1.「2025山东泰安东平一模」如图，一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(3,6),B(0,3)$两点，交$x$轴于点$C$，则$△ AOC$的面积为。

1.答案 9
解析 因为一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过 $A(3,6)$,$B(0,3)$ 两点,所以 $b=3,3k+b=6$,解得 $k=1$,所以一次函数的表达式为 $y=x+3$,令 $y=0$,则 $x+3=0$,解得 $x=-3$,所以 $C(-3,0)$,所以 $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×3×6=9$.

2. 学科
特色
割补法
如图,一次函数 $y=kx+\dfrac{5}{3}$ 的图象经过 $A(-2,-1),B(1,3)$ 两点,并且交 $x$ 轴于点 $C$,交 $y$ 轴于点 $D$,则 $△ AOB$ 的面积为 .

2.答案 $\dfrac{5}{2}$
解析 因为一次函数 $y=kx+\dfrac{5}{3}$ 的图象经过点 $A(-2,-1)$,所以$-2k+\dfrac{5}{3}=-1$,解得 $k=\dfrac{4}{3}$,所以一次函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$,把 $x=0$ 代入 $y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$,得 $y=\dfrac{5}{3}$,所以 $D$ 点的坐标为$(0,\dfrac{5}{3})$,所以 $S_{△ AOB}=S_{△ AOD}+S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{3}×2+\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{3}×1=\dfrac{5}{2}$.

3. 学科特色
分类讨论思想「2025安徽六安月考」在平面直角坐标系中，已知点$A(a,0)$和点$B(0,4)$，直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则直线AB的表达式为。

3.答案 $y=\dfrac{2}{3}x+4$ 或 $y=-\dfrac{2}{3}x+4$
解析 根据题意,可知直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,所以 $\dfrac{1}{2}×|a|×4=12$,解得 $a=\pm6$,
所以点 $A$ 的坐标为 $(6,0)$ 或 $(-6,0)$,
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,则 $b=4,6k+b=0$或$-6k+b=0$,解得 $k=\dfrac{2}{3}$或$-\dfrac{2}{3}$,
所以直线 $AB$ 的表达式为 $y=\dfrac{2}{3}x+4$ 或 $y=-\dfrac{2}{3}x+4$.

4.「2026江苏无锡江阴月考」如图，直线$y=k_1x+b$与$y$轴交于点$A(0,10)$，与直线$y=k_2x$交于点$B$，且$△ AOB$的面积为$15$，$AB=BO$，求直线$OB$与直线$AB$的表达式.

4.解析 如图,过点 $B$ 作 $BC⊥ OA$ 于点 $C$,

因为 $A(0,10)$,所以 $OA=10$,因为 $AB=BO,BC⊥ OA$,
所以 $OC=AC=\dfrac{1}{2}OA=5$,所以点 $B$ 的纵坐标为 $5$,因为$△ AOB$ 的面积为 $15$,所以 $\dfrac{1}{2}OA· BC=15$,即 $\dfrac{1}{2}×10BC=15$,解得 $BC=3$,所以点 $B$ 的横坐标为$-3$,所以$B(-3,5)$,把 $(-3,5)$ 代入 $y=k_2x$,得 $-3k_2=5$,解得$k_2=-\dfrac{5}{3}$,所以直线 $OB$ 的表达式为 $y=-\dfrac{5}{3}x$.把 $(0,10),(-3,5)$ 代入 $y=k_1x+b$,得 $b=10,-3k_1+b=5$,解得$k_1=\dfrac{5}{3}$,所以直线 $AB$ 的表达式为 $y=\dfrac{5}{3}x+10$.

5.如图,直线$y=-x+10$与x轴、y轴分别交于点B, C,点A的坐标为$(8,0)$,点P是第一象限内直线$y=-x+10$上的一个动点.
(1)求$△ OPA$的面积S与点P的横坐标x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当$△ OPA$的面积为10时,求点P的坐标.

5.解析 (1)因为 $A(8,0)$,所以 $OA=8$,
因为点 $P$ 是第一象限内直线 $y=-x+10$ 上的一个动点,所以点 $P$ 的坐标为 $(x,-x+10)$,则 $S_{△ OPA}=\dfrac{1}{2}OA·|y_p|=\dfrac{1}{2}×8×(-x+10)=-4x+40$,所以 $S$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $S=-4x+40(0＜x＜10)$.
(2)令 $S=10$,则$-4x+40=10$,解得 $x=\dfrac{15}{2}$,将 $x=\dfrac{15}{2}$ 代入$y=-x+10$,得 $y=-\dfrac{15}{2}+10=\dfrac{5}{2}$,所以当$△ OPA$ 的面积为10 时,点 $P$ 的坐标为$(\dfrac{15}{2},\dfrac{5}{2})$.

6. 「2026陕西西安莲湖期中」如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=2x+b$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B(0,4)$,直线$l_2:y=kx+2$与$x$轴交于点$C(3,0)$.
(1)求直线$l_1,l_2$的函数表达式.
(2)若点$D$在直线$l_2$上,且$△ ACD$的面积为10,求点$D$的坐标.

6.解析 (1)因为直线 $l_1:y=2x+b$ 与 $y$ 轴交于点 $B(0,4)$,所以 $b=4$,所以直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=2x+4$.因为直线$l_2:y=kx+2$ 与 $x$ 轴交于点 $C(3,0)$,所以 $0=3k+2$,所以 $k=-\dfrac{2}{3}$,所以直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x+2$.
(2)令 $y_1=0$,则 $2x+4=0$,解得 $x=-2$,
所以点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$.
因为 $A(-2,0),C(3,0)$,所以 $AC=5$.
因为$△ ACD$ 的面积为 10,所以 $\dfrac{1}{2}×5×|y_D|=10$,解得$y_D=4$ 或 $y_D=-4$.当 $y_D=4$ 时,$-\dfrac{2}{3}x+2=4$,解得 $x=-3$;当 $y_D=-4$ 时,$-\dfrac{2}{3}x+2=-4$,解得 $x=9$.综上,点 $D$ 的坐标为 $(-3,4)$ 或 $(9,-4)$.