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11 当反比例函数 $y=(m-2)x^{2m+1}$ 的函数值为3时，自变量$x$的值为 （
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.3
B
）A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.3
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量的次数为$-1$，且比例系数不能为0。解题思路如下：第一步，根据反比例函数的定义列方程和不等式，求出参数$m$的取值；第二步，将$m$代入原式得到具体的反比例函数解析式；第三步，把函数值$y=3$代入解析式，求解自变量$x$的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
∵ $y=(m-2)x^{2m+1}$是反比例函数
∴ 根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}2m+1=-1 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解方程$2m+1=-1$：
移项得$2m=-1-1=-2$，解得$m=-1$
验证系数：当$m=-1$时，$m-2=-1-2=-3≠0$，符合要求
∴ 反比例函数的解析式为$y=-3x^{-1}=-\frac{3}{x}$
当函数值$y=3$时，代入解析式得：
$3=-\frac{3}{x}$
两边同乘$x$得$3x=-3$，解得$x=-1$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，解一元一次方程，求函数自变量的值
【点评】
本题核心考查反比例函数的概念，易错点是容易遗漏比例系数不为0的限制条件，只要熟练掌握反比例函数的形式特征，按步骤求解即可得分，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量的次数为$-1$，且比例系数不能为0。解题思路如下：第一步，根据反比例函数的定义列方程和不等式，求出参数$m$的取值；第二步，将$m$代入原式得到具体的反比例函数解析式；第三步，把函数值$y=3$代入解析式，求解自变量$x$的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
∵ $y=(m-2)x^{2m+1}$是反比例函数
∴ 根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}2m+1=-1 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解方程$2m+1=-1$：
移项得$2m=-1-1=-2$，解得$m=-1$
验证系数：当$m=-1$时，$m-2=-1-2=-3≠0$，符合要求
∴ 反比例函数的解析式为$y=-3x^{-1}=-\frac{3}{x}$
当函数值$y=3$时，代入解析式得：
$3=-\frac{3}{x}$
两边同乘$x$得$3x=-3$，解得$x=-1$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，解一元一次方程，求函数自变量的值
【点评】
本题核心考查反比例函数的概念，易错点是容易遗漏比例系数不为0的限制条件，只要熟练掌握反比例函数的形式特征，按步骤求解即可得分，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
12 已知货车平均每天运货吨数$x$、运货天数$y$和运货总吨数$m$这三个量，有下列三个结论：①当$x$一定时，$y$是$m$的反比例函数；②当$y$一定时，$x$是$m$的反比例函数；③当$m$一定时，$y$是$x$的反比例函数。其中，正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.①②③
C
）A.①
B.②
C.③
D.①②③
答案
C
解析
【分析】
首先明确三个量的基本等量关系为$m=xy$，再结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$的函数是反比例函数），分别对三个结论中给定的定量进行分析，将解析式变形为符合函数定义的形式，逐一判断正误即可。
【解析】
解：由题意可知三个量的关系为：$m = xy$（x、y均大于0）。
①当x一定时，x为非零常数，变形可得$y = \frac{1}{x} · m$，符合正比例函数的形式，即y是m的正比例函数，故①错误；
②当y一定时，y为非零常数，变形可得$x = \frac{1}{y} · m$，符合正比例函数的形式，即x是m的正比例函数，故②错误；
③当m一定时，m为非零常数，变形可得$y = \frac{m}{x}$，符合反比例函数的定义，即y是x的反比例函数，故③正确。
综上，只有③正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.正比例函数的定义
【点评】
本题考查正比例函数和反比例函数的识别，解题的关键是先确定三个量的基本数量关系，再结合函数的定义对变量关系进行判断，做题时注意区分两种函数的表达形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
首先明确三个量的基本等量关系为$m=xy$，再结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$的函数是反比例函数），分别对三个结论中给定的定量进行分析，将解析式变形为符合函数定义的形式，逐一判断正误即可。
【解析】
解：由题意可知三个量的关系为：$m = xy$（x、y均大于0）。
①当x一定时，x为非零常数，变形可得$y = \frac{1}{x} · m$，符合正比例函数的形式，即y是m的正比例函数，故①错误；
②当y一定时，y为非零常数，变形可得$x = \frac{1}{y} · m$，符合正比例函数的形式，即x是m的正比例函数，故②错误；
③当m一定时，m为非零常数，变形可得$y = \frac{m}{x}$，符合反比例函数的定义，即y是x的反比例函数，故③正确。
综上，只有③正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.正比例函数的定义
【点评】
本题考查正比例函数和反比例函数的识别，解题的关键是先确定三个量的基本数量关系，再结合函数的定义对变量关系进行判断，做题时注意区分两种函数的表达形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
13 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P为边AD上一动点，CE⊥BP于点E，BP=x，CE=y，则y关于x的函数解析式为
（第13题）
$y=\dfrac{48}{x}(6≤ x≤10)$
.（第13题）答案
$y=\dfrac{48}{x}(6≤ x≤10)$
解析
【分析】
解题时可先从图形的面积关系入手分析：首先矩形中△BPC的面积是固定值，我们可以通过两种不同的方式表示△BPC的面积，建立关于x、y的等量关系，即可推导出y与x的函数解析式；再结合点P在AD上的运动范围，求出x的取值范围即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴矩形ABCD的面积为$AB× BC=6×8=48$
△BPC与矩形ABCD同底等高，因此$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$
又
∵CE⊥BP，BP=x，CE=y
∴$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}· BP· CE=\frac{1}{2}xy$
联立面积相等可得：$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$y=\frac{48}{x}$
接下来求x的取值范围：
当点P与点A重合时，BP最短，此时$x=BP=AB=6$
当点P与点D重合时，BP最长，此时BP为矩形对角线，$x=BP=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
因此x的取值范围是$6≤ x≤10$
综上，y关于x的函数解析式为$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤10)$
【答案】
$y=\dfrac{48}{x}(6≤ x≤10)$
【知识点】
反比例函数的概念；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合几何图形性质考查反比例函数解析式的求解，利用面积不变建立等量关系是解题的核心，解题时要注意结合图形运动的实际情况，确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时可先从图形的面积关系入手分析：首先矩形中△BPC的面积是固定值，我们可以通过两种不同的方式表示△BPC的面积，建立关于x、y的等量关系，即可推导出y与x的函数解析式；再结合点P在AD上的运动范围，求出x的取值范围即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴矩形ABCD的面积为$AB× BC=6×8=48$
△BPC与矩形ABCD同底等高，因此$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$
又
∵CE⊥BP，BP=x，CE=y
∴$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}· BP· CE=\frac{1}{2}xy$
联立面积相等可得：$\frac{1}{2}xy=24$，整理得$y=\frac{48}{x}$
接下来求x的取值范围：
当点P与点A重合时，BP最短，此时$x=BP=AB=6$
当点P与点D重合时，BP最长，此时BP为矩形对角线，$x=BP=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
因此x的取值范围是$6≤ x≤10$
综上，y关于x的函数解析式为$y=\frac{48}{x}(6≤ x≤10)$
【答案】
$y=\dfrac{48}{x}(6≤ x≤10)$
【知识点】
反比例函数的概念；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合几何图形性质考查反比例函数解析式的求解，利用面积不变建立等量关系是解题的核心，解题时要注意结合图形运动的实际情况，确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
14 新情境 生活实际 将油箱加满$k$ L油后，轿车可行驶的总路程$s(\mathrm{km})$与平均耗油量$a(\mathrm{L/km})$之间满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$（$k$是常数，$k≠0$）。已知某轿车的油箱加满油后，以平均耗油量为0.1 L/km的速度行驶，可行驶700 km。
(1) 求$s$关于$a$的函数解析式；
(2) 当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶多少千米？
(1) 求$s$关于$a$的函数解析式；
(2) 当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶多少千米？
答案
(1) 由题意，得$k=0.1×700=70$.$\therefore s$关于$a$的函数解析式为$s=\frac{70}{a}$
(2) 将$a=0.08$代入$s=\frac{70}{a}$，得$s=\frac{70}{0.08}=875$.$\therefore$ 当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km
(2) 将$a=0.08$代入$s=\frac{70}{a}$，得$s=\frac{70}{0.08}=875$.$\therefore$ 当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1) 题目已明确s与a满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$，要确定函数解析式，只需求出常数k的值即可。已知当平均耗油量$a=0.1\ \mathrm{L/km}$时，可行驶路程$s=700\ \mathrm{km}$，将这组对应值代入函数表达式即可算出k，进而得到s关于a的函数解析式。(2) 第一问已求出函数解析式，第二问给出了平均耗油量a的取值，直接将$a=0.08$代入解析式计算，就能得到对应的可行驶总路程s。
【解析】
(1) 将$a=0.1$，$s=700$代入$s=\frac{k}{a}$，可得：
$k=sa=0.1×700=70$
因此$s$关于$a$的函数解析式为$s=\frac{70}{a}$。
(2) 将$a=0.08$代入$s=\frac{70}{a}$，可得：
$s=\frac{70}{0.08}=875$
因此当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km。
【答案】
(1) $s=\frac{70}{a}$
(2) $875\ \mathrm{km}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；代入法求函数值；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合轿车耗油的生活情境，考查反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知对应量求出反比例函数的未知系数，再代入自变量求解对应函数值，题目贴合生活实际，理解难度低。
【难度系数】
0.85
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1) 题目已明确s与a满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$，要确定函数解析式，只需求出常数k的值即可。已知当平均耗油量$a=0.1\ \mathrm{L/km}$时，可行驶路程$s=700\ \mathrm{km}$，将这组对应值代入函数表达式即可算出k，进而得到s关于a的函数解析式。(2) 第一问已求出函数解析式，第二问给出了平均耗油量a的取值，直接将$a=0.08$代入解析式计算，就能得到对应的可行驶总路程s。
【解析】
(1) 将$a=0.1$，$s=700$代入$s=\frac{k}{a}$，可得：
$k=sa=0.1×700=70$
因此$s$关于$a$的函数解析式为$s=\frac{70}{a}$。
(2) 将$a=0.08$代入$s=\frac{70}{a}$，可得：
$s=\frac{70}{0.08}=875$
因此当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km。
【答案】
(1) $s=\frac{70}{a}$
(2) $875\ \mathrm{km}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；代入法求函数值；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合轿车耗油的生活情境，考查反比例函数的基础应用，解题核心是先利用已知对应量求出反比例函数的未知系数，再代入自变量求解对应函数值，题目贴合生活实际，理解难度低。
【难度系数】
0.85
15 已知函数$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x$成反比例，$y_2$与$x^2$成正比例，且当$x=-1$时，$y=-5$；当$x=1$时，$y=1$。
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 当$x=-3$时，求$y$的值。
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 当$x=-3$时，求$y$的值。
答案
(1) 由题意，可设$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$，$y_2=k_2x^2(k_2≠0)$，则$y=\frac{k_1}{x}+k_2x^2$.将$\begin{cases}x=-1,\\y=-5\end{cases}$和$\begin{cases}x=1,\\y=1\end{cases}$代入，得$\begin{cases}-k_1+k_2=-5,\\k_1+k_2=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=3,\\k_2=-2.\end{cases}$ $\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{3}{x}-2x^2$
(2) 将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}-2x^2$，得$y=\frac{3}{-3}-2×(-3)^2=-19$
(2) 将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}-2x^2$，得$y=\frac{3}{-3}-2×(-3)^2=-19$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求函数解析式：先根据反比例、正比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意比例系数不为0），进而得到$y$与$x$的总表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入总表达式，得到关于两个比例系数的二元一次方程组，解方程组求出两个系数，即可确定$y$关于$x$的函数解析式。
(2) 求$x=-3$时$y$的值：直接将$x=-3$代入第(1)问求出的函数解析式，按照运算顺序计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 由题意，$y_1$与$x$成反比例，可设$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$；$y_2$与$x^2$成正比例，可设$y_2=k_2x^2(k_2≠0)$。
则$y=y_1+y_2=\frac{k_1}{x}+k_2x^2$。
将$\begin{cases}x=-1\\y=-5\end{cases}$和$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$分别代入上式，得：
$\begin{cases}-k_1 + k_2=-5\\k_1 + k_2=1\end{cases}$
解这个方程组：两式相加得$2k_2=-4$，解得$k_2=-2$；将$k_2=-2$代入$k_1 + k_2=1$，得$k_1=3$。
∴ $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{3}{x}-2x^2$。
(2) 将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}-2x^2$，得：
$y=\frac{3}{-3}-2×(-3)^2=-1 - 18=-19$
【答案】
(1) $y=\frac{3}{x}-2x^2$；(2) $-19$
【知识点】
反比例函数的概念；正比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题的关键是准确根据正比例、反比例函数的定义设出对应表达式，代入已知条件求解参数，代入求值时注意运算顺序，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求函数解析式：先根据反比例、正比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意比例系数不为0），进而得到$y$与$x$的总表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入总表达式，得到关于两个比例系数的二元一次方程组，解方程组求出两个系数，即可确定$y$关于$x$的函数解析式。
(2) 求$x=-3$时$y$的值：直接将$x=-3$代入第(1)问求出的函数解析式，按照运算顺序计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 由题意，$y_1$与$x$成反比例，可设$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$；$y_2$与$x^2$成正比例，可设$y_2=k_2x^2(k_2≠0)$。
则$y=y_1+y_2=\frac{k_1}{x}+k_2x^2$。
将$\begin{cases}x=-1\\y=-5\end{cases}$和$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$分别代入上式，得：
$\begin{cases}-k_1 + k_2=-5\\k_1 + k_2=1\end{cases}$
解这个方程组：两式相加得$2k_2=-4$，解得$k_2=-2$；将$k_2=-2$代入$k_1 + k_2=1$，得$k_1=3$。
∴ $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{3}{x}-2x^2$。
(2) 将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}-2x^2$，得：
$y=\frac{3}{-3}-2×(-3)^2=-1 - 18=-19$
【答案】
(1) $y=\frac{3}{x}-2x^2$；(2) $-19$
【知识点】
反比例函数的概念；正比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题的关键是准确根据正比例、反比例函数的定义设出对应表达式，代入已知条件求解参数，代入求值时注意运算顺序，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
16 已知反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$，将 $x=\dfrac{2}{3}$ 代入该函数的解析式，所得函数值记为 $y_1$；将 $x=y_1+1$ 代入该函数的解析式，所得函数值记为 $y_2$；将 $x=y_2+1$ 代入该函数的解析式，所得函数值记为 $y_3$……如此继续下去，求 $y_{2026}$ 的值。
答案
由题意，易得$y_1=-\frac{3}{2}$，$y_2=2$，$y_3=-\frac{1}{3}$，$y_4=-\frac{3}{2}$，…，$\therefore$ 每3次计算为一个循环.$\because 2026÷3=675$(个)……1，$\therefore y_{2026}$与$y_1$的值相同，为$-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这是一道结合反比例函数求值的规律探究题，解题思路如下：首先按照题目给出的代入规则，依次计算前几个函数值$y_1、y_2、y_3、y_4$，观察数值的重复规律，确定循环周期；再用总序数2026除以周期，根据得到的余数判断$y_{2026}$对应周期内的第几个数值，即可求出结果。
【解析】
解：根据题意依次计算：
当$x=\dfrac{2}{3}$时，$y_1=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
当$x=y_1+1=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$时，$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2$；
当$x=y_2+1=2+1=3$时，$y_3=-\dfrac{1}{3}$；
当$x=y_3+1=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}$时，$y_4=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
由此可得函数值每3次为一个循环周期，周期内数值依次为$-\dfrac{3}{2}、2、-\dfrac{1}{3}$。
因为$2026÷3=675······1$，即2026除以3商675余1，所以$y_{2026}$与周期内第1个数值相等。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值；周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数运算考查规律探索能力，解题核心是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数快速定位所求项的值，计算前几项时需细心避免算错导致周期判断错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合反比例函数求值的规律探究题，解题思路如下：首先按照题目给出的代入规则，依次计算前几个函数值$y_1、y_2、y_3、y_4$，观察数值的重复规律，确定循环周期；再用总序数2026除以周期，根据得到的余数判断$y_{2026}$对应周期内的第几个数值，即可求出结果。
【解析】
解：根据题意依次计算：
当$x=\dfrac{2}{3}$时，$y_1=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
当$x=y_1+1=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$时，$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2$；
当$x=y_2+1=2+1=3$时，$y_3=-\dfrac{1}{3}$；
当$x=y_3+1=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}$时，$y_4=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
由此可得函数值每3次为一个循环周期，周期内数值依次为$-\dfrac{3}{2}、2、-\dfrac{1}{3}$。
因为$2026÷3=675······1$，即2026除以3商675余1，所以$y_{2026}$与周期内第1个数值相等。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值；周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数运算考查规律探索能力，解题核心是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数快速定位所求项的值，计算前几项时需细心避免算错导致周期判断错误。
【难度系数】
0.7
