1.「2026陕西西安高陵四中月考」下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.$x^2 + y =1$
B.$x-2=3$
C.$xy=1$
D.$x-1=y$

方程$x^2+y=1$中,$x^2$的次数为2,故不是二元一次方程.方程$x-2=3$只含有1个未知数,故不是二元一次方程.方程$xy=1$中,$xy$的次数为2,故不是二元一次方程.方程$x-1=y$符合二元一次方程的定义,是二元一次方程.故选D.

2.「2026广东深圳光明期中」下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）

A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 4 \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = y - 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$

选项A,方程组中,$\dfrac{1}{x}$和$\dfrac{1}{y}$不是整式,故方程组不是二元一次方程组.
选项B,C,D中的方程组符合二元一次方程组的定义,是二元一次方程组.
故选A.

3. 学科特色教材变式「2026河南郑州中牟期中」下列各组数值中，是方程$2x - y = 3$的解的是（）

A.$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1 \\ y=-5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$

将$x=1$代入方程$2x-y=3$,得$2×1-y=3$,解得$y=-1$,故$\begin{cases} x=1,\\ y=1 \end{cases}$不是方程$2x-y=3$的解.将$x=3$代入方程$2x-y=3$,得$2×3-y=3$,解得$y=3$,故$\begin{cases} x=3,\\ y=-1 \end{cases}$不是方程$2x-y=3$的解.将$x=-1$代入方程$2x-y=3$,得$2×(-1)-y=3$,解得$y=-5$,故$\begin{cases} x=-1,\\ y=-5 \end{cases}$是方程$2x-y=3$的解.将$x=2$代入方程$2x-y=3$,得$2×2-y=3$,解得$y=1$,故$\begin{cases} x=2,\\ y=-1 \end{cases}$不是方程$2x-y=3$的解.故选C.

4.「2025宁夏银川期末」若$\begin{cases}x=1, \\ y=1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x+y=2, \\ \dots\dots\end{cases}$的解，则“……”可以是 ______ 。

4. $x-y=0$(答案不唯一)

5. 情境
数学文化
发展史
「2025山东菏泽中考改编」明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是有3个头、6只手的哪吒若干个，有1个头、8只手的夜叉若干个，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据题意所列方程组为

5. $\begin{cases} 3x+y=36 \\ 6x+8y=108 \end{cases}$
解析 根据“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组,为$\begin{cases} 3x+y=36,\\ 6x+8y=108. \end{cases}$

6.「2025 北京育英学校期末，★☆」已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=-2,\end{cases}$$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$$\begin{cases}x=3, \\ y=6\end{cases}$是二元一次方程$2x - y = 0$的三个解，$\begin{cases}x=-1, \\ y=3,\end{cases}$$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$$\begin{cases}x=3, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程$x + 2y = 5$的三个解，则二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 0, \\ x + 2y = 5\end{cases}$的解是（ ）

A.$\begin{cases} x=-1 \\ y=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$

$\begin{cases} x=-1,\\ y=-2 \end{cases}$,$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$,$\begin{cases} x=3,\\ y=6 \end{cases}$是方程$2x-y=0$的解,$\begin{cases} x=-1,\\ y=3 \end{cases}$,$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$,$\begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$是方程$x+2y=5$的解,则二元一次方程组$\begin{cases}2x-y=0,\\ x+2y=5\end{cases}$的解是两个方程的公共解,即$\begin{cases} x=1,\\ y=2. \end{cases}$故选B.

7. 学科特色 易错题 「2026重庆沙坪坝期中，★☆」已知 $ x^{|m|-2} + (m-3)y = 0 $ 是关于x,y的二元一次方程，则m的值为。

7. 答案 -3
解析 由二元一次方程的定义可得$|m|-2=1$,$m-3≠0$,解得$m=-3$.

8.「2026山西运城闻喜月考改编，★☆」方程组$\begin{cases}2x+y=m, \\x+y=3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=n,\end{cases}$则$m^2 -3n$的值为 ______ 。

8. 答案 22
解析 将$\begin{cases} x=2,\\ y=n \end{cases}$代入$x+y=3$,得$2+n=3$,解得$n=1$,所以方程组$\begin{cases}2x+y=m,\\ x+y=3\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=1. \end{cases}$
将$\begin{cases} x=2,\\ y=1 \end{cases}$代入$2x+y=m$,得$2×2+1=m$,解得$m=5$,
则$m^2-3n=5^2-3×1=22$.

9. 学科特色 整体思想 「2025江苏泰州期末，★☆」已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=2, \\ cx+dy=3\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a(x-1)+b(y-1)=2, \\ c(x-1)+d(y-1)=3\end{cases}$的解为 ______ 。

9. 答案 $\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
解析 因为方程组$\begin{cases}ax+by=2,\\ cx+dy=3\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=3, \end{cases}$
所以在方程组$\begin{cases}a(x-1)+b(y-1)=2,\\ c(x-1)+d(y-1)=3\end{cases}$中,$x-1=2$,$y-1=3$,解得$x=3$,$y=4$,
所以方程组$\begin{cases}a(x-1)+b(y-1)=2,\\ c(x-1)+d(y-1)=3\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=3,\\ y=4. \end{cases}$

10.「★☆」某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内,计划播放时长分别为15秒和30秒的两种广告.若要求每种广告播放不少于2次,则两种广告播放的次数有种安排方式.

10. 答案 2
解析 设15秒的广告播放x次,30秒的广告播放y次,根据题意得$15x+30y=2×60$,整理,得$x+2y=8$,
因为x,y均为不小于2的正整数,
所以$\begin{cases} x=2,\\ y=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4,\\ y=2, \end{cases}$所以有2种安排方式.