2026年5年中考3年模拟九年级数学上册人教版第20页答案
9.「2026北京首都师大附中月考,★☆」某商场购进一批文创商品,进价为每件20元.当售价为每件28元时,每周可卖出160件;每件售价每降低1元,每周销量增加20件.设每件售价为x元,每周利润为y元,则y与x的函数关系式为 (
A
)

A.$y=(x-20)[160+20(28-x)]$
B.$y=(x-20)[160-20(28-x)]$
C.$y=(28-x-20)(160+20x)$
D.$y=(28-x-20)(160-20x)$

答案

9.A 由每件售价为$x$元,得每件售价降低了$(28-x)$元,每件利润为$(x-20)$元,则每周销量增加了$20(28-x)$件,$\therefore y=(x-20)[160+20(28-x)]$.故选A.

解析

【分析】
解决这道题首先要明确销售利润的核心计算逻辑:总利润=单件商品的利润×销售总数量,我们只需分别求出对应售价下的单件利润和销售总量,两者相乘即可得到函数关系式。第一步先求单件利润:已知进价为20元,售价为x元,因此单件利润为售价减去进价,也就是$(x-20)$元。第二步求销售总量:原本售价28元时每周可卖160件,每降低1元销量增加20件,现在售价为x元,相比原售价降低了$(28-x)$元,因此销量总共增加$20(28-x)$件,总销量就是原有销量加新增销量,即$[160+20(28-x)]$件,最后将两个量相乘就能得到y与x的关系式。
【解析】
解:根据总利润的计算规则分步推导:
1. 计算单件利润:售价为x元,进价20元,因此单件利润为$\boldsymbol{(x-20)}$元;
2. 计算售价降幅:原售价28元,现售价x元,因此售价降低了$\boldsymbol{(28-x)}$元;
3. 计算总销量:每降价1元销量增加20件,因此销量共增加$20(28-x)$件,总销量为原有160件加上新增销量,即$\boldsymbol{[160+20(28-x)]}$件;
4. 总利润$y=$单件利润×总销量,代入得$y=(x-20)[160+20(28-x)]$,对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 列函数关系式
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型,解题关键是理清售价变化对销量的影响规律,准确拆分出单件利润、总销量两个核心计算量,只要梳理清楚各个量的对应关系,就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10. 学科特色 易错题「2026广东广州海珠月考,★☆」已知函数$y=(m+4)x^{m^2+3m-2}$是关于x的二次函数,则m=
1

答案

10.答案 1
解析 由题意得$m^2+3m-2=2$且$m+4≠0$,解得$m=1$.
易错警示 二次函数中自变量的最高次数为2,且二次项系数不为零.

解析

【分析】
要确定m的取值,需结合二次函数的定义推导:二次函数有两个必备成立条件,一是自变量x的最高次数为2,二是二次项的系数不能为0(若系数为0,式子不含二次项,就不属于二次函数)。我们先根据次数要求列方程求出m的所有可能解,再结合系数不为0的条件排除不符合的取值,就能得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义,可列条件:
1. 自变量x的最高次数为2:$\begin{aligned}m^2+3m-2&=2\\m^2+3m-4&=0\\(m+4)(m-1)&=0\end{aligned}$
解得$m=-4$或$m=1$。
2. 二次项系数不为0:$m+4≠0$,即$m≠-4$。
排除不符合条件的$m=-4$,最终得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的求解、不等式的应用
【点评】
本题是二次函数概念的基础易错题,易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件,直接将方程的两个解都作为结果,解题时要牢记二次函数的两个成立条件,避免因考虑不全面丢分。
【难度系数】
0.6
11.「2026河南许昌禹州期中,★☆」如图,小明的父亲想用长为80 m的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形菜园ABCD.已知房屋外墙长40 m,设AB=x m,矩形菜园ABCD的面积为S m²,则S与x之间的函数解析式为
$S=-2x^2+80x$
.(不必写出x的取值范围)

答案

11.答案 $S=-2x^2+80x$
解析 $\because AB=x\ \mathrm{m},\therefore CD=x\ \mathrm{m},BC=(80-2x)\ \mathrm{m}$,$\therefore S=x(80-2x)=-2x^2+80x$.

解析

【分析】
首先明确围菜园的栅栏仅覆盖矩形的AB、BC、CD三条边,AD边借助房屋外墙不需要栅栏。已知AB的长度为x m,先根据矩形对边相等的性质得到CD的长度,再结合栅栏总长度求出BC边的长度,最后利用矩形面积公式代入对应边长化简,即可得到S与x的函数解析式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,AB=x m,
∴ CD=AB=x m,
∵ 栅栏总长为80 m,且AD边借助外墙无需栅栏,
∴ BC的长度为$80 - AB - CD = 80 - 2x\ \mathrm{m}$,
根据矩形面积公式可得:
$S = AB × BC = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$。
【答案】
$S=-2x^2+80x$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用 2. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型,解题核心是准确识别栅栏对应的矩形边,正确用含x的代数式表示出矩形的邻边长度,再代入面积公式化简即可。
【难度系数】
0.85
12.「2026陕西西安周至月考,★☆」关于$x$的函数$y=(a^2 +2a +5)x^2 +3ax +1$($a$为常数).
甲说:“此函数不一定是二次函数.”
乙说:“此函数一定是二次函数.”
请问谁的说法正确?为什么?

答案

12.解析 乙的说法正确.理由如下:
$\because a^2+2a+5=(a+1)^2+4>0$,$\therefore$ 函数$y=(a^2+2a+5)x^2+3ax+1$($a$为常数)一定是二次函数,$\therefore$ 乙的说法正确.

解析

【分析】
判断两人说法是否正确的核心是明确二次函数的判定规则:形如$y=Ax^2+Bx+C$($A、B、C$为常数,且$A≠0$)的函数是二次函数,因此本题只需判断二次项系数$a^2+2a+5$是否可能为0即可。我们可以通过配方法对$a^2+2a+5$变形,结合完全平方的非负性确定它的取值范围,最终得出结论。
【解析】
乙的说法正确,理由如下:
对二次项系数配方可得:
$a^2+2a+5=a^2+2a+1+4=(a+1)^2+4$
根据平方的非负性可知,$(a+1)^2≥0$,因此$(a+1)^2+4≥4>0$,即无论$a$取何值,二次项系数恒大于0,不可能等于0。
结合二次函数的定义可知,函数$y=(a^2 +2a +5)x^2 +3ax +1$($a$为常数)一定是二次函数,因此乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确,因为$a^2+2a+5=(a+1)^2+4>0$,二次项系数恒不为0,因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义、配方法的应用、平方的非负性
【点评】
本题是二次函数概念的基础典型题,解题的关键是抓住二次函数“二次项系数不为0”的核心判定条件,结合配方法和非负数的性质即可快速求解,能够帮助同学们加深对二次函数定义的理解。
【难度系数】
0.85
13.「★☆」如图,正方形 EFGH 的四个顶点分别在边长为2的正方形 ABCD 的四条边上.若设 AE = x,正方形 EFGH 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数解析式.

答案


13.解析 如图所示,
$\because$ 四边形$ABCD$是边长为2的正方形,$\therefore ∠ A=∠ B=90°,AB=2$,$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$.$\because$ 四边形$EFGH$为正方形,$\therefore ∠ HEF=90°,EH=EF$,$\therefore ∠ 1+∠ 3=90°$,$\therefore ∠ 2=∠ 3$.
在$△ AHE$与$△ BEF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ 2=∠ 3,\\EH=FE,\end{cases}$
$\therefore △ AHE≌△ BEF(\mathrm{AAS})$,$\therefore AE=BF=x,AH=BE=2-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AHE$中,由勾股定理得$EH^2=AE^2+AH^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4$,$\therefore y=2x^2-4x+4(0≤ x≤2)$.

解析

【分析】
解题可按三步推导:第一步,利用正方形性质找角的关系:正方形ABCD内角均为90°,正方形EFGH内角为90°且邻边相等,通过“同角的余角相等”可推出∠2=∠3;第二步,证明三角形全等得到边的对应关系:已知AE=x,AB=2,可推得AH=BE=2-x;第三步,借助勾股定理表示正方形EFGH的边长平方(即面积y),再根据x的实际意义确定自变量取值范围,最终得到函数解析式。
【解析】
如图所示,
$\because$ 四边形$ABCD$是边长为2的正方形,$\therefore ∠ A=∠ B=90°,AB=2$,$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°$。
$\because$ 四边形$EFGH$为正方形,$\therefore ∠ HEF=90°,EH=EF$,$\therefore ∠ 1+∠ 3=90°$,$\therefore ∠ 2=∠ 3$。
在$△ AHE$与$△ BEF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ 2=∠ 3,\\EH=FE,\end{cases}$
$\therefore △ AHE≌△ BEF(\mathrm{AAS})$,$\therefore AE=BF=x,AH=BE=2-x$。
在$\mathrm{Rt}△ AHE$中,由勾股定理得$EH^2=AE^2+AH^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4$,结合x是线段AE的长度,取值范围为$0≤ x≤2$,可得正方形EFGH的面积$y=2x^2-4x+4(0≤ x≤2)$。
【答案】

$y=2x^2-4x+4(0≤x≤2)$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型,考查对几何性质的综合运用能力,以及建立函数关系的逻辑,解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
14. 核心素养 推理能力 聚焦中考 过程性学习 如图,用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察图形并解答下列问题.

(1)在第n个图形中,每一横行共有
$(n+3)$
块瓷砖,每一竖列共有
$(n+2)$
块瓷砖.(均用含n的代数式表示)
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y关于n的函数关系式.
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了106块灰色瓷砖,求白色瓷砖共用多少块.

答案

14.解析 (1)$(n+3)$;$(n+2)$.
(2)由(1)得,$y$关于$n$的函数关系式是$y=(n+2)(n+3)=n^2+5n+6$.
(3)由题图可得,第$n$个图形中白色瓷砖有$[n(n+1)]$块,则灰色瓷砖有$(n^2+5n+6)-n(n+1)=(4n+6)$块.当$4n+6=106$时,$n=25$,则白色瓷砖有$n(n+1)=650$(块).

解析

【分析】
解题时按照从特殊到一般的思路分析:
1. 解决第(1)问:先统计n=1、2、3时每一横行、竖列的瓷砖数,可发现n=1时横行4=1+3块、竖列3=1+2块,n=2时横行5=2+3块、竖列4=2+2块,n=3时横行6=3+3块、竖列5=3+2块,由此归纳第n个图形的横行、竖列瓷砖数的表达式。
2. 解决第(2)问:总瓷砖数=横行瓷砖数×竖列瓷砖数,代入第(1)问的表达式展开即可得到y与n的函数关系式。
3. 解决第(3)问:先观察白色瓷砖的数量规律:n=1时白色2=1×2块,n=2时白色6=2×3块,n=3时白色12=3×4块,得出白色瓷砖数为n(n+1);再用总瓷砖数减白色瓷砖数得到灰色瓷砖的表达式,结合灰色瓷砖总数为106列方程求n,最后代入白色瓷砖的表达式计算结果。
【解析】
(1) 观察图形排列规律:
当n=1时,横行瓷砖数为4=1+3,竖列瓷砖数为3=1+2;
当n=2时,横行瓷砖数为5=2+3,竖列瓷砖数为4=2+2;
当n=3时,横行瓷砖数为6=3+3,竖列瓷砖数为5=3+2;
因此第n个图形中,每一横行共有$\boldsymbol{(n+3)}$块瓷砖,每一竖列共有$\boldsymbol{(n+2)}$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数为横行瓷砖数与竖列瓷砖数的乘积,因此:
$y=(n+3)(n+2)$
展开得$y=n^2+5n+6$,即y关于n的函数关系式为$\boldsymbol{y=n^2+5n+6}$(n为正整数)。
(3) 观察白色瓷砖数量:
n=1时,白色瓷砖有$1×2=2$块;
n=2时,白色瓷砖有$2×3=6$块;
n=3时,白色瓷砖有$3×4=12$块;
因此第n个图形中白色瓷砖数为$n(n+1)$块。
灰色瓷砖数=总瓷砖数-白色瓷砖数,即:
$n^2+5n+6 - n(n+1)=4n+6$块
已知灰色瓷砖共106块,列方程:
$4n+6=106$
解得$n=25$
代入白色瓷砖表达式得:$25×(25+1)=650$块。
【答案】
(1) $n+3$;$n+2$
(2) $y=n^2+5n+6$(n为正整数)
(3) 650块
【知识点】
图形规律探究、列代数式、一元一次方程应用
【点评】
本题结合图形排列考查规律探究与代数运算的综合应用,需要从特殊图形中归纳通用数量规律,再通过代数式化简、解方程解决问题,能有效锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7