方程应用；单循环场次计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题核心是准确掌握单循环比赛的场次计算规则，同时要注意结合实际意义对方程的根进行检验，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先计算总的比赛场数，根据赛程6天、每天6场，总场次为二者的乘积。其次本题属于单循环比赛问题，若有x个队参赛，每个队要和其余(x-1)个队各赛1场，但每场比赛会被重复计算1次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。最后根据总场次相等列一元二次方程求解，注意参赛队数为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：先计算总比赛场数：$6×6=36$（场）
设比赛组织者应邀请$x$个队参赛。
由于每2个队之间仅赛1场，总比赛场次可表示为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总场次为36列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
整理得$x^2-x-72=0$
因式分解得$(x-9)(x+8)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=-8$
因为参赛队数不能为负数，故舍去$x_2=-8$。
答：比赛组织者应邀请9个队参赛。
【答案】9个
【知识点】
一元二次方程应用；单循环场次计算；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题核心是准确掌握单循环比赛的场次计算规则，同时要注意结合实际意义对方程的根进行检验，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
4 新情境 市场营销 某商店销售一批服装，每件进价为100元，原售价为150元，每天可售出20件。若每件降价$x$元（$x$为正整数），则每天的销量增加$2x$件，每天的利润为1600元。下列方程正确的是（
A.$(150 - x)(20 + 2x) = 1600$
B.$(10 - x)(20 + 2x) = 1600$
C.$(150 - x - 100)(20 + 2x) = 1600$
D.$(50 - x)(20 - 2x) = 1600$
C
）A.$(150 - x)(20 + 2x) = 1600$
B.$(10 - x)(20 + 2x) = 1600$
C.$(150 - x - 100)(20 + 2x) = 1600$
D.$(50 - x)(20 - 2x) = 1600$
答案
4. C
解析
【分析】
解本题的核心是抓住销售利润问题的基本等量关系：总利润=单件利润×销售总数量。思考步骤如下：第一步先计算降价后每件服装的利润，利润=售价-进价，降价x元后售价为(150-x)元，减去进价100元即可得到单件利润；第二步计算降价后的日销售量，原销量20件，每降价x元销量增加2x件，相加即可得到总销量；第三步将两个量代入等量关系，即可得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
首先计算降价后每件服装的利润：
降价后每件售价为$(150-x)$元，已知每件进价为100元，因此单件利润为$(150 - x - 100)$元。
再计算降价后的日销售量：
原日销量为20件，每件降价x元时销量增加2x件，因此降价后日销量为$(20 + 2x)$件。
根据“总利润=单件利润×日销售量”，已知每天总利润为1600元，代入可得方程：
$\boldsymbol{(150 - x - 100)(20 + 2x) = 1600}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合市场营销的实际情境出题，解题的关键是找准利润问题的等量关系，正确表示出单件利润和销售总量两个核心量，是对应用方程解决实际问题能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是抓住销售利润问题的基本等量关系：总利润=单件利润×销售总数量。思考步骤如下：第一步先计算降价后每件服装的利润，利润=售价-进价，降价x元后售价为(150-x)元，减去进价100元即可得到单件利润；第二步计算降价后的日销售量，原销量20件，每降价x元销量增加2x件，相加即可得到总销量；第三步将两个量代入等量关系，即可得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
首先计算降价后每件服装的利润：
降价后每件售价为$(150-x)$元，已知每件进价为100元，因此单件利润为$(150 - x - 100)$元。
再计算降价后的日销售量：
原日销量为20件，每件降价x元时销量增加2x件，因此降价后日销量为$(20 + 2x)$件。
根据“总利润=单件利润×日销售量”，已知每天总利润为1600元，代入可得方程：
$\boldsymbol{(150 - x - 100)(20 + 2x) = 1600}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合市场营销的实际情境出题，解题的关键是找准利润问题的等量关系，正确表示出单件利润和销售总量两个核心量，是对应用方程解决实际问题能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
5 某水果店销售苹果，若按每千克8元的价格销售，每天可卖出50千克；若每千克每降价1元，则每天可多卖出10千克。现要使每天的销售额为400元(销售额=售价×销量)，设每千克降价x元，则可列方程为
$(8-x)(50+10x)=400$
，解得x的值为3或0
。答案
5. $(8-x)(50+10x)=400$ 3或0
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确销售额的计算公式：销售额=售价×销量。我们可以分两步推导等量关系：第一步，根据降价x元的条件，分别表示出降价后的实际售价和对应销量；第二步，将表示出的售价、销量代入销售额为400元的要求，即可列出方程，再求解一元二次方程得到x的值，注意验证解是否符合实际意义。
【解析】
1. 列方程：
已知每千克降价x元，则降价后每千克苹果的售价为$\boldsymbol{(8-x)}$元；
每降价1元多卖10千克，降价x元后每天的销量为$\boldsymbol{(50+10x)}$千克；
根据“每天销售额为400元”，结合销售额公式可列方程：
$\boldsymbol{(8-x)(50+10x)=400}$
2. 解方程：
展开方程左边得：$400 + 80x - 50x - 10x^2 = 400$
移项整理得：$-10x^2 + 30x = 0$
两边同时除以$-10$得：$x^2 - 3x = 0$
因式分解得：$x(x-3)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=3$，两个解均符合实际销售的要求。
【答案】
$(8-x)(50+10x)=400$；3或0
【知识点】
1. 销售类等量关系
2. 列一元二次方程
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础的销售类方程应用题，解题核心是准确用未知数表示出变动后的售价和销量，再结合给定的销售额条件建立方程，求解时注意不要遗漏符合实际意义的解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确销售额的计算公式：销售额=售价×销量。我们可以分两步推导等量关系：第一步，根据降价x元的条件，分别表示出降价后的实际售价和对应销量；第二步，将表示出的售价、销量代入销售额为400元的要求，即可列出方程，再求解一元二次方程得到x的值，注意验证解是否符合实际意义。
【解析】
1. 列方程：
已知每千克降价x元，则降价后每千克苹果的售价为$\boldsymbol{(8-x)}$元；
每降价1元多卖10千克，降价x元后每天的销量为$\boldsymbol{(50+10x)}$千克；
根据“每天销售额为400元”，结合销售额公式可列方程：
$\boldsymbol{(8-x)(50+10x)=400}$
2. 解方程：
展开方程左边得：$400 + 80x - 50x - 10x^2 = 400$
移项整理得：$-10x^2 + 30x = 0$
两边同时除以$-10$得：$x^2 - 3x = 0$
因式分解得：$x(x-3)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=3$，两个解均符合实际销售的要求。
【答案】
$(8-x)(50+10x)=400$；3或0
【知识点】
1. 销售类等量关系
2. 列一元二次方程
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础的销售类方程应用题，解题核心是准确用未知数表示出变动后的售价和销量，再结合给定的销售额条件建立方程，求解时注意不要遗漏符合实际意义的解。
【难度系数】
0.8
6 新情境 数学文化 我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文. 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱. 试问：6210文能买多少株椽？
答案
6. 设这批椽的数量为 x 株,则一株椽的价钱为 3(x-1)文. 依题意,得$3(x-1)x=6210$,即$(x-46)(x+45)=0$. 解得$x_1=46$,$x_2=-45$(舍去).
∴ 6 210 文能买 46 株椽
∴ 6 210 文能买 46 株椽
解析
【分析】
这是一道一元二次方程实际应用类题目，解题核心是找准题目中的等量关系。首先设椽的总数量为x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”推导单株椽的价格：少拿一株后有(x-1)株，每株运费3文，总运费为3(x-1)文，即1株椽的价格为3(x-1)文。再根据“总价钱=单株价格×数量”的等量关系，总价钱为6210文，即可列出关于x的方程，求解后注意椽的数量为正，需舍去不符合实际意义的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3(x-1)文。
依题意，得：
$3(x-1)x=6210$
整理得：$x^2 - x - 2070=0$
因式分解得：$(x-46)(x+45)=0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
由于椽的数量不能为负数，故$x_2=-45$不符合题意，舍去。
【答案】
46株
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解；实际问题根的检验
【点评】
本题以我国古代数学著作为背景，考查了运用方程思想解决实际问题的能力，解题关键是准确理解题意找到等量关系列方程，同时要结合实际情况对根进行验证，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程实际应用类题目，解题核心是找准题目中的等量关系。首先设椽的总数量为x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”推导单株椽的价格：少拿一株后有(x-1)株，每株运费3文，总运费为3(x-1)文，即1株椽的价格为3(x-1)文。再根据“总价钱=单株价格×数量”的等量关系，总价钱为6210文，即可列出关于x的方程，求解后注意椽的数量为正，需舍去不符合实际意义的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3(x-1)文。
依题意，得：
$3(x-1)x=6210$
整理得：$x^2 - x - 2070=0$
因式分解得：$(x-46)(x+45)=0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
由于椽的数量不能为负数，故$x_2=-45$不符合题意，舍去。
【答案】
46株
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解；实际问题根的检验
【点评】
本题以我国古代数学著作为背景，考查了运用方程思想解决实际问题的能力，解题关键是准确理解题意找到等量关系列方程，同时要结合实际情况对根进行验证，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
7 两个连续奇数的积为99,设其中较小的一个奇数为$x$,则可得方程为 （
A.$x(x-2)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$(2x-1)(2x+1)=99$
B
）A.$x(x-2)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$(2x-1)(2x+1)=99$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先明确题目条件：两个连续奇数的积为99，设较小奇数为x。首先回忆连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，因此可先表示出较大的奇数，再根据“两数乘积为99”的等量关系列方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
设较小的奇数为$x$，由于连续奇数之间相差2，因此较大的连续奇数为$x+2$。
根据“两个连续奇数的积为99”的等量关系，可列方程：
$x(x+2)=99$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
连续奇数的性质；列一元二次方程
【点评】
本题侧重考查根据实际情境列方程的能力，解题核心是掌握连续奇数的差为2的特征，准确用代数式表示出两个奇数后结合等量关系列方程，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题目条件：两个连续奇数的积为99，设较小奇数为x。首先回忆连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，因此可先表示出较大的奇数，再根据“两数乘积为99”的等量关系列方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
设较小的奇数为$x$，由于连续奇数之间相差2，因此较大的连续奇数为$x+2$。
根据“两个连续奇数的积为99”的等量关系，可列方程：
$x(x+2)=99$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
连续奇数的性质；列一元二次方程
【点评】
本题侧重考查根据实际情境列方程的能力，解题核心是掌握连续奇数的差为2的特征，准确用代数式表示出两个奇数后结合等量关系列方程，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
8 一个正整数，它的平方比它的3倍大10，设这个正整数为x，则可列方程为
$x^2-3x-10=0$
，解得x=5
（舍去负根）。答案
8. $x^2-3x-10=0$ 5
解析
【分析】
解题时首先提取题目中的核心等量关系：这个正整数的平方减去它的3倍等于10。第一步根据等量关系列出含未知数x的等式，整理得到一元二次方程；第二步用因式分解法求解一元二次方程，最后结合“正整数”的前提条件舍去不符合要求的负根，得到最终结果。
【解析】
1. 列方程：设这个正整数为x，它的平方表示为$x^2$，它的3倍表示为$3x$，根据“平方比3倍大10”的关系可列等式：$x^2 - 3x = 10$，移项整理得方程：$x^2 - 3x - 10 = 0$。
2. 解方程：对一元二次方程因式分解可得$(x-5)(x+2)=0$，因此$x-5=0$或$x+2=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-2$。
3. 根的取舍：由于x是正整数，因此负根$x=-2$不符合题意，舍去，最终得$x=5$。
【答案】
$x^2-3x-10=0$；5
【知识点】
列一元二次方程；因式分解解方程；根的合理性判断
【点评】
本题是基础类应用题，重点考查将文字描述的等量关系转化为数学方程的能力，以及求解后结合实际条件筛选根的意识，解题时容易出现的错误是列方程时搞反大小关系，或忽略正整数的条件忘记舍去负根。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题目中的核心等量关系：这个正整数的平方减去它的3倍等于10。第一步根据等量关系列出含未知数x的等式，整理得到一元二次方程；第二步用因式分解法求解一元二次方程，最后结合“正整数”的前提条件舍去不符合要求的负根，得到最终结果。
【解析】
1. 列方程：设这个正整数为x，它的平方表示为$x^2$，它的3倍表示为$3x$，根据“平方比3倍大10”的关系可列等式：$x^2 - 3x = 10$，移项整理得方程：$x^2 - 3x - 10 = 0$。
2. 解方程：对一元二次方程因式分解可得$(x-5)(x+2)=0$，因此$x-5=0$或$x+2=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-2$。
3. 根的取舍：由于x是正整数，因此负根$x=-2$不符合题意，舍去，最终得$x=5$。
【答案】
$x^2-3x-10=0$；5
【知识点】
列一元二次方程；因式分解解方程；根的合理性判断
【点评】
本题是基础类应用题，重点考查将文字描述的等量关系转化为数学方程的能力，以及求解后结合实际条件筛选根的意识，解题时容易出现的错误是列方程时搞反大小关系，或忽略正整数的条件忘记舍去负根。
【难度系数】
0.9
9 已知两个正整数的和为17，积为66，求这两个正整数。
答案
9. 设其中一个正整数为 x,则另一个数为 17−x. 依题意,得$x·(17-x)=66$. 解得$x_1=6$,$x_2=11$. 当 x=6 时,另一个数为17−6=11;当 x=11 时,另一个数为 17−11=6.
∴ 这两个正整数分别为 6 和 11
∴ 这两个正整数分别为 6 和 11
解析
【分析】
本题是已知两数和与积求两数的数字类应用题，解题思路如下：第一步，根据两数之和为17的条件，设其中一个数为x，即可用含x的代数式表示另一个数为17-x；第二步，抓住两数积为66的等量关系，列出关于x的一元二次方程；第三步，求解一元二次方程，验证解为正整数后即可得到所求的两个数。
【解析】
解：设其中一个正整数为$x$，则另一个正整数为$(17-x)$，根据两数积为66列方程得：
$x(17-x)=66$
整理方程得：$x^2 - 17x + 66 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 11) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=11$
当$x=6$时，另一个数为$17-6=11$；当$x=11$时，另一个数为$17-11=6$，均符合正整数的要求。
【答案】
这两个正整数分别为6和11
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，解题关键是合理设未知数，利用两数的和与积的等量关系列方程求解，能帮助学生巩固列方程解应用题的基本步骤和解一元二次方程的能力。
【难度系数】
0.8
本题是已知两数和与积求两数的数字类应用题，解题思路如下：第一步，根据两数之和为17的条件，设其中一个数为x，即可用含x的代数式表示另一个数为17-x；第二步，抓住两数积为66的等量关系，列出关于x的一元二次方程；第三步，求解一元二次方程，验证解为正整数后即可得到所求的两个数。
【解析】
解：设其中一个正整数为$x$，则另一个正整数为$(17-x)$，根据两数积为66列方程得：
$x(17-x)=66$
整理方程得：$x^2 - 17x + 66 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 11) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=11$
当$x=6$时，另一个数为$17-6=11$；当$x=11$时，另一个数为$17-11=6$，均符合正整数的要求。
【答案】
这两个正整数分别为6和11
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程应用的基础题型，解题关键是合理设未知数，利用两数的和与积的等量关系列方程求解，能帮助学生巩固列方程解应用题的基本步骤和解一元二次方程的能力。
【难度系数】
0.8
