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1.「2026山西朔州月考」二次函数$y=-4x^2$的图象可能是（
A
）答案
1.A 在$y=-4x^2$中,$-4＜0$,
∴ 抛物线开口向下.故选 A.
∴ 抛物线开口向下.故选 A.
解析
【分析】
要判断二次函数$y=-4x^2$的图像，需结合二次函数$y=ax^2$的性质思考：首先，$y=ax^2$的图像是顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线；其次，二次项系数$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。先确定本题中$a$的正负得到开口方向，再排除不符合特征的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-4x^2$，其二次项系数$a=-4＜0$，因此抛物线开口向下，且函数顶点为原点、对称轴为y轴。
逐一排查选项：
B是折线，属于绝对值函数图像，不是二次函数的抛物线；C中一个x对应两个y值，不符合函数定义，不是二次函数图像；D抛物线开口向上，对应$a＞0$，不符合要求；仅A符合开口向下、顶点在原点的抛物线特征。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质 2.二次函数图像判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$开口方向的影响，牢记相关性质即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数$y=-4x^2$的图像，需结合二次函数$y=ax^2$的性质思考：首先，$y=ax^2$的图像是顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线；其次，二次项系数$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。先确定本题中$a$的正负得到开口方向，再排除不符合特征的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-4x^2$，其二次项系数$a=-4＜0$，因此抛物线开口向下，且函数顶点为原点、对称轴为y轴。
逐一排查选项：
B是折线，属于绝对值函数图像，不是二次函数的抛物线；C中一个x对应两个y值，不符合函数定义，不是二次函数图像；D抛物线开口向上，对应$a＞0$，不符合要求；仅A符合开口向下、顶点在原点的抛物线特征。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质 2.二次函数图像判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次项系数对二次函数$y=ax^2$开口方向的影响，牢记相关性质即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.「2026 湖南长沙浏阳期中」若二次函数$y=(m+2)x^{m^2 -2}$的图象开口向上，则$m=$
2
。答案
2.答案 2
解析
∵ 二次函数$y=(m+2)x^{m^2-2}$的图象开口向上，
∴ $m^2-2=2$,且$m+2＞0$,解得 $m=2$.
解析
∵ 二次函数$y=(m+2)x^{m^2-2}$的图象开口向上，
∴ $m^2-2=2$,且$m+2＞0$,解得 $m=2$.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和图象性质分步推导：第一步先根据二次函数的定义确定自变量的指数取值，二次函数中自变量的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0；第二步结合图象开口向上的性质，明确二次项系数需大于0，联立两个条件求解后排除不符合要求的取值，就能得到最终结果。
【解析】
已知该函数是开口向上的二次函数，需同时满足以下两个条件：
1. 符合二次函数的次数要求：$m^2 - 2 = 2$
解方程得：$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 符合开口向上的系数要求：二次项系数$m+2＞0$
解得$m＞-2$
结合两个条件，$m=-2$不满足$m＞-2$的要求，予以舍去，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对二次函数定义和图象性质的掌握，解题时要注意同时满足次数和系数的限制条件，避免漏看约束条件导致多解错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合二次函数的定义和图象性质分步推导：第一步先根据二次函数的定义确定自变量的指数取值，二次函数中自变量的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0；第二步结合图象开口向上的性质，明确二次项系数需大于0，联立两个条件求解后排除不符合要求的取值，就能得到最终结果。
【解析】
已知该函数是开口向上的二次函数，需同时满足以下两个条件：
1. 符合二次函数的次数要求：$m^2 - 2 = 2$
解方程得：$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 符合开口向上的系数要求：二次项系数$m+2＞0$
解得$m＞-2$
结合两个条件，$m=-2$不满足$m＞-2$的要求，予以舍去，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对二次函数定义和图象性质的掌握，解题时要注意同时满足次数和系数的限制条件，避免漏看约束条件导致多解错误。
【难度系数】
0.8
3.「2026四川绵阳梓潼期中」二次函数$y_1=mx^2$，$y_2=nx^2$的图象如图所示，则$m$
＞
$n$（填“＞”或“＜”）。答案
3.答案 ＞
解析 二次函数中二次项系数的绝对值越大,其图象的开口越小,结合题图可知 $m＞n$.
解析 二次函数中二次项系数的绝对值越大,其图象的开口越小,结合题图可知 $m＞n$.
解析
【分析】
要判断m和n的大小关系，可从二次函数$y=ax^2$的性质入手：①二次项系数a的符号决定开口方向，开口向上则$a＞0$；②$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，开口越窄。也可采用特殊值法，取$x=1$，此时两个函数的函数值恰好等于各自的二次项系数，通过比较$x=1$处的函数值大小即可判断m、n的大小。
【解析】
解法1：根据二次函数$y=ax^2$的图象性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，且$|a|$越大，抛物线开口越小。
由图可知两个抛物线均开口向上，因此$m＞0$，$n＞0$；又$y_1=mx^2$的开口更窄，可得$|m|＞|n|$，因此$m＞n$。
解法2：取$x=1$，代入两个函数得：$y_1=m×1^2=m$，$y_2=n×1^2=n$。
观察图象，$x=1$时$y_1$的函数值大于$y_2$的函数值，因此$m＞n$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次项系数对开口的影响
【点评】
本题属于二次函数的基础考点，解题方法灵活，既可以直接利用开口宽窄与二次项系数的关系判断，也可以通过特殊值法快速得到结果，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断m和n的大小关系，可从二次函数$y=ax^2$的性质入手：①二次项系数a的符号决定开口方向，开口向上则$a＞0$；②$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，开口越窄。也可采用特殊值法，取$x=1$，此时两个函数的函数值恰好等于各自的二次项系数，通过比较$x=1$处的函数值大小即可判断m、n的大小。
【解析】
解法1：根据二次函数$y=ax^2$的图象性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，且$|a|$越大，抛物线开口越小。
由图可知两个抛物线均开口向上，因此$m＞0$，$n＞0$；又$y_1=mx^2$的开口更窄，可得$|m|＞|n|$，因此$m＞n$。
解法2：取$x=1$，代入两个函数得：$y_1=m×1^2=m$，$y_2=n×1^2=n$。
观察图象，$x=1$时$y_1$的函数值大于$y_2$的函数值，因此$m＞n$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次项系数对开口的影响
【点评】
本题属于二次函数的基础考点，解题方法灵活，既可以直接利用开口宽窄与二次项系数的关系判断，也可以通过特殊值法快速得到结果，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 学科特色教材变式 在图中画出二次函数$y=\frac{3}{2}x^2$的图象，并回答下列问题.
(1)当$x$取何值时，$y$有最小值？最小值是多少？
(2)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大怎样变化？当$x＜0$时呢？
(1)当$x$取何值时，$y$有最小值？最小值是多少？
(2)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大怎样变化？当$x＜0$时呢？
答案
4.解析 列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{3}{2}x^2$ | … | 6 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 6 | … |
描点,画出函数$y=\frac{3}{2}x^2$的图象如图所示：
(1)当$x=0$时,$y$有最小值,最小值是0.
(2)当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大；
当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.
解析
【分析】
绘制二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的通用步骤，由于$y=\frac{3}{2}x^2$的图象关于y轴对称，选取对称的x值计算对应y值可提高作图效率。完成作图后，结合$a＞0$时二次函数$y=ax^2$的图象特征：开口向上、顶点在原点，即可分析最值和增减性：最值对应顶点的函数值，增减性以对称轴y轴（x=0）为分界，分别观察x＞0、x＜0区间内图象的升降趋势即可得出结论。
【解析】
1. 绘制函数图象：
① 列表，选取对称的x值计算对应的y值：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{3}{2}x^2$ | … | 6 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 6 | … |
② 描点：在平面直角坐标系中描出表格对应的坐标点；
③ 连线：用平滑的曲线依次连接各点，得到函数图象如图所示：
2. 回答问题：
(1) 观察图象可知，抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，y取得最小值，最小值为0。
(2) 观察图象趋势：当$x＞0$时，图象从左到右上升，因此y随x的增大而增大；当$x＜0$时，图象从左到右下降，因此y随x的增大而减小。
【答案】
函数图象如图；
(1) 当$x=0$时，y有最小值，最小值是0；
(2) 当$x＞0$时，y随x的增大而增大；当$x＜0$时，y随x的增大而减小。
【知识点】
二次函数y=ax²的图象画法；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础题，通过动手绘制图象能直观理解二次函数的性质，帮助掌握数形结合分析二次函数问题的方法。
【难度系数】
0.85
绘制二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的通用步骤，由于$y=\frac{3}{2}x^2$的图象关于y轴对称，选取对称的x值计算对应y值可提高作图效率。完成作图后，结合$a＞0$时二次函数$y=ax^2$的图象特征：开口向上、顶点在原点，即可分析最值和增减性：最值对应顶点的函数值，增减性以对称轴y轴（x=0）为分界，分别观察x＞0、x＜0区间内图象的升降趋势即可得出结论。
【解析】
1. 绘制函数图象：
① 列表，选取对称的x值计算对应的y值：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{3}{2}x^2$ | … | 6 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 6 | … |
② 描点：在平面直角坐标系中描出表格对应的坐标点；
③ 连线：用平滑的曲线依次连接各点，得到函数图象如图所示：
2. 回答问题：
(1) 观察图象可知，抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，y取得最小值，最小值为0。
(2) 观察图象趋势：当$x＞0$时，图象从左到右上升，因此y随x的增大而增大；当$x＜0$时，图象从左到右下降，因此y随x的增大而减小。
【答案】
函数图象如图
；(1) 当$x=0$时，y有最小值，最小值是0；
(2) 当$x＞0$时，y随x的增大而增大；当$x＜0$时，y随x的增大而减小。
【知识点】
二次函数y=ax²的图象画法；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础题，通过动手绘制图象能直观理解二次函数的性质，帮助掌握数形结合分析二次函数问题的方法。
【难度系数】
0.85
5. 学科特色多解法「2026 浙江金华金东期中，★☆」已知抛物线$y=2x^2$经过$(-2,y_1)$，$(0,y_2)$，$(\dfrac{3}{2},y_3)$三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
D
）A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
答案
5.D 【解法一】距离法:抛物线$y=2x^2$的对称轴为$y$轴,且开口向上,则抛物线上的点离对称轴越远,其纵坐标越大.
∵ $0-(-2)=2,0-0=0,\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2},2＞\frac{3}{2}＞0,∴ y_1＞y_3＞y_2$.
【解法二】代入法:将$x=-2,0,\frac{3}{2}$分别代入$y=2x^2$,得$y_1=8,y_2=0,y_3=\frac{9}{2},∴ y_1＞y_3＞y_2$.
【解法三】对称法:
∵ 该抛物线的对称轴为$y$轴,
∴ $(-2,y_1)$关于对称轴对称的点为$(2,y_1)$,
∵ 当$x≥0$时,$y$随$x$的增大而增大,$∴ y_1＞y_3＞y_2$.
∵ $0-(-2)=2,0-0=0,\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2},2＞\frac{3}{2}＞0,∴ y_1＞y_3＞y_2$.
【解法二】代入法:将$x=-2,0,\frac{3}{2}$分别代入$y=2x^2$,得$y_1=8,y_2=0,y_3=\frac{9}{2},∴ y_1＞y_3＞y_2$.
【解法三】对称法:
∵ 该抛物线的对称轴为$y$轴,
∴ $(-2,y_1)$关于对称轴对称的点为$(2,y_1)$,
∵ 当$x≥0$时,$y$随$x$的增大而增大,$∴ y_1＞y_3＞y_2$.
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，可从二次函数$y=2x^2$的基本性质入手，有三类常见解题思路：思路1：直接代入法，将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应$y$值后比较大小，这种方法最直观，不容易出错；思路2：距离比较法，先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离即可判断大小；思路3：对称转化法，利用抛物线的对称性，将对称轴两侧的点转化到同一侧，再结合二次函数的增减性判断大小，适合对函数性质掌握较熟练的同学使用。
【解析】
解法一（代入法）：
将三个点的横坐标分别代入$y=2x^2$计算：
当$x=-2$时，$y_1=2×(-2)^2=8$；
当$x=0$时，$y_2=2×0^2=0$；
当$x=\dfrac{3}{2}$时，$y_3=2×(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{2}=4.5$；
$\because8＞4.5＞0$，$\therefore y_1＞y_3＞y_2$。
解法二（距离法）：
抛物线$y=2x^2$中$a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$）；
开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，三个点到对称轴的距离为：
$|-2-0|=2$，$|0-0|=0$，$\left|\dfrac{3}{2}-0\right|=1.5$；
$\because2＞1.5＞0$，$\therefore y_1＞y_3＞y_2$。
解法三（对称法）：
抛物线$y=2x^2$的对称轴为$y$轴，$\therefore$点$(-2,y_1)$关于$y$轴对称的点为$(2,y_1)$，该点也在抛物线上；
$\because a=2＞0$，$\therefore$当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大；
又$\because2＞\dfrac{3}{2}＞0$，$\therefore$对应函数值$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，二次函数值比较，二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数值大小比较的基础题型，提供了多种解法，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的对称性、增减性快速判断，能够帮助同学们灵活掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质。
【难度系数】
0.9
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，可从二次函数$y=2x^2$的基本性质入手，有三类常见解题思路：思路1：直接代入法，将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应$y$值后比较大小，这种方法最直观，不容易出错；思路2：距离比较法，先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离即可判断大小；思路3：对称转化法，利用抛物线的对称性，将对称轴两侧的点转化到同一侧，再结合二次函数的增减性判断大小，适合对函数性质掌握较熟练的同学使用。
【解析】
解法一（代入法）：
将三个点的横坐标分别代入$y=2x^2$计算：
当$x=-2$时，$y_1=2×(-2)^2=8$；
当$x=0$时，$y_2=2×0^2=0$；
当$x=\dfrac{3}{2}$时，$y_3=2×(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{2}=4.5$；
$\because8＞4.5＞0$，$\therefore y_1＞y_3＞y_2$。
解法二（距离法）：
抛物线$y=2x^2$中$a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$）；
开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，三个点到对称轴的距离为：
$|-2-0|=2$，$|0-0|=0$，$\left|\dfrac{3}{2}-0\right|=1.5$；
$\because2＞1.5＞0$，$\therefore y_1＞y_3＞y_2$。
解法三（对称法）：
抛物线$y=2x^2$的对称轴为$y$轴，$\therefore$点$(-2,y_1)$关于$y$轴对称的点为$(2,y_1)$，该点也在抛物线上；
$\because a=2＞0$，$\therefore$当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大；
又$\because2＞\dfrac{3}{2}＞0$，$\therefore$对应函数值$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，二次函数值比较，二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数值大小比较的基础题型，提供了多种解法，既可以通过直接代入计算求解，也可以利用二次函数的对称性、增减性快速判断，能够帮助同学们灵活掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质。
【难度系数】
0.9
6.「2026内蒙古赤峰松山期中，★☆」二次函数$y=kx^2$与一次函数$y=kx+k$在同一坐标系中的大致图象可能是（
D
）答案
6.D $y=kx+k=k(x+1)$,即当$x=-1$时,$y$的值与$k$无关,此时$y=0$,即一次函数$y=kx+k$的图象过点$(-1,0)$,故选项 A,B 不合题意;C.由二次函数的图象开口向下可知$k＜0$,由一次函数的图象可知$k＞0$,矛盾,故不合题意;D.由二次函数的图象开口向上可知$k＞0$,由一次函数的图象可知$k＞0$,一致,符合题意.故选 D.
解析
【分析】
解决同参数的多个函数图象共存问题，核心是参数的取值要同时符合所有函数的图象特征：第一步先化简一次函数解析式，找到它的定点，先排除一次函数不过该定点的选项；第二步再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别验证二次函数的开口方向、一次函数的增减性与截距是否和参数$k$的正负一致，最终确定正确选项。
【解析】
1. 化简一次函数解析式：将$y=kx+k$整理为$y=k(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过定点$(-1,0)$，观察选项，A、B中的一次函数均不过点$(-1,0)$，故排除A、B；
2. 分析选项C：二次函数$y=kx^2$开口向下，可得$k＜0$；若$k＜0$，一次函数$y=kx+k$的斜率为负，图象应呈下降趋势，且与y轴交于负半轴，但C中一次函数呈上升趋势、与y轴交于正半轴，说明$k＞0$，两者矛盾，排除C；
3. 分析选项D：二次函数$y=kx^2$开口向上，可得$k＞0$；此时一次函数$y=kx+k$斜率为正，图象呈上升趋势，且与y轴交于正半轴，同时过定点$(-1,0)$，和图象特征完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数$y=ax^2$的性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，通过找一次函数定点可以快速排除部分错误选项，再结合参数的一致性验证剩余选项即可，解题时要注意两个函数的参数$k$取值必须统一。
【难度系数】
0.8
解决同参数的多个函数图象共存问题，核心是参数的取值要同时符合所有函数的图象特征：第一步先化简一次函数解析式，找到它的定点，先排除一次函数不过该定点的选项；第二步再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别验证二次函数的开口方向、一次函数的增减性与截距是否和参数$k$的正负一致，最终确定正确选项。
【解析】
1. 化简一次函数解析式：将$y=kx+k$整理为$y=k(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过定点$(-1,0)$，观察选项，A、B中的一次函数均不过点$(-1,0)$，故排除A、B；
2. 分析选项C：二次函数$y=kx^2$开口向下，可得$k＜0$；若$k＜0$，一次函数$y=kx+k$的斜率为负，图象应呈下降趋势，且与y轴交于负半轴，但C中一次函数呈上升趋势、与y轴交于正半轴，说明$k＞0$，两者矛盾，排除C；
3. 分析选项D：二次函数$y=kx^2$开口向上，可得$k＞0$；此时一次函数$y=kx+k$斜率为正，图象呈上升趋势，且与y轴交于正半轴，同时过定点$(-1,0)$，和图象特征完全一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数$y=ax^2$的性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，通过找一次函数定点可以快速排除部分错误选项，再结合参数的一致性验证剩余选项即可，解题时要注意两个函数的参数$k$取值必须统一。
【难度系数】
0.8
7.「2026江苏泰州姜堰月考，★☆」已知二次函数$y=2026x^2$的图象上有两个不同的点$P(t_1,\frac{1}{2})$，$Q(t_2,\frac{1}{2})$，则$t_1+t_2=$
0
。答案
7.答案 0
解析 由$P(t_1,\frac{1}{2}),Q(t_2,\frac{1}{2})$得点$P,Q$是图象上的一组对称点,因为函数$y=2\ 026x^2$的图象关于$y$轴对称,所以$t_1+t_2=0$.
解析 由$P(t_1,\frac{1}{2}),Q(t_2,\frac{1}{2})$得点$P,Q$是图象上的一组对称点,因为函数$y=2\ 026x^2$的图象关于$y$轴对称,所以$t_1+t_2=0$.
解析
【分析】
解题时首先观察两点坐标的特征：P、Q两点的纵坐标相同，说明两点在二次函数图象上处于同一高度，是关于对称轴对称的点；接着回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）；最后根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，即可求出$t_1+t_2$的值。
【解析】
∵ 点$P(t_1,\frac{1}{2})$和$Q(t_2,\frac{1}{2})$都在二次函数$y=2026x^2$的图象上，且两点纵坐标相等，
∴ 点P、Q关于该二次函数的对称轴对称。
又
∵ 二次函数$y=2026x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
∴ $t_1$与$t_2$互为相反数，即$t_1=-t_2$，
∴ $t_1+t_2=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的对称性
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题突破口是发现纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，结合$y=ax^2$的对称轴为y轴即可快速得出结论，属于基础类题型，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两点坐标的特征：P、Q两点的纵坐标相同，说明两点在二次函数图象上处于同一高度，是关于对称轴对称的点；接着回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）；最后根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，即可求出$t_1+t_2$的值。
【解析】
∵ 点$P(t_1,\frac{1}{2})$和$Q(t_2,\frac{1}{2})$都在二次函数$y=2026x^2$的图象上，且两点纵坐标相等，
∴ 点P、Q关于该二次函数的对称轴对称。
又
∵ 二次函数$y=2026x^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
∴ $t_1$与$t_2$互为相反数，即$t_1=-t_2$，
∴ $t_1+t_2=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的对称性
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题突破口是发现纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，结合$y=ax^2$的对称轴为y轴即可快速得出结论，属于基础类题型，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
8. 学科$\frac{特色}{易错题}$「2026江苏苏州姑苏月考，★☆」已知二次函数$y=x^2$，当$-2 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围是
$0≤y≤9$
。答案
8.答案 $0≤y≤9$
解析
∵ 二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$,
∴ 抛物线开口向上,其最小值为0,
又
∵ 抛物线的对称轴为$y$轴,
∴ 当$-2≤x≤3$时,$y$随$x$的增大先减小后增大.
当$x=-2$时,$y=4$,当$x=3$时,$y=9$,
∴ $y$的取值范围是$0≤y≤9$.
易错警示 不能把-2和3直接代入二次函数确定最值,需要对当$-2≤x≤3$时,抛物线的增减性进行分析,从而确定最大、最小值.
解析
∵ 二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$,
∴ 抛物线开口向上,其最小值为0,
又
∵ 抛物线的对称轴为$y$轴,
∴ 当$-2≤x≤3$时,$y$随$x$的增大先减小后增大.
当$x=-2$时,$y=4$,当$x=3$时,$y=9$,
∴ $y$的取值范围是$0≤y≤9$.
易错警示 不能把-2和3直接代入二次函数确定最值,需要对当$-2≤x≤3$时,抛物线的增减性进行分析,从而确定最大、最小值.
解析
【分析】
要确定二次函数在给定自变量区间内的函数值取值范围，首先需明确二次函数的基本性质：第一步先判断抛物线开口方向，找到对称轴；第二步分析函数在给定区间内的增减性，确定最小值和最大值的对应取值点；第三步计算对应点的函数值，即可得到y的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2$的二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，函数存在最小值，
又
∵抛物线$y=x^2$的对称轴为y轴（即直线$x=0$），
∴当$-2≤x≤3$时，$y$在$[-2,0)$上随$x$的增大而减小，在$(0,3]$上随$x$的增大而增大，
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=3$时，$y=3^2=9$，
∵$9＞4$，
∴$y$的最大值为$9$，
因此$y$的取值范围是$0≤y≤9$。
【答案】
$0≤y≤9$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数取值范围求解的基础易错题，常见错误是直接代入区间端点计算最值，忽略函数在区间内的增减性变化，求解此类问题需先明确抛物线开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，再确定最值点。
【难度系数】
0.6
要确定二次函数在给定自变量区间内的函数值取值范围，首先需明确二次函数的基本性质：第一步先判断抛物线开口方向，找到对称轴；第二步分析函数在给定区间内的增减性，确定最小值和最大值的对应取值点；第三步计算对应点的函数值，即可得到y的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2$的二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，函数存在最小值，
又
∵抛物线$y=x^2$的对称轴为y轴（即直线$x=0$），
∴当$-2≤x≤3$时，$y$在$[-2,0)$上随$x$的增大而减小，在$(0,3]$上随$x$的增大而增大，
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=3$时，$y=3^2=9$，
∵$9＞4$，
∴$y$的最大值为$9$，
因此$y$的取值范围是$0≤y≤9$。
【答案】
$0≤y≤9$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数区间最值求解
【点评】
本题是二次函数取值范围求解的基础易错题，常见错误是直接代入区间端点计算最值，忽略函数在区间内的增减性变化，求解此类问题需先明确抛物线开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，再确定最值点。
【难度系数】
0.6
9. 核心素养 几何直观 「2026 江苏南京鼓楼期中」如图, 四边形OABC是边长为$2\sqrt{2}$的正方形, OC与x轴正半轴的夹角为$15°$, 点B在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上, 则a的值为 (
A.$-\dfrac{1}{6}$
B.$-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$-\dfrac{1}{2}$
A
)A.$-\dfrac{1}{6}$
B.$-\dfrac{1}{4}$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
9.A 如图,连接$OB$,过点$B$作$BD⊥x$轴于$D$,
∵ 四边形$OABC$是边长为$2\sqrt{2}$的正方形,
∴ $∠BOC=45°,OB=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$,
∵ $OC$与$x$轴正半轴的夹角为$15°$,
∴ $∠BOD=45°-15°=30°,∴ BD=\frac{1}{2}OB=2$,
∴ $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=2\sqrt{3},∴$ 点$B$的坐标为$(2\sqrt{3},-2)$,
∵ 点$B$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上,
∴ $(2\sqrt{3})^2a=-2$,解得$a=-\frac{1}{6}$.故选 A.
解析
【分析】
要求抛物线解析式中a的值，需先得到抛物线上点B的坐标，再代入解析式求解。首先利用正方形的性质求出对角线OB的长度，以及OB与OC的夹角，结合OC与x轴的夹角，可得出OB与x轴的夹角；再过点B作x轴的垂线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出点B的横、纵坐标；最后将点B坐标代入抛物线解析式，解方程即可得到a的值。
【解析】
连接$OB$，过点$B$作$BD⊥x$轴于$D$，
∵ 四边形$OABC$是边长为$2\sqrt{2}$的正方形，
∴ $∠BOC=45°$，由勾股定理可得$OB=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，
∵ $OC$与$x$轴正半轴的夹角为$15°$，
∴ $∠BOD=45°-15°=30°$，
在$Rt△BOD$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$BD=\frac{1}{2}OB=2$，
再由勾股定理可得$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
结合点B在第四象限，可得点$B$的坐标为$(2\sqrt{3},-2)$，
∵ 点$B$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上，将点B坐标代入解析式得：
$(2\sqrt{3})^2a=-2$，即$12a=-2$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合了几何图形性质与二次函数的知识，解题核心是通过几何计算得到抛物线上点的坐标，再代入解析式求参数，考查了数形结合思想和基础的几何运算能力。
【难度系数】
0.7
要求抛物线解析式中a的值，需先得到抛物线上点B的坐标，再代入解析式求解。首先利用正方形的性质求出对角线OB的长度，以及OB与OC的夹角，结合OC与x轴的夹角，可得出OB与x轴的夹角；再过点B作x轴的垂线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出点B的横、纵坐标；最后将点B坐标代入抛物线解析式，解方程即可得到a的值。
【解析】
连接$OB$，过点$B$作$BD⊥x$轴于$D$，
∵ 四边形$OABC$是边长为$2\sqrt{2}$的正方形，
∴ $∠BOC=45°$，由勾股定理可得$OB=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，
∵ $OC$与$x$轴正半轴的夹角为$15°$，
∴ $∠BOD=45°-15°=30°$，
在$Rt△BOD$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$BD=\frac{1}{2}OB=2$，
再由勾股定理可得$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
结合点B在第四象限，可得点$B$的坐标为$(2\sqrt{3},-2)$，
∵ 点$B$在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上，将点B坐标代入解析式得：
$(2\sqrt{3})^2a=-2$，即$12a=-2$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合了几何图形性质与二次函数的知识，解题核心是通过几何计算得到抛物线上点的坐标，再代入解析式求参数，考查了数形结合思想和基础的几何运算能力。
【难度系数】
0.7
