1.(2024·周口期末)如图，①②③中，$∠ A=42°$，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，则$∠ O_1+∠ O_2+∠ O_3=$（）


A.$84°$
B.$111°$
C.$225°$
D.$201°$

1.D

【分析】
解题时先分别推导∠O₁、∠O₂、∠O₃与已知∠A的关系，再代入∠A=42°计算每个角的度数，最后将三个角度相加即可得到结果。首先结合角平分线定义，利用三角形内角和定理计算内角平分线交点形成的∠O₁；再利用三角形外角性质计算一个内角、一个外角平分线交点形成的∠O₂；最后结合邻补角性质和三角形内角和，计算两个外角平分线交点形成的∠O₃。
【解析】
1. 计算∠O₁：
在△ABC中，由三角形内角和得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-42°=138°$
∵$∠1=∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠3=∠4=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠2+∠4=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×138°=69°$
在△$O_1BC$中，$∠ O_1=180°-(∠2+∠4)=180°-69°=111°$
2. 计算∠O₂：
∠ACD是△ABC的外角，故$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$
∵$∠4=\frac{1}{2}∠ ACD$，$∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$
∴$∠4=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A+∠2$
又
∵∠4是△$O_2BC$的外角，
∴$∠4=∠2+∠ O_2$
联立得$∠ O_2=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}×42°=21°$
3. 计算∠O₃：
$∠ DBC=180°-∠ ABC$，$∠ ECB=180°-∠ ACB$
∴$∠ DBC+∠ ECB=360°-(∠ ABC+∠ ACB)=360°-138°=222°$
∵$∠2=\frac{1}{2}∠ DBC$，$∠3=\frac{1}{2}∠ ECB$
∴$∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ ECB)=\frac{1}{2}×222°=111°$
在△$O_3BC$中，$∠ O_3=180°-(∠2+∠3)=180°-111°=69°$
4. 求和：
$∠ O_1+∠ O_2+∠ O_3=111°+21°+69°=201°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合题型，核心是掌握三类角平分线（双内角平分线、一内一外角平分线、双外角平分线）与原三角形顶角的数量关系，解题时结合已知条件逐步推导即可，是角度计算类的高频考点。
【难度系数】
0.6

2.(新考向)如图,在三角形纸片ABC中,∠C=20°,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点C落在△ABC所在平面内的点C'处.若∠C'DA=40°,则∠CED的度数为.

2.$50°$

【分析】
解决这道题首先要用到折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，可得$∠ C'=∠ C=20°$，$∠ CDE=∠ C'DE$。接下来先结合平角的定义和已知的$∠ C'DA=40°$，推导求出$∠ CDE$的度数，最后在$△ CDE$中利用三角形内角和定理即可求出$∠ CED$的度数。思考时要注意折叠后点$C'$的位置，理清各角之间的和差关系，避免混淆角的运算。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$∠ C'=∠ C=20°$，$∠ CDE=∠ C'DE$。
∵ 点A、D、C在同一直线上，$∠ ADC=180°$，
∴ $∠ CDE + ∠ C'DE - ∠ C'DA = 180°$。
将$∠ C'DA=40°$，$∠ CDE=∠ C'DE$代入得：
$2∠ CDE - 40°=180°$，
解得$∠ CDE=\frac{180°+40°}{2}=110°$。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ CED=180° - ∠ C - ∠ CDE=180° -20° -110°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题属于折叠类角度计算的常见题型，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，准确梳理各角之间的和差关系，结合三角形内角和、平角的性质逐步推导求解，解题时要注意不要弄错折叠后角的位置，避免出现角度运算错误。
【难度系数】
0.6

3.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H.设∠A=α，∠H=β，探索α与β之间的数量关系.

3.$∠ABD+∠ACE =∠A+∠ACB+∠ACE =∠A +180°=α +180°,∵ BF$ 平分$∠ABD,CG$ 平分$∠ACE,∴∠DBF=\frac{1}{2}∠ABD,∠ECG=\frac{1}{2}∠ACE,∴β=∠H=180°-∠HBC -∠HCB=180°-∠DBF -∠ECG=180°- \frac{1}{2}∠ABD-\frac{1}{2}∠ACE=180°- \frac{1}{2}(∠ABD+∠ACE)=180°-\frac{1}{2}(α +180°)=90°-\frac{1}{2}α ,∴β=90°-\frac{1}{2}α$

【分析】
解题时可按三步推导：第一步，利用三角形外角性质，先推导△ABC的两个外角∠ABD、∠ACE的和与∠A=α的数量关系；第二步，结合角平分线的定义，得到BF、CG平分外角后得到的∠DBF、∠ECG对应外角的占比；第三步，在△HBC中利用三角形内角和为180°，结合对顶角相等的性质，将△HBC的两个底角替换为平分得到的∠DBF、∠ECG，代入前面的结论整理即可得到α和β的关系。
【解析】
根据三角形外角的性质，可得$∠ ABD = ∠ A + ∠ ACB$，
因此$∠ ABD + ∠ ACE = ∠ A + ∠ ACB + ∠ ACE$，
由平角的定义可知$∠ ACB + ∠ ACE = 180°$，代入得$∠ ABD + ∠ ACE = α + 180°$。
∵ BF平分$∠ ABD$，CG平分$∠ ACE$（已知），
∴ $∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABD$，$∠ ECG=\frac{1}{2}∠ ACE$（角平分线的定义）。
在△HBC中，根据三角形内角和定理：
$∠ H = 180° - ∠ HBC - ∠ HCB$，
又
∵ $∠ HBC = ∠ DBF$，$∠ HCB = ∠ ECG$（对顶角相等），
∴ $β = 180° - ∠ DBF - ∠ ECG$
$=180° - \frac{1}{2}∠ ABD - \frac{1}{2}∠ ACE$
$=180° - \frac{1}{2}(∠ ABD + ∠ ACE)$
将$∠ ABD + ∠ ACE = α + 180°$代入得：
$β = 180° - \frac{1}{2}(α + 180°) = 90° - \frac{1}{2}α$
【答案】
$β=90°-\frac{1}{2}α$（或$α+2β=180°$）
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度关系的常规推导题，解题关键是梳理清楚不同角之间的等量转换关系，熟练掌握三角形角度相关的基础性质就能顺利完成推导。
【难度系数】
0.6

4.(2025·阜新期末)在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的角平分线$BE$,$CD$交于点$F$.
(1)【问题呈现】如图①,若$∠ A = 100°$,则$∠ BFD$的度数为;
(2)【问题推广】如图②,将$△ ABC$沿$MN$折叠,使得点$A$与点$F$重合,若$∠ 1+∠ 2 = 160°$,求$∠ BFC$的度数;
(3)【问题拓展】如图③,$P$,$Q$分别是线段$AB$,$AC$上的点,设$∠ AQP = α$,$∠ ACB = β$.射线$CF$与$∠ APQ$的平分线相交于点$H$,探索$∠ PHC$与$∠ BFC$之间的数量关系.(用含$α$,$β$的式子表示)

4.(1)$40°$
(2)$∵∠AMF=180°-∠1,∠ANF=180°-∠2,∴∠AMF+∠ANF=360°-(∠1+∠2)=200°$,由折叠性质得$∠AMF=2∠AMN$,$∠ANF=2∠ANM,∴2∠AMN+2∠ANM=200°,∴∠AMN+∠ANM=100°,∴∠A=180°-(∠AMN+∠ANM)=80°$,由(1)得$∠FBC+∠FCB=90°-\frac{1}{2}∠A=50°,∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=130°$
(3)由(1)得$∠BFD=90°-\frac{1}{2}∠A,∴∠BFC=180°-∠BFD=90°+\frac{1}{2}∠A,∵CF$ 平分$∠ACB,PH$ 平分$∠APQ,∴∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}β,∠APK=\frac{1}{2}∠APQ,∴∠PHC=∠HKC+∠ACD=∠APK+∠A+\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}∠APQ+∠A+\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}(180°-∠A-∠AQP)+∠A+\frac{1}{2}β=90°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}α+∠A+\frac{1}{2}β=90°+\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α=∠BFC+\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α,∴∠PHC-∠BFC=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$

【分析】
(1) 先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据角平分线的定义得到∠FBC与∠FCB的度数和，最后借助三角形外角的性质（三角形外角等于不相邻两个内角的和）即可求出∠BFD的度数。
(2) 首先根据平角的定义表示出∠AMF和∠ANF，结合已知∠1+∠2的度数求出∠AMF+∠ANF的和；再根据折叠前后对应角相等的性质，得到∠AMN、∠ANM与∠AMF、∠ANF的数量关系，进而求出∠AMN+∠ANM的和，再用三角形内角和求出∠A的度数；最后利用角平分线性质推导的∠BFC与∠A的固定关系计算即可。
(3) 先根据角平分线的性质分别表示出∠ACD和∠APH，再利用三角形外角的性质将∠PHC转化为多个角的和，结合三角形内角和把∠APQ用∠A和α表示，最后结合∠BFC与∠A的关系，推导两者的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=100°，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=80°$
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ FCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ FBC+∠ FCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=40°$
∵∠BFD是△BFC的外角，
∴$∠ BFD=∠ FBC+∠ FCB=40°$。
(2)
∵$∠ AMF=180°-∠1$，$∠ ANF=180°-∠2$，
∴$∠ AMF+∠ ANF=360°-(∠1+∠2)$
已知$∠1+∠2=160°$，代入得$∠ AMF+∠ ANF=360°-160°=200°$。
由折叠性质可知：$∠ AMN=\frac{1}{2}∠ AMF$，$∠ ANM=\frac{1}{2}∠ ANF$，
∴$2∠ AMN+2∠ ANM=200°$，即$∠ AMN+∠ ANM=100°$。
在△AMN中，$∠ A=180°-(∠ AMN+∠ ANM)=180°-100°=80°$。
同理(1)的推导可得$∠ FBC+∠ FCB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=50°$，
在△BFC中，$∠ BFC=180°-(∠ FBC+∠ FCB)=180°-50°=130°$。
(3) 由(1)的推导可得到通用结论：
$∠ BFC=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$ ①
∵CF平分∠ACB，PH平分∠APQ，
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}β$，$∠ APH=\frac{1}{2}∠ APQ$。
根据三角形外角的性质：$∠ PHC=∠ HKC+∠ ACD$，其中∠HKC是△APH的外角，即$∠ HKC=∠ APH+∠ A$，
∴$∠ PHC=∠ APH+∠ A+∠ ACD=\frac{1}{2}∠ APQ+∠ A+\frac{1}{2}β$。
在△APQ中，$∠ APQ=180°-∠ A-∠ AQP=180°-∠ A-α$，代入上式得：
$∠ PHC=\frac{1}{2}(180°-∠ A-α)+∠ A+\frac{1}{2}β=90°-\frac{1}{2}∠ A-\frac{1}{2}α+∠ A+\frac{1}{2}β=90°+\frac{1}{2}∠ A+\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$ ②
将①代入②，可得：$∠ PHC=∠ BFC+\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α$，
整理得：$∠ PHC-∠ BFC=\frac{1}{2}(β-α)$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) $\boxed{130°}$
(3) $\boxed{∠PHC-∠BFC=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α}$（等价形式均可）
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质
【点评】
本题围绕三角形角的计算逐层设置问题，从基础的角平分线与内角和结合的计算，到折叠性质的综合应用，再到复杂角的数量关系推导，难度逐步提升，要求熟练掌握角的和差关系、三角形外角性质，能有效考查逻辑推理和角的代数化推导能力。
【难度系数】
0.6