登录
1.「2026重庆巫山期末」小亮有两根长度为5 cm和9 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择 (
A.3 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.16 cm
C
)A.3 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.16 cm
答案
C
2.「2026 安徽合肥期末」已知 $a, b, c$ 是 $△ ABC$ 的三边长.
(1)若 $a=2, b=5, c$ 为奇数,判断 $△ ABC$ 的形状.
(2)化简: $|a+b-c| - |a-b-c| - |a-b+c|$.
(1)若 $a=2, b=5, c$ 为奇数,判断 $△ ABC$ 的形状.
(2)化简: $|a+b-c| - |a-b-c| - |a-b+c|$.
答案
(1)由题意得5-2＜c＜5+2,即3＜c＜7,
∵c为奇数,
∴c=5=b,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+b＞c,b+c＞a,a+c＞b,
∴a+b-c＞0,a-b-c＜0,a-b+c＞0,
∴|a+b-c|-|a-b-c|-|a-b+c|=a+b-c+a-b-c-a+b-c=a+b-3c.
∵c为奇数,
∴c=5=b,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+b＞c,b+c＞a,a+c＞b,
∴a+b-c＞0,a-b-c＜0,a-b+c＞0,
∴|a+b-c|-|a-b-c|-|a-b+c|=a+b-c+a-b-c-a+b-c=a+b-3c.
3.如图，AD，BE，CF分别是$△ ABC$的中线，高和角平分线，$∠ ABC=90°$，CF交AD于点G，交BE于点H，AB=BD。给出下列结论：①$AB=CD$；②$FG=GC$；③$∠ ABE=2∠ FCB$；④$∠ BFH=∠ BHF$。其中一定正确的是（
A.①③④
B.②③④
C.①②③
D.①②④
A
）A.①③④
B.②③④
C.①②③
D.①②④
答案
A
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵AB=BD,
∴AB=CD,故①正确;
∵BE,CF分别是△ABC的高和角平分线,
∴∠AEB=∠BEC=90°,∠ACB=2∠ACF=2∠FCB,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠ACB=2∠FCB,故③正确;
∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,
∴∠BFH+∠FCB=90°,∠ECF+∠EHC=90°,
∵∠BCF=∠ECF,
∴∠BFH=∠CHE,
∵∠CHE=∠BHF,
∴∠BFH=∠BHF,故④正确;由已知无法得到FG=GC,故②错误.故选A.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵AB=BD,
∴AB=CD,故①正确;
∵BE,CF分别是△ABC的高和角平分线,
∴∠AEB=∠BEC=90°,∠ACB=2∠ACF=2∠FCB,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠ACB=2∠FCB,故③正确;
∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,
∴∠BFH+∠FCB=90°,∠ECF+∠EHC=90°,
∵∠BCF=∠ECF,
∴∠BFH=∠CHE,
∵∠CHE=∠BHF,
∴∠BFH=∠BHF,故④正确;由已知无法得到FG=GC,故②错误.故选A.
4.「2026四川广安期末」如图，$AP_1$为$△ ABC$的中线，$AP_2$为$△ AP_1C$的中线，$AP_3$为$△ AP_2C$的中线，……，按此规律，$AP_n$为$△ AP_{n-1}C$的中线.
(1)若$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=16\ \mathrm{cm}$，则$△ AP_1C$的周长与$△ AP_1B$的周长相差
(2)若$△ ABC$的面积为64，则$△ AP_5C$的面积为
(1)若$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=16\ \mathrm{cm}$，则$△ AP_1C$的周长与$△ AP_1B$的周长相差
4
$\mathrm{cm}$.(2)若$△ ABC$的面积为64，则$△ AP_5C$的面积为
2
.答案
(1)4 (2)2
解析 (1)
∵AP₁为△ABC的中线,
∴BP₁=CP₁,
∵AB=12 cm,AC=16 cm,
∴△AP₁C的周长与△AP₁B的周长差为$(AC+AP_1+CP_1)-(AB+AP_1+BP_1)=AC-AB=4(\mathrm{cm})$.故答案为4.
(2)
∵AP₁为△ABC的中线,
∴$S_{△AP_1C}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=32$,
同理可得$S_{△AP_2C}=\frac{1}{2}S_{△AP_1C}=16$,$S_{△AP_3C}=\frac{1}{2}S_{△AP_2C}=8$,
$S_{△AP_4C}=\frac{1}{2}S_{△AP_3C}=4$,$S_{△AP_5C}=\frac{1}{2}S_{△AP_4C}=2$.
解析 (1)
∵AP₁为△ABC的中线,
∴BP₁=CP₁,
∵AB=12 cm,AC=16 cm,
∴△AP₁C的周长与△AP₁B的周长差为$(AC+AP_1+CP_1)-(AB+AP_1+BP_1)=AC-AB=4(\mathrm{cm})$.故答案为4.
(2)
∵AP₁为△ABC的中线,
∴$S_{△AP_1C}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=32$,
同理可得$S_{△AP_2C}=\frac{1}{2}S_{△AP_1C}=16$,$S_{△AP_3C}=\frac{1}{2}S_{△AP_2C}=8$,
$S_{△AP_4C}=\frac{1}{2}S_{△AP_3C}=4$,$S_{△AP_5C}=\frac{1}{2}S_{△AP_4C}=2$.
5.「2026 安徽芜湖期末」如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的一条角平分线,BE是$△ ABC$的边AC上的高,AD,BE相交于点O.若$∠ ABC=82°,∠ C=56°$,则$∠ AOB$的度数是 (
A.$118°$
B.$112°$
C.$111°$
D.$103°$
C
)A.$118°$
B.$112°$
C.$111°$
D.$103°$
答案
C
∵∠ABC=82°,∠C=56°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=42°,
∵AD平分∠BAC,
∴$∠OAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×42°=21°$,
∵BE是△ABC的边AC上的高,
∴∠AEO=90°,
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=21°+90°=111°.
故选C.
∵∠ABC=82°,∠C=56°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=42°,
∵AD平分∠BAC,
∴$∠OAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×42°=21°$,
∵BE是△ABC的边AC上的高,
∴∠AEO=90°,
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=21°+90°=111°.
故选C.
6.「2026浙江绍兴期末」如图,数学活动课上,小李同学分别延长△ABC和△DEF的边,边AC,DF的延长线交于点H,边BC,EF的延长线交于点G,测得∠CGF=126°,∠CHF=84°,则∠A+∠B+∠D+∠E的值为
210°
.答案
210°
解析 如图,连接GH,设∠CGH=∠1,∠FGH=∠2,
∠CHG=∠3,∠FHG=∠4,
根据“8字型”可得∠A+∠B=∠1+∠3,∠D+∠E=∠2+∠4,
∴∠A+∠B+∠D+∠E=∠1+∠3+∠2+∠4=∠CGF+∠CHF=126°+84°=210°.
7.「2026四川遂宁期末」如图,在$△ ABC$中,点D在BC边上,连接AD,$∠ ADB = ∠ ABD$,BE是$△ ABD$中AD边上的高,延长BE交AC于点F,设$∠ ABC = α$,$∠ ACB = β$.
(1)当$α = 65°$时,$∠ ABF$的度数为
(2)求$∠ AFB$的度数(用含$α,β$的式子表示).
(3)若$∠ AFB = ∠ BAF$,求$β$的值.
(1)当$α = 65°$时,$∠ ABF$的度数为
40°
.(2)求$∠ AFB$的度数(用含$α,β$的式子表示).
(3)若$∠ AFB = ∠ BAF$,求$β$的值.
答案
(1)40°.
(2)
∵BE是△ABD中AD边上的高,
∴∠BED=90°,
∵∠ABC=∠ADB=α,
∴∠DBE=90°-α,
∵∠ACB=β,
∴∠AFB=∠CBF+∠C=90°-α+β.
(3)
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∴∠BAC=180°-α-β,
由(2)知∠AFB=90°-α+β,
∵∠AFB=∠BAF,
∴180°-α-β=90°-α+β,
∴β=45°.
(2)
∵BE是△ABD中AD边上的高,
∴∠BED=90°,
∵∠ABC=∠ADB=α,
∴∠DBE=90°-α,
∵∠ACB=β,
∴∠AFB=∠CBF+∠C=90°-α+β.
(3)
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∴∠BAC=180°-α-β,
由(2)知∠AFB=90°-α+β,
∵∠AFB=∠BAF,
∴180°-α-β=90°-α+β,
∴β=45°.
