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9 已知三个有理数$m,n,p$满足$m+n=0$，$n＜m$，$mnp＜0$，则$mn+np$一定是 （）
A.负数
B.零
C.正数
D.非负数
A.负数
B.零
C.正数
D.非负数
答案
9. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件$m+n=0$入手，可得$m$与$n$互为相反数，再结合$n＜m$可判断出$m$、$n$的正负性；接着根据多个有理数相乘的符号法则，结合$mnp＜0$判断出$p$的正负性；最后分别分析$mn$、$np$的符号，根据有理数加法的符号规律即可判断$mn+np$的正负。
【解析】
解：
1. 由$m + n = 0$可知，$m$和$n$互为相反数，即$n = -m$；
2. 又因为$n ＜ m$，所以$n ＜ 0$，$m ＞ 0$（若$m=n=0$不满足$n＜m$，故两数一负一正，较小的数$n$为负，较大的数$m$为正）；
3. 因此$mn = m×(-m) = -m^2 ＜ 0$（$m＞0$，故$m^2＞0$，$-m^2＜0$）；
4. 已知$mnp ＜ 0$，将$mn＜0$代入得：负数$× p ＜ 0$，根据有理数乘法符号法则“负正得负”，可得$p ＞ 0$；
5. 因为$n ＜ 0$，$p ＞ 0$，所以$np ＜ 0$；
6. 根据有理数加法法则：两个负数相加，和仍为负数，故$mn + np ＜ 0$，即$mn+np$一定是负数。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；有理数乘法符号法则；有理数加法法则
【点评】
本题主要考查有理数运算法则的灵活应用，解题的核心是根据已知条件逐步推导各个字母的正负性，再结合运算的符号规律判断代数式的符号，是有理数运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$m+n=0$入手，可得$m$与$n$互为相反数，再结合$n＜m$可判断出$m$、$n$的正负性；接着根据多个有理数相乘的符号法则，结合$mnp＜0$判断出$p$的正负性；最后分别分析$mn$、$np$的符号，根据有理数加法的符号规律即可判断$mn+np$的正负。
【解析】
解：
1. 由$m + n = 0$可知，$m$和$n$互为相反数，即$n = -m$；
2. 又因为$n ＜ m$，所以$n ＜ 0$，$m ＞ 0$（若$m=n=0$不满足$n＜m$，故两数一负一正，较小的数$n$为负，较大的数$m$为正）；
3. 因此$mn = m×(-m) = -m^2 ＜ 0$（$m＞0$，故$m^2＞0$，$-m^2＜0$）；
4. 已知$mnp ＜ 0$，将$mn＜0$代入得：负数$× p ＜ 0$，根据有理数乘法符号法则“负正得负”，可得$p ＞ 0$；
5. 因为$n ＜ 0$，$p ＞ 0$，所以$np ＜ 0$；
6. 根据有理数加法法则：两个负数相加，和仍为负数，故$mn + np ＜ 0$，即$mn+np$一定是负数。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；有理数乘法符号法则；有理数加法法则
【点评】
本题主要考查有理数运算法则的灵活应用，解题的核心是根据已知条件逐步推导各个字母的正负性，再结合运算的符号规律判断代数式的符号，是有理数运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
10 在数5，-6，3，-2，2中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最小的是 （）
A.-30
B.-48
C.-60
D.-90
A.-30
B.-48
C.-60
D.-90
答案
10. D
解析
【分析】
要找到三个不同数相乘的最小乘积，首先根据有理数乘法的符号规律：多个非零数相乘，负因数个数为奇数时乘积为负，为偶数时乘积为正。由于负数小于所有正数，因此最小乘积一定是负数。观察给出的数，只有2个负数，无法凑出3个负因数（奇数个），所以只能选择1个负因数+2个正因数的组合。要让负的乘积最小，就要让乘积的绝对值最大，因此选择绝对值最大的负数，再搭配两个最大的正数，这样得到的乘积绝对值最大，对应的负数就最小。
【解析】
1. 确定最小乘积的符号：
根据多个有理数乘法法则，负因数个数为奇数时乘积为负，负数小于正数，因此最小乘积为负数。已知给出的数中仅有-6、-2两个负数，无法凑出3个负因数，故只能选1个负因数、2个正因数的组合。
2. 选取对应数字：
要使乘积绝对值最大，选绝对值最大的负数-6（$|-6|=6＞|-2|=2$），再选最大的两个正数5和3。
3. 计算乘积：
$(-6)×5×3=-90$
验证其他负乘积组合：如$-2×5×3=-30$、$-6×5×2=-60$等，均大于-90，因此最小乘积为-90。
【答案】
D
【知识点】
多个有理数相乘、有理数大小比较
【点评】
本题解题核心是先通过乘法符号法则锁定最小乘积的符号，再结合负数比较大小的规律选取数字计算，易错点是混淆乘积最小的符号要求，或误选两个负数搭配正数得到正乘积，导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要找到三个不同数相乘的最小乘积，首先根据有理数乘法的符号规律：多个非零数相乘，负因数个数为奇数时乘积为负，为偶数时乘积为正。由于负数小于所有正数，因此最小乘积一定是负数。观察给出的数，只有2个负数，无法凑出3个负因数（奇数个），所以只能选择1个负因数+2个正因数的组合。要让负的乘积最小，就要让乘积的绝对值最大，因此选择绝对值最大的负数，再搭配两个最大的正数，这样得到的乘积绝对值最大，对应的负数就最小。
【解析】
1. 确定最小乘积的符号：
根据多个有理数乘法法则，负因数个数为奇数时乘积为负，负数小于正数，因此最小乘积为负数。已知给出的数中仅有-6、-2两个负数，无法凑出3个负因数，故只能选1个负因数、2个正因数的组合。
2. 选取对应数字：
要使乘积绝对值最大，选绝对值最大的负数-6（$|-6|=6＞|-2|=2$），再选最大的两个正数5和3。
3. 计算乘积：
$(-6)×5×3=-90$
验证其他负乘积组合：如$-2×5×3=-30$、$-6×5×2=-60$等，均大于-90，因此最小乘积为-90。
【答案】
D
【知识点】
多个有理数相乘、有理数大小比较
【点评】
本题解题核心是先通过乘法符号法则锁定最小乘积的符号，再结合负数比较大小的规律选取数字计算，易错点是混淆乘积最小的符号要求，或误选两个负数搭配正数得到正乘积，导致结果错误。
【难度系数】
0.7
11 计算：
(1) $99\frac{8}{9}×(-18)$；
(2) $-10×\frac{2}{3} - 0.6×\frac{2}{7} + \frac{1}{3}×(-10) - \frac{5}{7}×0.6$；
(3) $\frac{11}{3}×(\frac{5}{7} - \frac{2}{5}) - \frac{11}{3}×\frac{5}{7} + \frac{22}{3}×\frac{1}{5}$。
(1) $99\frac{8}{9}×(-18)$；
(2) $-10×\frac{2}{3} - 0.6×\frac{2}{7} + \frac{1}{3}×(-10) - \frac{5}{7}×0.6$；
(3) $\frac{11}{3}×(\frac{5}{7} - \frac{2}{5}) - \frac{11}{3}×\frac{5}{7} + \frac{22}{3}×\frac{1}{5}$。
答案
11. (1) $-1798$ (2) $-10.6$ (3) 0
解析
【分析】
本题考查有理数乘法运算律的简便应用，解题思路如下：(1)带分数乘整数时，可将接近整百的带分数拆成整数与分数的差，再用乘法分配律展开计算，避免复杂的带分数乘法；(2)观察式子可发现有两组相同因数（-10和0.6），将同因数的项分组后逆用乘法分配律提取公因式，即可简化计算；(3)先利用乘法分配律展开括号，可发现部分项能直接抵消，快速得到结果。
【解析】
(1) 先拆分带分数再用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}99\frac{8}{9}×(-18)&=(100 - \frac{1}{9})×(-18)\\&=100×(-18) - \frac{1}{9}×(-18)\\&=-1800 + 2\\&=-1798\end{aligned}$
(2) 分组后逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}&\quad-10×\frac{2}{3} - 0.6×\frac{2}{7} + \frac{1}{3}×(-10) - \frac{5}{7}×0.6\\&=[-10×\frac{2}{3} + \frac{1}{3}×(-10)] + (-0.6×\frac{2}{7} - \frac{5}{7}×0.6)\\&=-10×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) - 0.6×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\&=-10×1 - 0.6×1\\&=-10.6\end{aligned}$
(3) 展开括号后抵消合并计算：
$\begin{aligned}&\quad\frac{11}{3}×(\frac{5}{7} - \frac{2}{5}) - \frac{11}{3}×\frac{5}{7} + \frac{22}{3}×\frac{1}{5}\\&=\frac{11}{3}×\frac{5}{7} - \frac{11}{3}×\frac{2}{5} - \frac{11}{3}×\frac{5}{7} + \frac{22}{3}×\frac{1}{5}\\&=-\frac{22}{15}+\frac{22}{15}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1798}$；(2) $\boldsymbol{-10.6}$；(3) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算律；2. 乘法分配律逆用；3. 有理数混合运算
【点评】
本题重点考查乘法分配律的灵活运用，通过拆分带分数、分组提取公因式的方式可大幅简化计算，解题时要先观察式子结构特征，找到简便运算的突破口，避免直接硬算导致出错。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘法运算律的简便应用，解题思路如下：(1)带分数乘整数时，可将接近整百的带分数拆成整数与分数的差，再用乘法分配律展开计算，避免复杂的带分数乘法；(2)观察式子可发现有两组相同因数（-10和0.6），将同因数的项分组后逆用乘法分配律提取公因式，即可简化计算；(3)先利用乘法分配律展开括号，可发现部分项能直接抵消，快速得到结果。
【解析】
(1) 先拆分带分数再用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}99\frac{8}{9}×(-18)&=(100 - \frac{1}{9})×(-18)\\&=100×(-18) - \frac{1}{9}×(-18)\\&=-1800 + 2\\&=-1798\end{aligned}$
(2) 分组后逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}&\quad-10×\frac{2}{3} - 0.6×\frac{2}{7} + \frac{1}{3}×(-10) - \frac{5}{7}×0.6\\&=[-10×\frac{2}{3} + \frac{1}{3}×(-10)] + (-0.6×\frac{2}{7} - \frac{5}{7}×0.6)\\&=-10×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}) - 0.6×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\&=-10×1 - 0.6×1\\&=-10.6\end{aligned}$
(3) 展开括号后抵消合并计算：
$\begin{aligned}&\quad\frac{11}{3}×(\frac{5}{7} - \frac{2}{5}) - \frac{11}{3}×\frac{5}{7} + \frac{22}{3}×\frac{1}{5}\\&=\frac{11}{3}×\frac{5}{7} - \frac{11}{3}×\frac{2}{5} - \frac{11}{3}×\frac{5}{7} + \frac{22}{3}×\frac{1}{5}\\&=-\frac{22}{15}+\frac{22}{15}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1798}$；(2) $\boldsymbol{-10.6}$；(3) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算律；2. 乘法分配律逆用；3. 有理数混合运算
【点评】
本题重点考查乘法分配律的灵活运用，通过拆分带分数、分组提取公因式的方式可大幅简化计算，解题时要先观察式子结构特征，找到简便运算的突破口，避免直接硬算导致出错。
【难度系数】
0.7
12 计算：$(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×···×(1-\dfrac{1}{2025})×(1+\dfrac{1}{2025})×(1-\dfrac{1}{2026})×(1+\dfrac{1}{2026}).$
答案
12. $(1-\dfrac{1}{2}) × (1+\dfrac{1}{2}) × (1-\dfrac{1}{3}) × (1+\dfrac{1}{3}) × … × (1-\dfrac{1}{2025}) × (1+\dfrac{1}{2025}) × (1-\dfrac{1}{2026}) × (1+\dfrac{1}{2026}) =\dfrac{1}{2} × \dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{4}{3} × … × \dfrac{2023}{2024} × \dfrac{2025}{2024} × \dfrac{2024}{2025} × \dfrac{2026}{2025} × \dfrac{2025}{2026} × \dfrac{2027}{2026} =\dfrac{1}{2} × \dfrac{2027}{2026} =\dfrac{2027}{4052}$
解析
【分析】
首先观察算式的结构特征，所有因式都是形如$(1-\frac{1}{n})$和$(1+\frac{1}{n})$的形式，解题时可以先分别计算出每个小括号内的结果，将原式转化为一连串分数相乘的形式；再观察这些分数的分子和分母，会发现中间相邻的分数的分子、分母可以交叉约分，最后仅剩余首尾的少数分数，相乘即可得到最终结果，无需逐个硬算，能大幅简化运算。
【解析】
解：先计算每个小括号的运算结果：
原式$=\dfrac{1}{2} × \dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{4}{3} × … × \dfrac{2024}{2025} × \dfrac{2026}{2025} × \dfrac{2025}{2026} × \dfrac{2027}{2026}$
观察发现，中间相邻的分数如$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{4}{3}$和后续的$\dfrac{3}{4}$……$\dfrac{2026}{2025}$和$\dfrac{2025}{2026}$都互为倒数，乘积为1，交叉约分后仅剩首尾两项：
$=\dfrac{1}{2} × \dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
【答案】
$\dfrac{2027}{4052}$
【知识点】
有理数乘法运算；分数约分；乘法则算
【点评】
本题是有理数乘法的典型巧算题型，解题核心是先化简每个因式，再通过观察分数的结构特征利用约分简化计算，避免了逐一计算的繁琐，能有效提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.7
首先观察算式的结构特征，所有因式都是形如$(1-\frac{1}{n})$和$(1+\frac{1}{n})$的形式，解题时可以先分别计算出每个小括号内的结果，将原式转化为一连串分数相乘的形式；再观察这些分数的分子和分母，会发现中间相邻的分数的分子、分母可以交叉约分，最后仅剩余首尾的少数分数，相乘即可得到最终结果，无需逐个硬算，能大幅简化运算。
【解析】
解：先计算每个小括号的运算结果：
原式$=\dfrac{1}{2} × \dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{4}{3} × … × \dfrac{2024}{2025} × \dfrac{2026}{2025} × \dfrac{2025}{2026} × \dfrac{2027}{2026}$
观察发现，中间相邻的分数如$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{4}{3}$和后续的$\dfrac{3}{4}$……$\dfrac{2026}{2025}$和$\dfrac{2025}{2026}$都互为倒数，乘积为1，交叉约分后仅剩首尾两项：
$=\dfrac{1}{2} × \dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
【答案】
$\dfrac{2027}{4052}$
【知识点】
有理数乘法运算；分数约分；乘法则算
【点评】
本题是有理数乘法的典型巧算题型，解题核心是先化简每个因式，再通过观察分数的结构特征利用约分简化计算，避免了逐一计算的繁琐，能有效提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.7
13 如图,在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中点A,B之间的距离是3,点B,C之间的距离是2.设点A,B,C表示的数之和是m,点A,B,C表示的数之积是n.
(1) ① 若以B为原点,写出点A,C表示的数,并计算m的值;
② 若以C为原点,写出点A,B表示的数,并计算m的值.
(2) 若点C到原点的距离是4,求n的值.
(1) ① 若以B为原点,写出点A,C表示的数,并计算m的值;
② 若以C为原点,写出点A,B表示的数,并计算m的值.
(2) 若点C到原点的距离是4,求n的值.
答案
13. (1) ① 因为 B 为原点,点 A,B 之间的距离是 3,点 B,C 之间的距离是 2,所以点 A,B,C 表示的数分别为-3,0,2,则$m=-3+0+2=-1$ ② 因为 C 为原点,点 A,B 之间的距离是 3,点 B,C 之间的距离是 2,所以点 A,B,C 表示的数分别为-5,-2,0,则$m=-5-2+0=-7$ (2) 因为点 C 到原点的距离是 4,所以点 C 表示的数为 4 或-4. 当点 C 表示的数为-4时,点 A,B 表示的数分别为-9,-6;当点 C 表示的数为 4 时,点 A,B 表示的数分别为-1,2. 所以 $n=-4×(-9)×(-6)=-216$ 或 $n=4×2×(-1)=-8$
解析
【分析】
本题围绕数轴上点的位置与有理数的对应关系展开。解题时先明确原点位置，结合“数轴上右边的数大于左边的数，两点间距离对应两数差的绝对值”确定各点表示的数：(1)的两个小问分别以B、C为原点，根据AB=3、BC=2直接推导其余点的数值，再相加求m；(2)中“点C到原点距离为4”说明点C表示的数有4和-4两种可能，需分类讨论分别求出A、B的数值，再相乘求n，注意不要漏解。
【解析】
(1) ① 若以B为原点，即B表示的数为0。
因为A在B左侧，AB距离为3，所以A表示的数为$0-3=-3$；C在B右侧，BC距离为2，所以C表示的数为$0+2=2$。
此时三个数的和$m = -3 + 0 + 2 = -1$。
② 若以C为原点，即C表示的数为0。
因为B在C左侧，BC距离为2，所以B表示的数为$0-2=-2$；A在B左侧，AB距离为3，所以A表示的数为$-2-3=-5$。
此时三个数的和$m = -5 + (-2) + 0 = -7$。
(2) 因为点C到原点的距离是4，所以点C表示的数为4或-4，分两种情况计算：
当点C表示的数为-4时，B在C左侧、距离为2，所以B表示的数为$-4-2=-6$；A在B左侧、距离为3，所以A表示的数为$-6-3=-9$，此时$n = (-9)×(-6)×(-4) = -216$。
当点C表示的数为4时，B在C左侧、距离为2，所以B表示的数为$4-2=2$；A在B左侧、距离为3，所以A表示的数为$2-3=-1$，此时$n = (-1)×2×4 = -8$。
【答案】
(1) ① 点A表示-3，点C表示2，$m=-1$；② 点A表示-5，点B表示-2，$m=-7$
(2) $n$的值为-216或-8
【知识点】
数轴的应用；有理数的加法；有理数的乘法
【点评】
本题解题核心是掌握数轴上点的位置与数的对应规律，根据两点距离确定点对应的数值，难点在于第(2)问需考虑点C的两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕数轴上点的位置与有理数的对应关系展开。解题时先明确原点位置，结合“数轴上右边的数大于左边的数，两点间距离对应两数差的绝对值”确定各点表示的数：(1)的两个小问分别以B、C为原点，根据AB=3、BC=2直接推导其余点的数值，再相加求m；(2)中“点C到原点距离为4”说明点C表示的数有4和-4两种可能，需分类讨论分别求出A、B的数值，再相乘求n，注意不要漏解。
【解析】
(1) ① 若以B为原点，即B表示的数为0。
因为A在B左侧，AB距离为3，所以A表示的数为$0-3=-3$；C在B右侧，BC距离为2，所以C表示的数为$0+2=2$。
此时三个数的和$m = -3 + 0 + 2 = -1$。
② 若以C为原点，即C表示的数为0。
因为B在C左侧，BC距离为2，所以B表示的数为$0-2=-2$；A在B左侧，AB距离为3，所以A表示的数为$-2-3=-5$。
此时三个数的和$m = -5 + (-2) + 0 = -7$。
(2) 因为点C到原点的距离是4，所以点C表示的数为4或-4，分两种情况计算：
当点C表示的数为-4时，B在C左侧、距离为2，所以B表示的数为$-4-2=-6$；A在B左侧、距离为3，所以A表示的数为$-6-3=-9$，此时$n = (-9)×(-6)×(-4) = -216$。
当点C表示的数为4时，B在C左侧、距离为2，所以B表示的数为$4-2=2$；A在B左侧、距离为3，所以A表示的数为$2-3=-1$，此时$n = (-1)×2×4 = -8$。
【答案】
(1) ① 点A表示-3，点C表示2，$m=-1$；② 点A表示-5，点B表示-2，$m=-7$
(2) $n$的值为-216或-8
【知识点】
数轴的应用；有理数的加法；有理数的乘法
【点评】
本题解题核心是掌握数轴上点的位置与数的对应规律，根据两点距离确定点对应的数值，难点在于第(2)问需考虑点C的两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
