登录
1.「2025广东三模」在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2+2$的图象大致是（
A
）答案
1.A 由$y=x^2+2$可知,其图象开口向上,对称轴为直线x=0,与y轴的交点为(0,2).故选A.
解析
【分析】
解决这道题可通过分步排除错误选项的思路求解：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再根据函数形式确定对称轴，排除对称轴不符合的选项；最后计算抛物线与y轴的交点即顶点的位置，排除剩余错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
解：①判断开口方向：二次函数$y=x^2+2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的D选项；
②确定对称轴：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，一次项系数为0，因此对称轴为直线$x=0$（即y轴），C选项的对称轴在y轴右侧，不符合要求，排除C；
③确定顶点位置：当$x=0$时，代入解析式得$y=0^2+2=2$，即抛物线顶点坐标为$(0,2)$，在x轴上方，抛物线与x轴没有交点。B选项顶点在y轴负半轴，与x轴有两个交点，不符合要求，排除B。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；$y=ax^2+k$的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象的基础判断题，核心考查根据解析式判断二次函数开口方向、对称轴、顶点位置的方法，熟练运用排除法可以快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解决这道题可通过分步排除错误选项的思路求解：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除不符合的选项；再根据函数形式确定对称轴，排除对称轴不符合的选项；最后计算抛物线与y轴的交点即顶点的位置，排除剩余错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
解：①判断开口方向：二次函数$y=x^2+2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的D选项；
②确定对称轴：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，一次项系数为0，因此对称轴为直线$x=0$（即y轴），C选项的对称轴在y轴右侧，不符合要求，排除C；
③确定顶点位置：当$x=0$时，代入解析式得$y=0^2+2=2$，即抛物线顶点坐标为$(0,2)$，在x轴上方，抛物线与x轴没有交点。B选项顶点在y轴负半轴，与x轴有两个交点，不符合要求，排除B。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；$y=ax^2+k$的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象的基础判断题，核心考查根据解析式判断二次函数开口方向、对称轴、顶点位置的方法，熟练运用排除法可以快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2.「2026云南文山州期中」对于二次函数$y=2x^2+1$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向下
B.图象与y轴交于点$(0,2)$
C.图象的对称轴是直线$x=0$
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C
）A.图象的开口向下
B.图象与y轴交于点$(0,2)$
C.图象的对称轴是直线$x=0$
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
2.C $\because y=2x^2+1$中$a=2＞0,\therefore$ 其图象开口向上，$\because$ 二次函数$y=2x^2+1$的图象的对称轴为y轴,即直线x=0,$\therefore$ 当x＞0时,y随x的增大而增大，$\because$ 当x=0时,y=1,$\therefore$ 二次函数图象与y轴的交点为(0,1),故选项A,B,D错误,C正确.故选C.
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题时先确定函数中$a$、$k$的取值，再依次从开口方向、对称轴、增减性、与y轴交点四个维度，逐一判断每个选项的正误即可。我们可以回忆$y=ax^2+k$的固定性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=0$（y轴），与y轴交点为$(0,k)$，开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小，开口向下时增减性相反。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=2x^2+1$，其中$a=2$，$k=1$：
1. 判断选项A：$\because a=2＞0$，$\therefore$ 函数图象开口向上，A选项错误；
2. 判断选项B：当$x=0$时，代入解析式得$y=2×0^2+1=1$，$\therefore$ 图象与y轴交于点$(0,1)$，B选项错误；
3. 判断选项C：二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$，即y轴，C选项正确；
4. 判断选项D：$\because$ 图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，$\therefore$ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，D选项错误。
综上，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性；二次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查对$y=ax^2+k$型二次函数基本性质的掌握，牢记相关性质即可快速判断选项，是二次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.85
这道题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题时先确定函数中$a$、$k$的取值，再依次从开口方向、对称轴、增减性、与y轴交点四个维度，逐一判断每个选项的正误即可。我们可以回忆$y=ax^2+k$的固定性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=0$（y轴），与y轴交点为$(0,k)$，开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小，开口向下时增减性相反。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=2x^2+1$，其中$a=2$，$k=1$：
1. 判断选项A：$\because a=2＞0$，$\therefore$ 函数图象开口向上，A选项错误；
2. 判断选项B：当$x=0$时，代入解析式得$y=2×0^2+1=1$，$\therefore$ 图象与y轴交于点$(0,1)$，B选项错误；
3. 判断选项C：二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$，即y轴，C选项正确；
4. 判断选项D：$\because$ 图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，$\therefore$ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，D选项错误。
综上，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性；二次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查对$y=ax^2+k$型二次函数基本性质的掌握，牢记相关性质即可快速判断选项，是二次函数章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.85
3.「2026浙江杭州月考」比较二次函数$y=-2x^2$与$y=\frac{1}{2}x^2+3$的图象，则（
A.开口大小相同
B.开口方向相同
C.对称轴相同
D.顶点坐标相同
C
）A.开口大小相同
B.开口方向相同
C.对称轴相同
D.顶点坐标相同
答案
3.C 两个二次函数的二次项系数绝对值不相等,故图象开口大小不同.
二次函数$y=-2x^2$的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),
二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+3$的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,3),
$\therefore$ 两函数图象的对称轴相同.故选C.
二次函数$y=-2x^2$的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),
二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+3$的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,3),
$\therefore$ 两函数图象的对称轴相同.故选C.
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：开口方向由二次项系数$a$的正负决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小；对称轴固定为直线$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,k)$。我们只需分别梳理两个函数的开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标，再逐一和选项比对即可得到答案。
【解析】
分别分析两个二次函数的性质：
1. 对于$y=-2x^2$：二次项系数$a=-2＜0$，开口向下，$|a|=2$；对称轴为直线$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{2}x^2+3$：二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，$|a|=\frac{1}{2}$；对称轴为直线$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,3)$。
逐一判断选项：
A：两个函数$|a|$不相等，开口大小不同，错误；
B：两个函数开口方向一个向下、一个向上，不相同，错误；
C：两个函数对称轴均为y轴，相同，正确；
D：两个函数顶点坐标分别为$(0,0)$和$(0,3)$，不相同，错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数开口性质
2.二次函数对称轴
3.二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基础图象性质，解题核心是明确参数$a$、$k$分别对应的图象特征，属于基础考点，熟练记忆相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：开口方向由二次项系数$a$的正负决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大开口越小；对称轴固定为直线$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,k)$。我们只需分别梳理两个函数的开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标，再逐一和选项比对即可得到答案。
【解析】
分别分析两个二次函数的性质：
1. 对于$y=-2x^2$：二次项系数$a=-2＜0$，开口向下，$|a|=2$；对称轴为直线$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{2}x^2+3$：二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，$|a|=\frac{1}{2}$；对称轴为直线$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,3)$。
逐一判断选项：
A：两个函数$|a|$不相等，开口大小不同，错误；
B：两个函数开口方向一个向下、一个向上，不相同，错误；
C：两个函数对称轴均为y轴，相同，正确；
D：两个函数顶点坐标分别为$(0,0)$和$(0,3)$，不相同，错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数开口性质
2.二次函数对称轴
3.二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基础图象性质，解题核心是明确参数$a$、$k$分别对应的图象特征，属于基础考点，熟练记忆相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4.「2025上海中考」抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位所得的抛物线解析式为
$y=3x^2-2$
。答案
4.答案 $y=3x^2-2$
解析 抛物线平移的规律是“上加下减常数项”,$\therefore$ 抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位所得的抛物线解析式为$y=3x^2-2$.
解析 抛物线平移的规律是“上加下减常数项”,$\therefore$ 抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位所得的抛物线解析式为$y=3x^2-2$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二次函数图象上下平移的变化规律：上下平移只会改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就给常数项加几；向下平移几个单位，就给常数项减几。本题是向下平移2个单位，因此直接在原解析式的基础上减去2即可得到平移后的解析式。
【解析】
根据二次函数图象平移“上加下减常数项”的规律，抛物线向下平移2个单位，需在原解析式的基础上减去2。
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$，向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为：
$y=3x^2-2$
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数上下平移的规律，熟练掌握平移规则即可快速得出答案，是二次函数章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确二次函数图象上下平移的变化规律：上下平移只会改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就给常数项加几；向下平移几个单位，就给常数项减几。本题是向下平移2个单位，因此直接在原解析式的基础上减去2即可得到平移后的解析式。
【解析】
根据二次函数图象平移“上加下减常数项”的规律，抛物线向下平移2个单位，需在原解析式的基础上减去2。
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$，向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为：
$y=3x^2-2$
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数上下平移的规律，熟练掌握平移规则即可快速得出答案，是二次函数章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.9
5.「2026浙江台州玉环期中」已知点$(-2,y_{1})$,$(3,y_{2})$在抛物线$y=-3x^{2}+k$上,则$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$.(填“＞”或“＜”)
答案
5.答案 ＞
解析 因为抛物线$y=-3x^2+k$的开口向下,对称轴为y轴,所以抛物线上的点离对称轴越远,其纵坐标越小.因为$0-(-2)=2,3-0=3$,且2＜3,所以$y_1＞y_2$.
解析 因为抛物线$y=-3x^2+k$的开口向下,对称轴为y轴,所以抛物线上的点离对称轴越远,其纵坐标越小.因为$0-(-2)=2,3-0=3$,且2＜3,所以$y_1＞y_2$.
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，首先分析抛物线$y=-3x^2+k$的基本性质：先由二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，再根据开口方向对应的函数值变化规律：开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小，最后计算两个点到对称轴的距离，即可比较两个函数值的大小。
【解析】
∵ 抛物线$y=-3x^2+k$的二次项系数$a=-3＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），
∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的纵坐标越小。
点$(-2,y_1)$到y轴的距离为$|-2|=2$，点$(3,y_2)$到y轴的距离为$|3|=3$，
∵ $2＜3$，即点$(-2,y_1)$离对称轴更近，
∴ $y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=ax²+k$的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化的关系，通过比较点到对称轴的距离来比较函数值的方法，比代入计算更简便。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$和$y_2$的大小，首先分析抛物线$y=-3x^2+k$的基本性质：先由二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，再根据开口方向对应的函数值变化规律：开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小，最后计算两个点到对称轴的距离，即可比较两个函数值的大小。
【解析】
∵ 抛物线$y=-3x^2+k$的二次项系数$a=-3＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），
∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的纵坐标越小。
点$(-2,y_1)$到y轴的距离为$|-2|=2$，点$(3,y_2)$到y轴的距离为$|3|=3$，
∵ $2＜3$，即点$(-2,y_1)$离对称轴更近，
∴ $y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=ax²+k$的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化的关系，通过比较点到对称轴的距离来比较函数值的方法，比代入计算更简便。
【难度系数】
0.8
6.「2026河北邯郸武安期中，★☆」在同一坐标系中，一次函数$y=mx+n^2$与二次函数$y=x^2+m$的图象可能是（
C
）答案
6.C 由$n^2≥0$可知直线与y轴的交点在原点或y轴正半轴上,由二次函数的二次项系数为1可知抛物线开口向上,故选项A,B不符合题意;
选项C,D中,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,可知m＜0,则直线从左往右呈下降趋势,故选项C符合题意,选项D不符合题意.故选C.
选项C,D中,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,可知m＜0,则直线从左往右呈下降趋势,故选项C符合题意,选项D不符合题意.故选C.
解析
【分析】
这是一道一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，可采用排除法逐步推导：①先从二次函数的固定特征入手，二次函数$y=x^2+m$的二次项系数为1，可直接判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；②再分析一次函数的固定特征，一次函数$y=mx+n^2$中$n^2≥0$，可判断一次函数与y轴交点的位置，再次排除错误选项；③最后验证剩余选项中两个函数共有的参数m的取值是否一致，参数取值无矛盾的即为正确选项。
【解析】
1. 分析二次函数开口方向：二次函数$y=x^2+m$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，不符合特征，排除B；
2. 分析一次函数与y轴的交点：一次函数$y=mx+n^2$中，$n^2≥0$，因此直线与y轴的交点在原点或y轴正半轴上，选项A中直线与y轴交于负半轴，不符合特征，排除A；
3. 验证参数m的一致性：选项C、D中抛物线均与y轴交于负半轴，说明二次函数中$m＜0$，因此一次函数的斜率$m＜0$，直线应从左到右呈下降趋势。选项D中直线上升，说明$m＞0$，与二次函数的m取值矛盾，排除D；选项C的所有特征均符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.一次函数图象性质
【点评】
本题是典型的函数图象共存类基础题，解题核心是利用排除法，结合两类函数的图象特征，验证两个函数中相同参数的取值范围是否一致，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.75
这是一道一次函数与二次函数图象共存的判断类题目，可采用排除法逐步推导：①先从二次函数的固定特征入手，二次函数$y=x^2+m$的二次项系数为1，可直接判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；②再分析一次函数的固定特征，一次函数$y=mx+n^2$中$n^2≥0$，可判断一次函数与y轴交点的位置，再次排除错误选项；③最后验证剩余选项中两个函数共有的参数m的取值是否一致，参数取值无矛盾的即为正确选项。
【解析】
1. 分析二次函数开口方向：二次函数$y=x^2+m$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，不符合特征，排除B；
2. 分析一次函数与y轴的交点：一次函数$y=mx+n^2$中，$n^2≥0$，因此直线与y轴的交点在原点或y轴正半轴上，选项A中直线与y轴交于负半轴，不符合特征，排除A；
3. 验证参数m的一致性：选项C、D中抛物线均与y轴交于负半轴，说明二次函数中$m＜0$，因此一次函数的斜率$m＜0$，直线应从左到右呈下降趋势。选项D中直线上升，说明$m＞0$，与二次函数的m取值矛盾，排除D；选项C的所有特征均符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.一次函数图象性质
【点评】
本题是典型的函数图象共存类基础题，解题核心是利用排除法，结合两类函数的图象特征，验证两个函数中相同参数的取值范围是否一致，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.75
7. 学科特色转化思想「2026 浙江衢州柯城月考，★☆」如图，两条抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$，$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$与分别经过点$(-2,0),(2,0)$且平行于$y$轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（
A.10
B.8
C.6
D.4
B
）A.10
B.8
C.6
D.4
答案
7.B 抛物线$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$可以看作由抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$向下平移2个单位长度得到的,
如图,过抛物线$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$的顶点$(0,-1)$作平行于x轴的直线与抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$围成封闭图形,过点$(0,-3)$作平行于x轴的直线与抛物线$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$围成封闭图形,则这两个封闭图形的面积相等,故所求阴影部分的面积为4×2=8.故选B.
解析
【分析】
首先观察两个抛物线的解析式，二者二次项系数相同，说明形状完全相同，仅上下位置不同，可通过平移得到。阴影部分是夹在x=-2、x=2两条竖直线之间的两条抛物线围成的不规则图形，直接计算面积较复杂，因此考虑用割补法将其转化为规则图形求解：由于两个抛物线是平移得到的，任意x处两条抛物线的竖直距离固定，因此阴影面积可等效为对应矩形的面积。
【解析】
1. 分析抛物线的关系：抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$和$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$的二次项系数相同，因此$y_2$可看作$y_1$向下平移2个单位长度得到的，对任意相同的x，都有$y_1 - y_2 = (-\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{2}x^2-1)=2$，即两条抛物线的竖直间距恒为2。
2. 确定水平范围：两条平行于y轴的直线为x=-2和x=2，二者的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
3. 割补转化求面积：由于竖直间距恒定，可将阴影部分割补为长为4、宽为2的矩形，因此阴影面积$S = 4 × 2 = 8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律、割补法求面积、二次函数图象性质
【点评】
本题考查转化思想在二次函数面积问题中的应用，解题关键是发现两条抛物线形状相同、竖直间距恒定，从而将不规则的阴影面积转化为易计算的矩形面积，是二次函数图象性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
首先观察两个抛物线的解析式，二者二次项系数相同，说明形状完全相同，仅上下位置不同，可通过平移得到。阴影部分是夹在x=-2、x=2两条竖直线之间的两条抛物线围成的不规则图形，直接计算面积较复杂，因此考虑用割补法将其转化为规则图形求解：由于两个抛物线是平移得到的，任意x处两条抛物线的竖直距离固定，因此阴影面积可等效为对应矩形的面积。
【解析】
1. 分析抛物线的关系：抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$和$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$的二次项系数相同，因此$y_2$可看作$y_1$向下平移2个单位长度得到的，对任意相同的x，都有$y_1 - y_2 = (-\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{2}x^2-1)=2$，即两条抛物线的竖直间距恒为2。
2. 确定水平范围：两条平行于y轴的直线为x=-2和x=2，二者的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
3. 割补转化求面积：由于竖直间距恒定，可将阴影部分割补为长为4、宽为2的矩形，因此阴影面积$S = 4 × 2 = 8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律、割补法求面积、二次函数图象性质
【点评】
本题考查转化思想在二次函数面积问题中的应用，解题关键是发现两条抛物线形状相同、竖直间距恒定，从而将不规则的阴影面积转化为易计算的矩形面积，是二次函数图象性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
8.「★☆」如图，抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C，点B在y轴上，则ac的值为（
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
B
）A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
答案
8.B 过点A作$AH⊥ x$轴于H(图略),
$\because$ 四边形ABCO是正方形,$\therefore ∠ AOB=45°,\therefore ∠ AOH=45°,\therefore AH=OH$,设$A(m,m)$,则$B(0,2m)$,
$\therefore \begin{cases} m=am^2+c,\\ 2m=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{m},\\ c=2m, \end{cases}$$\therefore ac$的值为-2,故选B.
$\because$ 四边形ABCO是正方形,$\therefore ∠ AOB=45°,\therefore ∠ AOH=45°,\therefore AH=OH$,设$A(m,m)$,则$B(0,2m)$,
$\therefore \begin{cases} m=am^2+c,\\ 2m=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{m},\\ c=2m, \end{cases}$$\therefore ac$的值为-2,故选B.
解析
【分析】
首先观察到抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，和正方形OABC关于y轴对称的特征一致。结合正方形的性质，对角线OB在y轴上，可得$∠ AOB=45°$，因此点A的横、纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，再将点A、B代入抛物线解析式，用参数表示a和c，计算ac时参数会自动消去，即可得到最终结果。
【解析】
过点A作$AH⊥ x$轴于H。
∵ 四边形OABC是正方形，对角线OB在y轴上，
∴ $∠ AOB=45°$，则$∠ AOH=90°-∠ AOB=45°$，
∴ $△ AOH$是等腰直角三角形，即$AH=OH$。
设点A的坐标为$(m,m)$（$m＞0$），则正方形对角线$OB$的长度为$2m$，即点B坐标为$(0,2m)$。
将A、B两点坐标代入抛物线$y=ax^2+c$，可得方程组：
$\begin{cases} m=am^2+c \\ 2m=c \end{cases}$
把$c=2m$代入第一个方程，得$m=am^2+2m$，整理得$am^2=-m$，解得$a=-\frac{1}{m}$（$m≠0$）。
则$ac=-\frac{1}{m}×2m=-2$。
故选：B。
【答案】B
【知识点】
二次函数图象性质；正方形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题核心是利用图形对称性和正方形性质得到点的坐标特征，通过设参代入解析式消去参数求解，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
首先观察到抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，和正方形OABC关于y轴对称的特征一致。结合正方形的性质，对角线OB在y轴上，可得$∠ AOB=45°$，因此点A的横、纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，再将点A、B代入抛物线解析式，用参数表示a和c，计算ac时参数会自动消去，即可得到最终结果。
【解析】
过点A作$AH⊥ x$轴于H。
∵ 四边形OABC是正方形，对角线OB在y轴上，
∴ $∠ AOB=45°$，则$∠ AOH=90°-∠ AOB=45°$，
∴ $△ AOH$是等腰直角三角形，即$AH=OH$。
设点A的坐标为$(m,m)$（$m＞0$），则正方形对角线$OB$的长度为$2m$，即点B坐标为$(0,2m)$。
将A、B两点坐标代入抛物线$y=ax^2+c$，可得方程组：
$\begin{cases} m=am^2+c \\ 2m=c \end{cases}$
把$c=2m$代入第一个方程，得$m=am^2+2m$，整理得$am^2=-m$，解得$a=-\frac{1}{m}$（$m≠0$）。
则$ac=-\frac{1}{m}×2m=-2$。
故选：B。
【答案】B
【知识点】
二次函数图象性质；正方形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题核心是利用图形对称性和正方形性质得到点的坐标特征，通过设参代入解析式消去参数求解，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
9.「2026北京首都师大附中月考，★★」如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)，C是y轴上的点，四边形OABC为矩形，AB=1。若抛物线$y=2x^2+c$与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（
A.$c＞8$或$c＜-1$
B.$-1＜c＜8$
C.$c＞1$或$c＜-8$
D.$-8＜c＜1$
D
）A.$c＞8$或$c＜-1$
B.$-1＜c＜8$
C.$c＞1$或$c＜-8$
D.$-8＜c＜1$
答案
9.D 由题意得$C(0,1),A(2,0)$,
当抛物线经过点C时,抛物线与矩形边界只有一个公共点,将$C(0,1)$代入$y=2x^2+c$得$c=1$,
当抛物线经过点A时,抛物线与矩形边界只有一个公共点,将$A(2,0)$代入$y=2x^2+c$得$8+c=0$,解得$c=-8$,
$\therefore$ 当-8＜c＜1时,抛物线与矩形边界总有两个公共点.故选D.
当抛物线经过点C时,抛物线与矩形边界只有一个公共点,将$C(0,1)$代入$y=2x^2+c$得$c=1$,
当抛物线经过点A时,抛物线与矩形边界只有一个公共点,将$A(2,0)$代入$y=2x^2+c$得$8+c=0$,解得$c=-8$,
$\therefore$ 当-8＜c＜1时,抛物线与矩形边界总有两个公共点.故选D.
解析
【分析】
首先根据矩形的性质确定矩形各顶点的坐标：已知A(2,0)，四边形OABC是矩形，AB=1，可得B(2,1)、C(0,1)。抛物线$y=2x^2+c$是开口向上、对称轴为y轴的抛物线，c决定抛物线的上下平移位置，要找到抛物线与矩形边界总有两个公共点的c的范围，只需先求出抛物线刚好只与矩形有1个公共点的两个临界情况：①抛物线经过点C时，②抛物线经过点A时，计算出这两种情况对应的c值，即可得到两个公共点时c的取值范围。
【解析】
由题意可知，点A坐标为(2,0)，四边形OABC为矩形，AB=1，因此点C坐标为(0,1)。
1. 当抛物线经过点C(0,1)时，抛物线与矩形边界只有1个公共点，将$x=0,y=1$代入$y=2x^2+c$，得：
$1=2×0^2 + c$，解得$c=1$；
2. 当抛物线经过点A(2,0)时，抛物线与矩形边界只有1个公共点，将$x=2,y=0$代入$y=2x^2+c$，得：
$0=2×2^2 + c$，即$0=8+c$，解得$c=-8$。
结合抛物线的上下平移规律可知，当$-8 ＜ c ＜ 1$时，抛物线与矩形OABC的边界总有两个公共点。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质，矩形的性质，待定系数法求参数
【点评】
本题考查二次函数与几何图形的交点问题，解题的关键是找到抛物线与矩形仅有一个公共点的临界位置，通过代入临界点坐标求出参数的临界值，再结合图象判断取值范围，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据矩形的性质确定矩形各顶点的坐标：已知A(2,0)，四边形OABC是矩形，AB=1，可得B(2,1)、C(0,1)。抛物线$y=2x^2+c$是开口向上、对称轴为y轴的抛物线，c决定抛物线的上下平移位置，要找到抛物线与矩形边界总有两个公共点的c的范围，只需先求出抛物线刚好只与矩形有1个公共点的两个临界情况：①抛物线经过点C时，②抛物线经过点A时，计算出这两种情况对应的c值，即可得到两个公共点时c的取值范围。
【解析】
由题意可知，点A坐标为(2,0)，四边形OABC为矩形，AB=1，因此点C坐标为(0,1)。
1. 当抛物线经过点C(0,1)时，抛物线与矩形边界只有1个公共点，将$x=0,y=1$代入$y=2x^2+c$，得：
$1=2×0^2 + c$，解得$c=1$；
2. 当抛物线经过点A(2,0)时，抛物线与矩形边界只有1个公共点，将$x=2,y=0$代入$y=2x^2+c$，得：
$0=2×2^2 + c$，即$0=8+c$，解得$c=-8$。
结合抛物线的上下平移规律可知，当$-8 ＜ c ＜ 1$时，抛物线与矩形OABC的边界总有两个公共点。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质，矩形的性质，待定系数法求参数
【点评】
本题考查二次函数与几何图形的交点问题，解题的关键是找到抛物线与矩形仅有一个公共点的临界位置，通过代入临界点坐标求出参数的临界值，再结合图象判断取值范围，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
10.「2026吉林四平期中，★☆」如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+5$与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$于点B，C，则BC的长为
10
。答案
10.答案 10
解析 将x=0代入$y=ax^2+5$,得y=5,故$A(0,5)$,则直线BC为y=5,
$\because$ 直线y=5交抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$于点B,C,
当y=5时,$5=\frac{1}{5}x^2$,解得$x=\pm5$,
$\therefore B(-5,5),C(5,5),\therefore BC=10$.
解析 将x=0代入$y=ax^2+5$,得y=5,故$A(0,5)$,则直线BC为y=5,
$\because$ 直线y=5交抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$于点B,C,
当y=5时,$5=\frac{1}{5}x^2$,解得$x=\pm5$,
$\therefore B(-5,5),C(5,5),\therefore BC=10$.
解析
【分析】
解题时首先要确定点A的坐标：点A是抛物线$y=ax^2+5$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入抛物线解析式即可求出A点纵坐标，进而得到过A且平行于x轴的直线BC的解析式；接下来将直线BC的解析式与抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$联立，求出B、C两点的横坐标，最后根据平行于x轴的直线上两点的距离等于横坐标差的绝对值，就能求出BC的长度。
【解析】
1. 求点A的坐标：将$x=0$代入$y=ax^2+5$，得$y=5$，因此$A(0,5)$。
2. 确定直线BC的解析式：因为BC过点A且与x轴平行，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，所以直线BC的解析式为$y=5$。
3. 求B、C两点的坐标：将$y=5$代入$y=\frac{1}{5}x^2$，可得$5=\frac{1}{5}x^2$，解得$x^2=25$，即$x=\pm5$，因此$B(-5,5)$，$C(5,5)$。
4. 计算BC的长度：B、C两点纵坐标相同，两点距离为横坐标之差的绝对值，即$BC=|5-(-5)|=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的坐标特征，平行于x轴直线的性质，两点距离计算
【点评】
本题属于二次函数基础考题，解题核心是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等确定直线BC的解析式，再结合二次函数解析式求解交点坐标，整体解题思路清晰，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要确定点A的坐标：点A是抛物线$y=ax^2+5$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入抛物线解析式即可求出A点纵坐标，进而得到过A且平行于x轴的直线BC的解析式；接下来将直线BC的解析式与抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$联立，求出B、C两点的横坐标，最后根据平行于x轴的直线上两点的距离等于横坐标差的绝对值，就能求出BC的长度。
【解析】
1. 求点A的坐标：将$x=0$代入$y=ax^2+5$，得$y=5$，因此$A(0,5)$。
2. 确定直线BC的解析式：因为BC过点A且与x轴平行，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，所以直线BC的解析式为$y=5$。
3. 求B、C两点的坐标：将$y=5$代入$y=\frac{1}{5}x^2$，可得$5=\frac{1}{5}x^2$，解得$x^2=25$，即$x=\pm5$，因此$B(-5,5)$，$C(5,5)$。
4. 计算BC的长度：B、C两点纵坐标相同，两点距离为横坐标之差的绝对值，即$BC=|5-(-5)|=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的坐标特征，平行于x轴直线的性质，两点距离计算
【点评】
本题属于二次函数基础考题，解题核心是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等确定直线BC的解析式，再结合二次函数解析式求解交点坐标，整体解题思路清晰，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
