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1.「2026广东汕头模拟改编」关于$x$的分式方程$\frac{6}{(x+1)(x-1)} - \frac{m}{x-1}=1$无解，但去分母后得到的整式方程有解，则其整式方程的解是（
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=1$或$x=-1$
D.$x=3$
A
）A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=1$或$x=-1$
D.$x=3$
答案
两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$6-m(x+1)=(x+1)(x-1)$,
由题意得$(x+1)(x-1)=0,\therefore x=1$或$x=-1$.
当$x=-1$时,得$6=0$,此式不成立.
$\therefore$ 其整式方程的解为1.故选 A.
由题意得$(x+1)(x-1)=0,\therefore x=1$或$x=-1$.
当$x=-1$时,得$6=0$,此式不成立.
$\therefore$ 其整式方程的解为1.故选 A.
2.「2026河南驻马店月考」若关于x的分式方程$\frac{a}{x-2}-\frac{3}{2-x}=\frac{1}{x}$无解，则a需满足的条件是（
A.$a=-3$和$a=-2$
B.$a=-3$
C.$a=-2$
D.$a≠-3$且$a≠-2$
A
）A.$a=-3$和$a=-2$
B.$a=-3$
C.$a=-2$
D.$a≠-3$且$a≠-2$
答案
原方程变形可得$\frac{a}{x-2}+\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x}$,即$\frac{a+3}{x-2}=\frac{1}{x}$,
方程两边同乘$x(x-2)$,得$(a+3)x=x-2$,
整理得$x(a+2)=-2$,$\because$ 分式方程无解,$\therefore$ 整式方程无解或整式方程的解使最简公分母为0,
①当$a+2=0$,即$a=-2$时,整式方程左边为0,右边为-2,矛盾,$\therefore$ 整式方程无解,故原分式方程无解.
②当$a+2≠0$时,$x=\frac{-2}{a+2}$,若此解使最简公分母为零,则原分式方程无解,当$x=0$时,不符合;
当$x=2$时,$\frac{-2}{a+2}=2$,解得$a=-3$.
$\therefore$ 当$a=-2$或$a=-3$时,原分式方程无解.故选 A.
方程两边同乘$x(x-2)$,得$(a+3)x=x-2$,
整理得$x(a+2)=-2$,$\because$ 分式方程无解,$\therefore$ 整式方程无解或整式方程的解使最简公分母为0,
①当$a+2=0$,即$a=-2$时,整式方程左边为0,右边为-2,矛盾,$\therefore$ 整式方程无解,故原分式方程无解.
②当$a+2≠0$时,$x=\frac{-2}{a+2}$,若此解使最简公分母为零,则原分式方程无解,当$x=0$时,不符合;
当$x=2$时,$\frac{-2}{a+2}=2$,解得$a=-3$.
$\therefore$ 当$a=-2$或$a=-3$时,原分式方程无解.故选 A.
3.「2026湖北襄阳月考」若关于x的分式方程$\frac{1}{x-2}+\frac{k}{x+2}=\frac{3}{x^2-4}$有解，则k需满足的条件是
$k≠-1$ 且 $k≠-\frac{3}{4}$
。答案
答案 $k≠-1$ 且 $k≠-\frac{3}{4}$
解析 两边同乘$(x^2-4)$,得$(x+2)+k(x-2)=3$,
整理得$(1+k)x=1+2k$,
$\because$ 分式方程有解,$\therefore$ 整式方程有解且整式方程的解使最简公分母不为0,$\therefore k≠-1$,$x≠2$或$-2$.
当$k≠-1$时,$x=\frac{1+2k}{1+k}$,
$\therefore x=\frac{1+2k}{1+k}≠2$ 或$-2$,$\therefore k≠-\frac{3}{4}$.$\therefore k≠-1$ 且 $k≠-\frac{3}{4}$.
解析 两边同乘$(x^2-4)$,得$(x+2)+k(x-2)=3$,
整理得$(1+k)x=1+2k$,
$\because$ 分式方程有解,$\therefore$ 整式方程有解且整式方程的解使最简公分母不为0,$\therefore k≠-1$,$x≠2$或$-2$.
当$k≠-1$时,$x=\frac{1+2k}{1+k}$,
$\therefore x=\frac{1+2k}{1+k}≠2$ 或$-2$,$\therefore k≠-\frac{3}{4}$.$\therefore k≠-1$ 且 $k≠-\frac{3}{4}$.
4.「2026 山东淄博期中」已知关于$x$的分式方程$\frac{a}{x+1}-\frac{2a - x -1}{x^2 + x}=0$无解，求$a$的值.
答案
解析 方程两边同乘$x(x+1)$,得$ax-2a+x+1=0$,
整理得$(a+1)x=2a-1$,
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{a}{x+1}-\frac{2a-x-1}{x^2+x}=0$无解,$\therefore$ 整式方程无解或整式方程的解使最简公分母为0,
①当$a+1=0$,即$a=-1$时,方程$(a+1)x=2a-1$无解,
$\therefore$ 原分式方程无解;
②当$x(x+1)=0$时,$x=-1$或$x=0$,
当$x=-1$时,$-(a+1)=2a-1$,解得$a=0$;
当$x=0$时,$2a-1=0$,解得$a=\frac{1}{2}$.
综上所述,$a$的值为$-1$或$0$或$\frac{1}{2}$.
整理得$(a+1)x=2a-1$,
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{a}{x+1}-\frac{2a-x-1}{x^2+x}=0$无解,$\therefore$ 整式方程无解或整式方程的解使最简公分母为0,
①当$a+1=0$,即$a=-1$时,方程$(a+1)x=2a-1$无解,
$\therefore$ 原分式方程无解;
②当$x(x+1)=0$时,$x=-1$或$x=0$,
当$x=-1$时,$-(a+1)=2a-1$,解得$a=0$;
当$x=0$时,$2a-1=0$,解得$a=\frac{1}{2}$.
综上所述,$a$的值为$-1$或$0$或$\frac{1}{2}$.
5.「2026河南新乡期末」已知关于$x$的分式方程$\frac{k}{2-x} - \frac{1}{x-2}=2$的解是非负数，则$k$的取值范围是(
A.$k≤3$
B.$k≥3$
C.$k≤3$且$k≠2$
D.$k≤3$且$k≠-1$
D
)A.$k≤3$
B.$k≥3$
C.$k≤3$且$k≠2$
D.$k≤3$且$k≠-1$
答案
两边同乘$(2-x)$,得$k+1=2(2-x)$,解得$x=\frac{3-k}{2}$,
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{k}{2-x}-\frac{1}{x-2}=2$的解是非负数,
$\therefore \frac{3-k}{2}≥0$,且$\frac{3-k}{2}≠2$,解得$k≤3$且$k≠-1$.故选 D.
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{k}{2-x}-\frac{1}{x-2}=2$的解是非负数,
$\therefore \frac{3-k}{2}≥0$,且$\frac{3-k}{2}≠2$,解得$k≤3$且$k≠-1$.故选 D.
6.「2026山东烟台期中」若关于x的分式方程$\frac{x-2m}{x+4}=3$的解是负数，则m的取值范围为
$m＞-6$ 且 $m≠-2$
。答案
答案 $m＞-6$ 且 $m≠-2$
解析 方程两边同时乘$(x+4)$,得$x-2m=3x+12$,
解得$x=-m-6$.
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{x-2m}{x+4}=3$的解是负数,
$\therefore -m-6＜0$ 且$-m-6≠-4$,解得$m＞-6$ 且 $m≠-2$.
解析 方程两边同时乘$(x+4)$,得$x-2m=3x+12$,
解得$x=-m-6$.
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{x-2m}{x+4}=3$的解是负数,
$\therefore -m-6＜0$ 且$-m-6≠-4$,解得$m＞-6$ 且 $m≠-2$.
7.「2026四川成都质检」若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{x+2m}{x^2-4}$的解大于1，求$m$的取值范围。
答案
解析 $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{x+2m}{x^2-4}$,
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$,得$(x+2)+2(x-2)=x+2m$,解得$x=m+1$,
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{x+2m}{x^2-4}$的解大于1,
$\therefore m+1＞1$,且$m+1≠2$,$m+1≠-2$,$\therefore m＞0$ 且 $m≠1$.
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$,得$(x+2)+2(x-2)=x+2m$,解得$x=m+1$,
$\because$ 关于$x$的分式方程$\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{x+2m}{x^2-4}$的解大于1,
$\therefore m+1＞1$,且$m+1≠2$,$m+1≠-2$,$\therefore m＞0$ 且 $m≠1$.
8.「2026江苏南通月考」关于x的方程$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$有整数解，则满足条件的整数m的值有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
去分母,得$mx-1-1=2(x-2)$,整理得$(2-m)x=2$,
$\because$ 关于$x$的方程$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$有整数解,
$\therefore x=\frac{2}{2-m}$,$x$为整数,且$x≠2$,又$\because m$是整数,$\therefore 2-m=-1$或$2-m=±2$,$\therefore m=3$或$m=4$或$m=0$,
$\therefore$ 满足条件的整数$m$有3个.故选 C.
$\because$ 关于$x$的方程$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$有整数解,
$\therefore x=\frac{2}{2-m}$,$x$为整数,且$x≠2$,又$\because m$是整数,$\therefore 2-m=-1$或$2-m=±2$,$\therefore m=3$或$m=4$或$m=0$,
$\therefore$ 满足条件的整数$m$有3个.故选 C.
9.「2026云南曲靖期末」若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}≤2,\\6x-a＞2\end{cases}$有且只有4个整数解，且关于$y$的分式方程$\dfrac{3y}{y-1}=\dfrac{a-9}{1-y}+1$有非负整数解，求所有满足条件的整数$a$的值之和.
答案
解析 解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}≤2,\\6x-a＞2,\end{cases}$得$\frac{a+2}{6}＜x≤5$,
$\because$ 一元一次不等式组有且只有4个整数解,即2,3,4,5,$\therefore 1≤\frac{a+2}{6}＜2$,$\therefore 4≤a＜10$.$\frac{3y}{y-1}=\frac{a-9}{1-y}+1$,两边同乘$(y-1)$,得$3y=9-a+y-1$,解得$y=\frac{8-a}{2}$,
$\because$ 关于$y$的分式方程$\frac{3y}{y-1}=\frac{a-9}{1-y}+1$有非负整数解,
$\therefore \frac{8-a}{2}≥0$,$\frac{8-a}{2}$为整数,且$\frac{8-a}{2}≠1$,
又$\because 4≤a＜10$,
$\therefore 8-a=0$或4,$\therefore a=8$或4,
$\therefore$ 所有满足条件的整数$a$的值之和为$4+8=12$.
$\because$ 一元一次不等式组有且只有4个整数解,即2,3,4,5,$\therefore 1≤\frac{a+2}{6}＜2$,$\therefore 4≤a＜10$.$\frac{3y}{y-1}=\frac{a-9}{1-y}+1$,两边同乘$(y-1)$,得$3y=9-a+y-1$,解得$y=\frac{8-a}{2}$,
$\because$ 关于$y$的分式方程$\frac{3y}{y-1}=\frac{a-9}{1-y}+1$有非负整数解,
$\therefore \frac{8-a}{2}≥0$,$\frac{8-a}{2}$为整数,且$\frac{8-a}{2}≠1$,
又$\because 4≤a＜10$,
$\therefore 8-a=0$或4,$\therefore a=8$或4,
$\therefore$ 所有满足条件的整数$a$的值之和为$4+8=12$.
