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11 教材变式题 对于函数$y=3(x+1)^2$，下列说法不正确的是（
A.其图象开口向上
B.其图象的对称轴是直线$x=-1$
C.其图象最低点的坐标是$(-1,0)$
D.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）A.其图象开口向上
B.其图象的对称轴是直线$x=-1$
C.其图象最低点的坐标是$(-1,0)$
D.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
11. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时先确定给定函数对应的参数$a$、$h$的值，再依次从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性四个维度判断各选项的正误即可。
【解析】
函数$y=3(x+1)^2$是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，其中$a=3$，$h=-1$：
1. 判断A选项：$a=3＞0$，因此二次函数图象开口向上，A选项说法正确，不符合题意；
2. 判断B选项：二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴是直线$x=-1$，B选项说法正确，不符合题意；
3. 判断C选项：由于图象开口向上，因此顶点为图象的最低点，顶点坐标为$(h,0)$即$(-1,0)$，C选项说法正确，不符合题意；
4. 判断D选项：开口向上的二次函数，在对称轴左侧（$x＜-1$）时，$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞-1$）时，$y$随$x$的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数开口方向判断
2. 二次函数对称轴与顶点坐标
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础考查题，核心是掌握$y=a(x-h)^2$中参数$a$、$h$对应的几何意义，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题时先确定给定函数对应的参数$a$、$h$的值，再依次从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性四个维度判断各选项的正误即可。
【解析】
函数$y=3(x+1)^2$是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，其中$a=3$，$h=-1$：
1. 判断A选项：$a=3＞0$，因此二次函数图象开口向上，A选项说法正确，不符合题意；
2. 判断B选项：二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴是直线$x=-1$，B选项说法正确，不符合题意；
3. 判断C选项：由于图象开口向上，因此顶点为图象的最低点，顶点坐标为$(h,0)$即$(-1,0)$，C选项说法正确，不符合题意；
4. 判断D选项：开口向上的二次函数，在对称轴左侧（$x＜-1$）时，$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞-1$）时，$y$随$x$的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数开口方向判断
2. 二次函数对称轴与顶点坐标
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础考查题，核心是掌握$y=a(x-h)^2$中参数$a$、$h$对应的几何意义，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12 若抛物线 $ y=2(x-1)^2 $ 经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，则$n$的值为（
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$
答案
12. A
解析
【分析】
首先观察到已知两点的纵坐标相同，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点。解题思路为：第一步先根据抛物线的顶点式解析式求出对称轴；第二步利用对称点的横坐标的中点等于对称轴对应的横坐标，列方程求出m的值；第三步将点的坐标代入抛物线解析式即可求出n的值。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
2. 求m的值：因为点$(m,n)$和$(m+3,n)$纵坐标相同，所以两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，可列方程：
$\frac{m+(m+3)}{2}=1$
化简得：$2m+3=2$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
3. 求n的值：将$m=-\frac{1}{2}$代入点$(m,n)$，再代入抛物线解析式得：
$n=2×(-\frac{1}{2}-1)^2=2×(-\frac{3}{2})^2=2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$。
所以n的值为$\frac{9}{2}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是明确纵坐标相等的两个点关于抛物线对称轴对称，再结合对称轴公式求解参数，是二次函数性质部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察到已知两点的纵坐标相同，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点。解题思路为：第一步先根据抛物线的顶点式解析式求出对称轴；第二步利用对称点的横坐标的中点等于对称轴对应的横坐标，列方程求出m的值；第三步将点的坐标代入抛物线解析式即可求出n的值。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
2. 求m的值：因为点$(m,n)$和$(m+3,n)$纵坐标相同，所以两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，可列方程：
$\frac{m+(m+3)}{2}=1$
化简得：$2m+3=2$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
3. 求n的值：将$m=-\frac{1}{2}$代入点$(m,n)$，再代入抛物线解析式得：
$n=2×(-\frac{1}{2}-1)^2=2×(-\frac{3}{2})^2=2×\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$。
所以n的值为$\frac{9}{2}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是明确纵坐标相等的两个点关于抛物线对称轴对称，再结合对称轴公式求解参数，是二次函数性质部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
13 已知二次函数$y=4(x-a)^2$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的取值范围是
$a≤ 1$
答案
13. $a≤ 1$
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，在对称轴直线$x=h$的右侧，$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中二次函数开口向上，要满足$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞1$的区间需完全落在对称轴的右侧，据此即可求出$a$的取值范围，注意验证等号是否可取。
【解析】
对于二次函数$y=4(x-a)^2$：
1. 确定开口方向：二次项系数$4＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 确定对称轴：该函数为顶点式，对称轴为直线$x=a$；
3. 结合增减性分析：开口向上的抛物线，在对称轴右侧即$x≥ a$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 结合题意列不等式：题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明区间$x＞1$包含在$x≥ a$的范围内，因此$a≤ 1$（当$a=1$时，对称轴为$x=1$，$x＞1$仍在对称轴右侧，满足条件）。
【答案】
$a≤ 1$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础考查题，解题关键是先明确抛物线的开口方向，再结合对称轴判断增减区间与给定范围的关系，尤其要注意等号是否可取，避免因漏写等号出错。
【难度系数】
0.75
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，在对称轴直线$x=h$的右侧，$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中二次函数开口向上，要满足$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞1$的区间需完全落在对称轴的右侧，据此即可求出$a$的取值范围，注意验证等号是否可取。
【解析】
对于二次函数$y=4(x-a)^2$：
1. 确定开口方向：二次项系数$4＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 确定对称轴：该函数为顶点式，对称轴为直线$x=a$；
3. 结合增减性分析：开口向上的抛物线，在对称轴右侧即$x≥ a$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 结合题意列不等式：题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明区间$x＞1$包含在$x≥ a$的范围内，因此$a≤ 1$（当$a=1$时，对称轴为$x=1$，$x＞1$仍在对称轴右侧，满足条件）。
【答案】
$a≤ 1$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数增减性的基础考查题，解题关键是先明确抛物线的开口方向，再结合对称轴判断增减区间与给定范围的关系，尤其要注意等号是否可取，避免因漏写等号出错。
【难度系数】
0.75
14 若$A(-\dfrac{15}{4},y_{1}),B(-\dfrac{3}{4},y_{2}),C(7,y_{3})$为二次函数$y=a(x-3)^2(a＞0)$图象上的三点，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为
$y_1＞y_3＞y_2$
（用“＞”连接）。答案
14. $y_1＞y_3＞y_2$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数$y=a(x-h)^2$（a＞0）的性质：开口向上时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。首先确定该二次函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小就能直接得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系，无需代入计算具体数值。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=a(x-3)^2$，且$a＞0$，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=3$，
由此可得：抛物线上的点到对称轴$x=3$的水平距离越远，对应的函数值越大。
分别计算三点到对称轴的距离：
点$A(-\dfrac{15}{4},y_1)$到对称轴的距离：$\left| -\dfrac{15}{4} - 3 \right| = \left| -\dfrac{27}{4} \right| = \dfrac{27}{4}$，
点$B(-\dfrac{3}{4},y_2)$到对称轴的距离：$\left| -\dfrac{3}{4} - 3 \right| = \left| -\dfrac{15}{4} \right| = \dfrac{15}{4}$，
点$C(7,y_3)$到对称轴的距离：$\left| 7 - 3 \right| = 4 = \dfrac{16}{4}$，
∵$\dfrac{27}{4} ＞ \dfrac{16}{4} ＞ \dfrac{15}{4}$，
∴$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数y=a(x-h)²的性质；点到直线的距离；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题时无需代入计算具体函数值，利用“开口向上时，点离对称轴越远函数值越大”的规律即可快速求解，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用二次函数$y=a(x-h)^2$（a＞0）的性质：开口向上时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。首先确定该二次函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小就能直接得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系，无需代入计算具体数值。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=a(x-3)^2$，且$a＞0$，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=3$，
由此可得：抛物线上的点到对称轴$x=3$的水平距离越远，对应的函数值越大。
分别计算三点到对称轴的距离：
点$A(-\dfrac{15}{4},y_1)$到对称轴的距离：$\left| -\dfrac{15}{4} - 3 \right| = \left| -\dfrac{27}{4} \right| = \dfrac{27}{4}$，
点$B(-\dfrac{3}{4},y_2)$到对称轴的距离：$\left| -\dfrac{3}{4} - 3 \right| = \left| -\dfrac{15}{4} \right| = \dfrac{15}{4}$，
点$C(7,y_3)$到对称轴的距离：$\left| 7 - 3 \right| = 4 = \dfrac{16}{4}$，
∵$\dfrac{27}{4} ＞ \dfrac{16}{4} ＞ \dfrac{15}{4}$，
∴$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数y=a(x-h)²的性质；点到直线的距离；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题时无需代入计算具体函数值，利用“开口向上时，点离对称轴越远函数值越大”的规律即可快速求解，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
15 新考向 探究题 如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，A，B两点的坐标分别为(3，0)，(0，4)，连接AB.
（1）求此抛物线对应的函数解析式.
（2）若将y轴向右平移6个单位长度，直接写出此时抛物线对应的函数解析式.
（3）该抛物线上是否存在一点P，使得$AB=AP$？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求此抛物线对应的函数解析式.
（2）若将y轴向右平移6个单位长度，直接写出此时抛物线对应的函数解析式.
（3）该抛物线上是否存在一点P，使得$AB=AP$？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
(1) 由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-3)^2$. $\because$ 点 $B(0,4)$ 在此抛物线上，$\therefore 9a=4$，解得 $a=\dfrac{4}{9}$. $\therefore$ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{9}(x-3)^2$
(2) $y=\dfrac{4}{9}(x+3)^2$
(3) 存在 点 $P$ 的坐标为 $(6,4)$
(2) $y=\dfrac{4}{9}(x+3)^2$
(3) 存在 点 $P$ 的坐标为 $(6,4)$
解析
【分析】
（1）已知抛物线顶点为A(3,0)，适合用二次函数顶点式设解析式，再将点B的坐标代入求出未知系数a，即可得到抛物线解析式。
（2）y轴向右平移6个单位长度，等价于将原抛物线向左平移6个单位长度，根据二次函数“左加右减”的平移规律，调整原解析式的自变量部分即可得到新解析式。
（3）先求出AB的长度，再结合抛物线关于对称轴x=3对称的性质，可知点B关于对称轴的对称点满足AP=AB的条件，验证该点在抛物线上即可得到点P坐标，也可通过设点坐标结合两点距离公式列方程求解。
【解析】
（1）
∵抛物线的顶点为$A(3,0)$，
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-3)^2$（$a≠0$）。
将$B(0,4)$代入解析式得：$a×(0-3)^2=4$，即$9a=4$，解得$a=\frac{4}{9}$。
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{4}{9}(x-3)^2$。
（2）y轴向右平移6个单位长度，相当于原抛物线向左平移6个单位，根据二次函数平移“左加右减”的规律，将原解析式中$x$替换为$x+6$，可得新解析式：
$y=\frac{4}{9}(x+6-3)^2=\frac{4}{9}(x+3)^2$。
（3）存在。
先计算$AB$的长度：由$A(3,0)$、$B(0,4)$，根据两点间距离公式得$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
抛物线的对称轴为直线$x=3$，点$B(0,4)$关于对称轴$x=3$的对称点为$(6,4)$，将$x=6$代入抛物线解析式得$y=\frac{4}{9}×(6-3)^2=4$，即点$(6,4)$在抛物线上，此时$AP=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5=AB$，符合要求。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{9}(x-3)^2$
(2) $y=\dfrac{4}{9}(x+3)^2$
(3) 存在，点$P$的坐标为$(6,4)$
【知识点】
二次函数顶点式；函数图象平移；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，侧重考察核心性质的应用，解题关键是灵活选择顶点式求解析式，理解坐标系平移和函数图象平移的对应关系，利用对称性可简化点的存在性问题的求解过程。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线顶点为A(3,0)，适合用二次函数顶点式设解析式，再将点B的坐标代入求出未知系数a，即可得到抛物线解析式。
（2）y轴向右平移6个单位长度，等价于将原抛物线向左平移6个单位长度，根据二次函数“左加右减”的平移规律，调整原解析式的自变量部分即可得到新解析式。
（3）先求出AB的长度，再结合抛物线关于对称轴x=3对称的性质，可知点B关于对称轴的对称点满足AP=AB的条件，验证该点在抛物线上即可得到点P坐标，也可通过设点坐标结合两点距离公式列方程求解。
【解析】
（1）
∵抛物线的顶点为$A(3,0)$，
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-3)^2$（$a≠0$）。
将$B(0,4)$代入解析式得：$a×(0-3)^2=4$，即$9a=4$，解得$a=\frac{4}{9}$。
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{4}{9}(x-3)^2$。
（2）y轴向右平移6个单位长度，相当于原抛物线向左平移6个单位，根据二次函数平移“左加右减”的规律，将原解析式中$x$替换为$x+6$，可得新解析式：
$y=\frac{4}{9}(x+6-3)^2=\frac{4}{9}(x+3)^2$。
（3）存在。
先计算$AB$的长度：由$A(3,0)$、$B(0,4)$，根据两点间距离公式得$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
抛物线的对称轴为直线$x=3$，点$B(0,4)$关于对称轴$x=3$的对称点为$(6,4)$，将$x=6$代入抛物线解析式得$y=\frac{4}{9}×(6-3)^2=4$，即点$(6,4)$在抛物线上，此时$AP=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5=AB$，符合要求。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{9}(x-3)^2$
(2) $y=\dfrac{4}{9}(x+3)^2$
(3) 存在，点$P$的坐标为$(6,4)$
【知识点】
二次函数顶点式；函数图象平移；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，侧重考察核心性质的应用，解题关键是灵活选择顶点式求解析式，理解坐标系平移和函数图象平移的对应关系，利用对称性可简化点的存在性问题的求解过程。
【难度系数】
0.7
16 新考向 探究题 如图,直线$y=-x-2$交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A,且经过点B.
(1) 求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 若点$C(m,-\frac{9}{2})$在该抛物线上,求m的值.
(3) 若点$D(-4,n)$在抛物线上,求$S_{△ ABD}$.
(4) 在对称轴上是否存在一点Q,使以Q,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求该抛物线对应的函数解析式.
(2) 若点$C(m,-\frac{9}{2})$在该抛物线上,求m的值.
(3) 若点$D(-4,n)$在抛物线上,求$S_{△ ABD}$.
(4) 在对称轴上是否存在一点Q,使以Q,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 在 $y=-x-2$ 中，令 $x=0$，则 $y=-2$；令 $y=0$，则 $x=-2$. $\therefore A(-2,0),B(0,-2)$. $\therefore h=-2$. $\therefore y=a(x+2)^2$. 把 $B(0,-2)$ 代入 $y=a(x+2)^2$，得 $4a=-2$，解得 $a=-\dfrac{1}{2}$. $\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
(2) $\because$ 点 $C(m,-\dfrac{9}{2})$ 在抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$ 上，$\therefore -\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$，解得 $m_1=1,m_2=-5$
(3) 把 $D(-4,n)$ 代入 $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，得 $n=-2$. $\therefore D(-4,-2)$. 易得 $BD// x$ 轴，$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}×2×4=4$
(4) 存在 点 $Q$ 的坐标为 $(-2,-2)$ 或 $(-2,2)$
(2) $\because$ 点 $C(m,-\dfrac{9}{2})$ 在抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$ 上，$\therefore -\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$，解得 $m_1=1,m_2=-5$
(3) 把 $D(-4,n)$ 代入 $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，得 $n=-2$. $\therefore D(-4,-2)$. 易得 $BD// x$ 轴，$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}×2×4=4$
(4) 存在 点 $Q$ 的坐标为 $(-2,-2)$ 或 $(-2,2)$
解析
【分析】
(1) 先根据直线解析式求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，抛物线顶点为A，因此顶点式中h的值为A点的横坐标，再将B点坐标代入顶点式即可求出a，得到抛物线解析式。
(2) 点C在抛物线上，说明其坐标满足抛物线解析式，将C点坐标代入解析式，解一元二次方程即可得到m的值。
(3) 先将D点横坐标代入抛物线解析式求出n，得到D点坐标，观察发现B、D纵坐标相同，因此BD平行于x轴，以BD为底，A到BD的垂直距离为高，即可计算三角形面积。
(4) 抛物线对称轴为$x=-2$，因此Q点横坐标为-2，根据平行四边形对边平行且相等的性质，分情况讨论即可求出Q点的纵坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x-2$，令$x=0$，得$y=-2$；令$y=0$，得$x=-2$，因此$A(-2,0)$，$B(0,-2)$。
因为抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，所以$h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入$y=a(x+2)^2$，得$a×(0+2)^2=-2$，即$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) 因为点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线上，将其坐标代入解析式得：
$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$，整理得$(m+2)^2=9$，开方得$m+2=\pm3$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 将$D(-4,n)$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，得$n=-\dfrac{1}{2}×(-4+2)^2=-2$，因此$D(-4,-2)$。
因为$B(0,-2)$、$D(-4,-2)$纵坐标相同，所以$BD// x$轴，$BD$的长度为$4$，点A到BD的垂直距离为$2$，因此$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$。
(4) 存在。抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此Q点横坐标为$-2$，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得Q点纵坐标为$\pm2$，即Q点坐标为$(-2,-2)$或$(-2,2)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
(2) $m$的值为$1$或$-5$
(3) $S_{△ ABD}=4$
(4) 存在，点Q的坐标为$(-2,-2)$或$(-2,2)$
【知识点】
二次函数顶点式的应用，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了一次函数与坐标轴交点求解、待定系数法求二次函数解析式、三角形面积计算及平行四边形的判定，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据直线解析式求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，抛物线顶点为A，因此顶点式中h的值为A点的横坐标，再将B点坐标代入顶点式即可求出a，得到抛物线解析式。
(2) 点C在抛物线上，说明其坐标满足抛物线解析式，将C点坐标代入解析式，解一元二次方程即可得到m的值。
(3) 先将D点横坐标代入抛物线解析式求出n，得到D点坐标，观察发现B、D纵坐标相同，因此BD平行于x轴，以BD为底，A到BD的垂直距离为高，即可计算三角形面积。
(4) 抛物线对称轴为$x=-2$，因此Q点横坐标为-2，根据平行四边形对边平行且相等的性质，分情况讨论即可求出Q点的纵坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x-2$，令$x=0$，得$y=-2$；令$y=0$，得$x=-2$，因此$A(-2,0)$，$B(0,-2)$。
因为抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，所以$h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入$y=a(x+2)^2$，得$a×(0+2)^2=-2$，即$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) 因为点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线上，将其坐标代入解析式得：
$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$，整理得$(m+2)^2=9$，开方得$m+2=\pm3$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 将$D(-4,n)$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，得$n=-\dfrac{1}{2}×(-4+2)^2=-2$，因此$D(-4,-2)$。
因为$B(0,-2)$、$D(-4,-2)$纵坐标相同，所以$BD// x$轴，$BD$的长度为$4$，点A到BD的垂直距离为$2$，因此$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$。
(4) 存在。抛物线对称轴为直线$x=-2$，因此Q点横坐标为$-2$，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得Q点纵坐标为$\pm2$，即Q点坐标为$(-2,-2)$或$(-2,2)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
(2) $m$的值为$1$或$-5$
(3) $S_{△ ABD}=4$
(4) 存在，点Q的坐标为$(-2,-2)$或$(-2,2)$
【知识点】
二次函数顶点式的应用，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了一次函数与坐标轴交点求解、待定系数法求二次函数解析式、三角形面积计算及平行四边形的判定，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.7
