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5.「★☆」一艘货轮在静水中的速度为40 km/h，它以该速度沿江顺流航行120 km所用的时间与以该速度沿江逆流航行80 km所用的时间相等，则江水的流速为（
A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
D
）A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
答案
设江水的流速为$x\ \mathrm{km/h}$,则沿江顺流航行的速度为$(40+x)\mathrm{km/h}$,沿江逆流航行的速度为$(40-x)\mathrm{km/h}$,
根据题意得$\frac{120}{40+x}=\frac{80}{40-x}$,解得$x=8$,经检验,$x=8$是原方程的解,且符合题意,$\therefore$ 江水的流速为$8\ \mathrm{km/h}$.故选D.
根据题意得$\frac{120}{40+x}=\frac{80}{40-x}$,解得$x=8$,经检验,$x=8$是原方程的解,且符合题意,$\therefore$ 江水的流速为$8\ \mathrm{km/h}$.故选D.
6.「2026上海上外附中月考改编，★☆」某项工程，甲队单独完成所需天数是乙、丙两队合作完成所需天数的$a$倍，乙队单独完成所需天数是甲、丙两队合作完成所需天数的$b$倍，丙队单独完成所需天数是甲、乙两队合作完成所需天数的$c$倍，则$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$的值是
1
。答案
设总工程量为1,甲、乙、丙单独完成这项工程各需$x$天、$y$天、$z$天,
根据题意得$x=a·\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{ayz}{y+z}$,$\therefore a=\frac{xy+xz}{yz}$,
$\therefore a+1=\frac{xy+xz+yz}{yz}$,$\therefore \frac{1}{a+1}=\frac{yz}{xy+xz+yz}$,
同理可得$\frac{1}{b+1}=\frac{xz}{xy+xz+yz}$,$\frac{1}{c+1}=\frac{xy}{xy+xz+yz}$,
$\therefore \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{yz}{xy+xz+yz}+\frac{xz}{xy+xz+yz}+\frac{xy}{xy+xz+yz}$
$=\frac{yz+xz+xy}{xy+xz+yz}=1$.
根据题意得$x=a·\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{ayz}{y+z}$,$\therefore a=\frac{xy+xz}{yz}$,
$\therefore a+1=\frac{xy+xz+yz}{yz}$,$\therefore \frac{1}{a+1}=\frac{yz}{xy+xz+yz}$,
同理可得$\frac{1}{b+1}=\frac{xz}{xy+xz+yz}$,$\frac{1}{c+1}=\frac{xy}{xy+xz+yz}$,
$\therefore \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{yz}{xy+xz+yz}+\frac{xz}{xy+xz+yz}+\frac{xy}{xy+xz+yz}$
$=\frac{yz+xz+xy}{xy+xz+yz}=1$.
7.「2025山东淄博中考，★☆」某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生.现知共有200名师生参加了最近一次活动.
(1)一部分师生乘大巴车先行,出发36 min后,其他人员乘中巴车前往,结果他们同时到达景区大门.已知中巴车速度是大巴车的1.25倍,求大巴车的速度.
(2)该景区对学生(或儿童)实行门票优惠,学生每人10元,成人每人30元.如果购买门票的费用共计2 200元,那么参加本次活动的学生人数是多少?
(1)一部分师生乘大巴车先行,出发36 min后,其他人员乘中巴车前往,结果他们同时到达景区大门.已知中巴车速度是大巴车的1.25倍,求大巴车的速度.
(2)该景区对学生(或儿童)实行门票优惠,学生每人10元,成人每人30元.如果购买门票的费用共计2 200元,那么参加本次活动的学生人数是多少?
答案
(1)设大巴车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$,则中巴车的速度是$1.25x\ \mathrm{km/h}$,根据题意得$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$,
解得$x=80$,
经检验,$x=80$是原方程的解,且符合题意.
答:大巴车的速度为$80\ \mathrm{km/h}$.
(2)设参加本次活动的学生人数是$y$,则教师人数为$200-y$,根据题意得$10y+30(200-y)=2\ 200$,
解得$y=190$.
答:参加本次活动的学生人数是190.
解得$x=80$,
经检验,$x=80$是原方程的解,且符合题意.
答:大巴车的速度为$80\ \mathrm{km/h}$.
(2)设参加本次活动的学生人数是$y$,则教师人数为$200-y$,根据题意得$10y+30(200-y)=2\ 200$,
解得$y=190$.
答:参加本次活动的学生人数是190.
8. 核心素养 模型观念 1月份,甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品,甲商店用1 050元购进的商品数量比乙商店用1 260元购进的商品数量少10件.
(1)求该商品的单价.
(2)2月份,两商店以$a$元/件(低于1月份单价)再次购进该商品,购进总价不变.
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小.
②已知$a=15$,甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分,剩余部分与2月份购进的商品一起售卖,2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半,第二次在第一次基础上再降价2元全部售出,两个月的总利润为1 050元,求甲商店1月份可能售出该商品的数量.
(1)求该商品的单价.
(2)2月份,两商店以$a$元/件(低于1月份单价)再次购进该商品,购进总价不变.
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小.
②已知$a=15$,甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分,剩余部分与2月份购进的商品一起售卖,2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半,第二次在第一次基础上再降价2元全部售出,两个月的总利润为1 050元,求甲商店1月份可能售出该商品的数量.
答案
(1)设该商品的单价为$x$元,
由题意得$\frac{1\ 050}{x}+10=\frac{1\ 260}{x}$,解得$x=21$,
经检验,$x=21$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore$ 该商品的单价为21元.
(2)①由题意得,甲商店两次一共购买的商品数量为$\frac{1\ 050}{21}+\frac{1\ 050}{a}=\frac{1\ 050+50a}{a}$件,乙商店两次一共购买的商品数量为$\frac{1\ 260}{21}+\frac{1\ 260}{a}=\frac{1\ 260+60a}{a}$件,
$\therefore$ 甲商店两次购进该商品的平均单价为$\frac{1\ 050× 2}{\frac{1\ 050+50a}{a}}=\frac{42a}{a+21}$元,乙商店两次购进该商品的平均单价为$\frac{1\ 260× 2}{\frac{1\ 260+60a}{a}}=\frac{42a}{a+21}$元,
$\because \frac{42a}{a+21}=\frac{42a}{a+21}$,
$\therefore$ 甲商店两次购进该商品的平均单价等于乙商店两次购进该商品的平均单价.
②甲商店1月份购进的商品数量为$\frac{1\ 050}{21}=50$件,
当$a=15$时,甲商店2月份购进的商品数量为$\frac{1\ 050}{15}=70$件,
设甲商店1月份售出$m$件,2月份第一次售出$n$件,则甲商店2月份第二次售出$50+70-m-n=(120-m-n)$件,
由题意得,$30m+30× 0.9n+(30× 0.9-2)(120-m-n)=1\ 050+1\ 050+1\ 050$,
$\therefore 30m+27n+3\ 000-25m-25n=3\ 150$,
$\therefore 5m+2n=150$,$\therefore n=\frac{150-5m}{2}$,
$\because n$是正整数,$\therefore 150-5m＞0$,$\therefore m＜30$,
$\because 2$月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半,
$\therefore n≤ \frac{m}{2}$,$\therefore \frac{150-5m}{2}≤ \frac{m}{2}$,
$\therefore m≥ 25$,$\therefore 25≤ m＜30$,
$\because m$是正整数,$n=\frac{150-5m}{2}$也是正整数,
$\therefore m$必须是偶数,$\therefore m$的值为26或28.
$\therefore$ 甲商店1月份售出该商品的数量为26件或28件.
由题意得$\frac{1\ 050}{x}+10=\frac{1\ 260}{x}$,解得$x=21$,
经检验,$x=21$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore$ 该商品的单价为21元.
(2)①由题意得,甲商店两次一共购买的商品数量为$\frac{1\ 050}{21}+\frac{1\ 050}{a}=\frac{1\ 050+50a}{a}$件,乙商店两次一共购买的商品数量为$\frac{1\ 260}{21}+\frac{1\ 260}{a}=\frac{1\ 260+60a}{a}$件,
$\therefore$ 甲商店两次购进该商品的平均单价为$\frac{1\ 050× 2}{\frac{1\ 050+50a}{a}}=\frac{42a}{a+21}$元,乙商店两次购进该商品的平均单价为$\frac{1\ 260× 2}{\frac{1\ 260+60a}{a}}=\frac{42a}{a+21}$元,
$\because \frac{42a}{a+21}=\frac{42a}{a+21}$,
$\therefore$ 甲商店两次购进该商品的平均单价等于乙商店两次购进该商品的平均单价.
②甲商店1月份购进的商品数量为$\frac{1\ 050}{21}=50$件,
当$a=15$时,甲商店2月份购进的商品数量为$\frac{1\ 050}{15}=70$件,
设甲商店1月份售出$m$件,2月份第一次售出$n$件,则甲商店2月份第二次售出$50+70-m-n=(120-m-n)$件,
由题意得,$30m+30× 0.9n+(30× 0.9-2)(120-m-n)=1\ 050+1\ 050+1\ 050$,
$\therefore 30m+27n+3\ 000-25m-25n=3\ 150$,
$\therefore 5m+2n=150$,$\therefore n=\frac{150-5m}{2}$,
$\because n$是正整数,$\therefore 150-5m＞0$,$\therefore m＜30$,
$\because 2$月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半,
$\therefore n≤ \frac{m}{2}$,$\therefore \frac{150-5m}{2}≤ \frac{m}{2}$,
$\therefore m≥ 25$,$\therefore 25≤ m＜30$,
$\because m$是正整数,$n=\frac{150-5m}{2}$也是正整数,
$\therefore m$必须是偶数,$\therefore m$的值为26或28.
$\therefore$ 甲商店1月份售出该商品的数量为26件或28件.
