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1 实数$\sqrt{9}$的平方根是(
A.$\pm 3$
B.$\pm \sqrt{3}$
C.$-3$
D.$3$
B
)。A.$\pm 3$
B.$\pm \sqrt{3}$
C.$-3$
D.$3$
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确题干的要求是求$\sqrt{9}$的平方根，而非9的平方根，不能直接对9求平方根。解题分为两步走：第一步先计算出$\sqrt{9}$的结果，第二步再根据平方根的定义求该结果的平方根，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免混淆概念出错。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{9}$：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
2. 再求3的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，即$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的计算；平方根的定义
【点评】
本题是基础易错题，很多同学会忽略先化简$\sqrt{9}$这一步，直接求9的平方根错选A。解题时要先明确运算顺序，先化简算术平方根，再求最终结果的平方根，学习中要注意区分平方根和算术平方根的概念，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确题干的要求是求$\sqrt{9}$的平方根，而非9的平方根，不能直接对9求平方根。解题分为两步走：第一步先计算出$\sqrt{9}$的结果，第二步再根据平方根的定义求该结果的平方根，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免混淆概念出错。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{9}$：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
2. 再求3的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，即$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的计算；平方根的定义
【点评】
本题是基础易错题，很多同学会忽略先化简$\sqrt{9}$这一步，直接求9的平方根错选A。解题时要先明确运算顺序，先化简算术平方根，再求最终结果的平方根，学习中要注意区分平方根和算术平方根的概念，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
② 若一个正数的平方根分别是$2m - 2$与$m - 4$，则$m$为（
B.1
C.2
C
）。B.1
C.2
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。我们可以利用这个性质，将题目给出的两个平方根相加等于0，列出关于m的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算，就能求出m的取值。
【解析】
解：根据正数的平方根性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列方程：
$2m - 2 + m - 4 = 0$
合并同类项，得：$3m - 6 = 0$
移项，得：$3m = 6$
系数化为1，得：$m = 2$
【答案】C
【知识点】平方根的性质；解一元一次方程
【点评】本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，结合一元一次方程的解法就能快速得出结果。
【难度系数】0.8
解决本题首先需要回忆正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。我们可以利用这个性质，将题目给出的两个平方根相加等于0，列出关于m的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算，就能求出m的取值。
【解析】
解：根据正数的平方根性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列方程：
$2m - 2 + m - 4 = 0$
合并同类项，得：$3m - 6 = 0$
移项，得：$3m = 6$
系数化为1，得：$m = 2$
【答案】C
【知识点】平方根的性质；解一元一次方程
【点评】本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，结合一元一次方程的解法就能快速得出结果。
【难度系数】0.8
3 下列说法中，正确的是(
A.7是49的算术平方根，即$\sqrt{49}=±7$
B.7是$(-7)^2$的算术平方根，即$\sqrt{(-7)^2}=7$
C.±7是49的平方根，即$±\sqrt{49}=7$
D.±7是49的平方根，即$\sqrt{49}=±7$
B
)。A.7是49的算术平方根，即$\sqrt{49}=±7$
B.7是$(-7)^2$的算术平方根，即$\sqrt{(-7)^2}=7$
C.±7是49的平方根，即$±\sqrt{49}=7$
D.±7是49的平方根，即$\sqrt{49}=±7$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的核心概念：①若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数；②其中正的平方根叫做$a$的算术平方根，算术平方根只有一个非负结果，符号$\sqrt{a}$就表示$a$的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才表示$a$的平方根。接下来我们就可以用这两个概念逐一判断每个选项的正误。
【解析】
我们根据平方根和算术平方根的定义逐个分析选项：
1. 分析A选项：7确实是49的算术平方根，但$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，结果只能是7，不能是$\pm7$，所以A错误。
2. 分析B选项：$(-7)^2=49$，7是49的算术平方根，因此$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$，表述完全正确。
3. 分析C选项：±7是49的平方根没错，但$\pm\sqrt{49}$表示49的平方根，结果应该是$\pm7$，不是7，所以C错误。
4. 分析D选项：±7是49的平方根没错，但$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，结果只能是7，不是$\pm7$，所以D错误。
综上，只有B选项的表述正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 算术平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的基础易错题，核心考查对平方根和算术平方根的概念区分，解题的关键是牢记$\sqrt{a}$仅表示非负的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才表示正负两个平方根，避免混淆两种符号的含义。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根和算术平方根的核心概念：①若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数；②其中正的平方根叫做$a$的算术平方根，算术平方根只有一个非负结果，符号$\sqrt{a}$就表示$a$的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才表示$a$的平方根。接下来我们就可以用这两个概念逐一判断每个选项的正误。
【解析】
我们根据平方根和算术平方根的定义逐个分析选项：
1. 分析A选项：7确实是49的算术平方根，但$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，结果只能是7，不能是$\pm7$，所以A错误。
2. 分析B选项：$(-7)^2=49$，7是49的算术平方根，因此$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$，表述完全正确。
3. 分析C选项：±7是49的平方根没错，但$\pm\sqrt{49}$表示49的平方根，结果应该是$\pm7$，不是7，所以C错误。
4. 分析D选项：±7是49的平方根没错，但$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，结果只能是7，不是$\pm7$，所以D错误。
综上，只有B选项的表述正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 算术平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的基础易错题，核心考查对平方根和算术平方根的概念区分，解题的关键是牢记$\sqrt{a}$仅表示非负的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才表示正负两个平方根，避免混淆两种符号的含义。
【难度系数】
0.8
4 若$8x^m y$与$6x^3 y^n$的和是单项式，则$(m+n)^3$的平方根是
±8
。答案
4.±8
解析
【分析】
要解这道题，首先明确两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项。我们首先根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，求出m和n的值，再代入计算$(m+n)^3$的结果，最后根据平方根的定义求出该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $8x^m y$与$6x^3 y^n$的和是单项式
∴ 两个单项式是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m=3$，$n=1$
∴ $m+n=3+1=4$
∴ $(m+n)^3=4^3=64$
∵ $(±8)^2=64$
∴ 64的平方根是$±8$，即$(m+n)^3$的平方根是$±8$。
【答案】
±8
【知识点】
同类项的定义，有理数的乘方，平方根的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先根据和为单项式判断出两个式子为同类项，易错点是求平方根时容易只写正的结果，忽略平方根有正负两个解。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先明确两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项。我们首先根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，求出m和n的值，再代入计算$(m+n)^3$的结果，最后根据平方根的定义求出该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $8x^m y$与$6x^3 y^n$的和是单项式
∴ 两个单项式是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m=3$，$n=1$
∴ $m+n=3+1=4$
∴ $(m+n)^3=4^3=64$
∵ $(±8)^2=64$
∴ 64的平方根是$±8$，即$(m+n)^3$的平方根是$±8$。
【答案】
±8
【知识点】
同类项的定义，有理数的乘方，平方根的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先根据和为单项式判断出两个式子为同类项，易错点是求平方根时容易只写正的结果，忽略平方根有正负两个解。
【难度系数】
0.7
5 若$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+1$，则$xy=$
$\frac{1}{2}$
。答案
5.$\frac{1}{2}$
[提示:由题意得 2x-1≥0且1-2x≥0,所以2x-1=0,解得$x=\frac{1}{2}$。所以$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+1=1$,所以$xy=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。]
[提示:由题意得 2x-1≥0且1-2x≥0,所以2x-1=0,解得$x=\frac{1}{2}$。所以$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+1=1$,所以$xy=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。]
解析
【分析】
要计算xy的值，需先求出x和y的取值。观察y的表达式，其中含有二次根式，根据二次根式的性质，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此可先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，最后计算xy即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得：
$\begin{cases}2x-1≥0 \\1-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{2}$；
解不等式$1-2x≥0$，得$x≤\frac{1}{2}$；
因此x的取值只能为$\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+1$中，得：
$y=\sqrt{2×\frac{1}{2}-1}+\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}+1=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
所以$xy=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数的性质，当两个互为相反数的数同时作为二次根式的被开方数时，二者只能均为0，据此可快速求出未知数的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算xy的值，需先求出x和y的取值。观察y的表达式，其中含有二次根式，根据二次根式的性质，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此可先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，最后计算xy即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得：
$\begin{cases}2x-1≥0 \\1-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{2}$；
解不等式$1-2x≥0$，得$x≤\frac{1}{2}$；
因此x的取值只能为$\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+1$中，得：
$y=\sqrt{2×\frac{1}{2}-1}+\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}+1=\sqrt{0}+\sqrt{0}+1=1$
所以$xy=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数的性质，当两个互为相反数的数同时作为二次根式的被开方数时，二者只能均为0，据此可快速求出未知数的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
⑥ 若$\sqrt{a+1}+(b-2)^2=0$，则$a+b=$
1
。答案
6.1
解析
【分析】
解题时先观察式子特征，算术平方根和完全平方数都属于非负数（即取值≥0），根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数必须同时为0，据此可分别列等式求出a、b的取值，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a+1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，且$\sqrt{a+1}+(b-2)^2=0$
∴ 只有$\sqrt{a+1}=0$且$(b-2)^2=0$时等式成立
即 $\begin{cases}a+1=0\\b-2=0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
代入得 $a+b=-1+2=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是基础类考题，重点考查非负数的运算性质，解题的关键是牢记算术平方根、偶次幂的非负性，熟练运用“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规则求解未知量。
【难度系数】
0.9
解题时先观察式子特征，算术平方根和完全平方数都属于非负数（即取值≥0），根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数必须同时为0，据此可分别列等式求出a、b的取值，再代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a+1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，且$\sqrt{a+1}+(b-2)^2=0$
∴ 只有$\sqrt{a+1}=0$且$(b-2)^2=0$时等式成立
即 $\begin{cases}a+1=0\\b-2=0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
代入得 $a+b=-1+2=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是基础类考题，重点考查非负数的运算性质，解题的关键是牢记算术平方根、偶次幂的非负性，熟练运用“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规则求解未知量。
【难度系数】
0.9
7 若$x$、$y$为有理数，且$(x - 3)^2$与$\sqrt{3y - 12}$互为相反数，则$x^2 + y^2$的平方根为
±5
。答案
7.±5
解析
【分析】
解题时首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，列出等式；再结合平方数、算术平方根的非负性（两者的取值都大于等于0），可推出两个非负数各自为0，进而求出x、y的值；最后代入计算$x^2+y^2$的值，再根据平方根的定义求出结果即可，注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：
∵$(x - 3)^2$与$\sqrt{3y - 12}$互为相反数
∴$(x - 3)^2 + \sqrt{3y - 12} = 0$
又
∵$(x - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{3y - 12} ≥ 0$
∴只有当$(x - 3)^2 = 0$且$\sqrt{3y - 12} = 0$时，等式成立
即$\begin{cases}x - 3 = 0 \\ 3y - 12 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 4\end{cases}$
将$x=3$，$y=4$代入得：$x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
∵$(\pm5)^2 = 25$
∴25的平方根为$\pm5$，即$x^2 + y^2$的平方根为$\pm5$。
【答案】
±5
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，同时要注意区分平方根与算术平方根的概念，求平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，列出等式；再结合平方数、算术平方根的非负性（两者的取值都大于等于0），可推出两个非负数各自为0，进而求出x、y的值；最后代入计算$x^2+y^2$的值，再根据平方根的定义求出结果即可，注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
解：
∵$(x - 3)^2$与$\sqrt{3y - 12}$互为相反数
∴$(x - 3)^2 + \sqrt{3y - 12} = 0$
又
∵$(x - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{3y - 12} ≥ 0$
∴只有当$(x - 3)^2 = 0$且$\sqrt{3y - 12} = 0$时，等式成立
即$\begin{cases}x - 3 = 0 \\ 3y - 12 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 4\end{cases}$
将$x=3$，$y=4$代入得：$x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
∵$(\pm5)^2 = 25$
∴25的平方根为$\pm5$，即$x^2 + y^2$的平方根为$\pm5$。
【答案】
±5
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，同时要注意区分平方根与算术平方根的概念，求平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
⑧ 如果$\sqrt{11664}=108$，$\sqrt{x}=1.08$，那么$x=$
1.1664
。答案
8.1.1664
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：1. 利用算术平方根定义：若√x=a，则x=a²，我们可以把1.08和已知的108建立关联，1.08是108缩小到原来的1/100，平方后结合已知的108²=11664即可计算x；2. 利用算术平方根小数点移动规律：算术平方根的小数点每向左/右移动1位，对应被开方数的小数点就向左/右移动2位，本题中108变为1.08，小数点左移2位，因此被开方数11664的小数点要左移4位，即可得到x的值。
【解析】
解：
∵$\sqrt{11664}=108$
∴$108^2=11664$
又
∵$\sqrt{x}=1.08$
∴$x=1.08^2$
$=(108×\frac{1}{100})^2$
$=108^2×(\frac{1}{100})^2$
$=11664×\frac{1}{10000}$
$=1.1664$
【答案】
1.1664
【知识点】
算术平方根的定义、小数点移动规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查算术平方根与被开方数的对应关系，解题时可通过转化已知条件结合平方运算求解，只要注意小数点移动的位数就不易出错。
【难度系数】
0.8
解题可从两种思路入手：1. 利用算术平方根定义：若√x=a，则x=a²，我们可以把1.08和已知的108建立关联，1.08是108缩小到原来的1/100，平方后结合已知的108²=11664即可计算x；2. 利用算术平方根小数点移动规律：算术平方根的小数点每向左/右移动1位，对应被开方数的小数点就向左/右移动2位，本题中108变为1.08，小数点左移2位，因此被开方数11664的小数点要左移4位，即可得到x的值。
【解析】
解：
∵$\sqrt{11664}=108$
∴$108^2=11664$
又
∵$\sqrt{x}=1.08$
∴$x=1.08^2$
$=(108×\frac{1}{100})^2$
$=108^2×(\frac{1}{100})^2$
$=11664×\frac{1}{10000}$
$=1.1664$
【答案】
1.1664
【知识点】
算术平方根的定义、小数点移动规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查算术平方根与被开方数的对应关系，解题时可通过转化已知条件结合平方运算求解，只要注意小数点移动的位数就不易出错。
【难度系数】
0.8
9 若$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{20} \approx 4.472$，则$\sqrt{2000} \approx$
44.72
。答案
9.44.72
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法性质：非负数的算术平方根的乘积等于乘积的算术平方根。观察待求式$\sqrt{2000}$的被开方数2000，可拆分为已知近似值的$\sqrt{20}$的被开方数20与完全平方数100的乘积，这样就可以利用已知条件快速计算，无需重复开方。具体步骤为：先拆分被开方数，再利用二次根式性质拆分计算，最后代入已知近似值求解。
【解析】
根据二次根式的乘法性质：当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，可得：
$\sqrt{2000}=\sqrt{20×100}=\sqrt{20}×\sqrt{100}$
因为$\sqrt{100}=10$，且已知$\sqrt{20}\approx4.472$，代入得：
$\sqrt{2000}\approx4.472×10=44.72$
【答案】
44.72
【知识点】
1. 二次根式的乘法性质
2. 算术平方根的运算
【点评】
本题侧重考查二次根式性质的灵活运用，解题核心是将待求被开方数拆分为已知近似值的被开方数和完全平方数的乘积，降低计算难度，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的乘法性质：非负数的算术平方根的乘积等于乘积的算术平方根。观察待求式$\sqrt{2000}$的被开方数2000，可拆分为已知近似值的$\sqrt{20}$的被开方数20与完全平方数100的乘积，这样就可以利用已知条件快速计算，无需重复开方。具体步骤为：先拆分被开方数，再利用二次根式性质拆分计算，最后代入已知近似值求解。
【解析】
根据二次根式的乘法性质：当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，可得：
$\sqrt{2000}=\sqrt{20×100}=\sqrt{20}×\sqrt{100}$
因为$\sqrt{100}=10$，且已知$\sqrt{20}\approx4.472$，代入得：
$\sqrt{2000}\approx4.472×10=44.72$
【答案】
44.72
【知识点】
1. 二次根式的乘法性质
2. 算术平方根的运算
【点评】
本题侧重考查二次根式性质的灵活运用，解题核心是将待求被开方数拆分为已知近似值的被开方数和完全平方数的乘积，降低计算难度，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
10 设$a$、$h$为正数，已知$(a+\frac{h}{2a})^2=a^2+h+(\frac{h}{2a})^2$，当$\frac{h}{a}$很小（此处约定$\frac{h}{a}＜0.1$）时，$(\frac{h}{2a})^2\approx0$，所以$(a+\frac{h}{2a})^2\approx a^2+h$，于是$\sqrt{a^2+h}\approx a+\frac{h}{2a}$（※）。利用公式（※）可求某些数的平方根的近似值。例如：$\sqrt{10005}=\sqrt{100^2+5}\approx100+\frac{5}{2×100}=100.025$。$\sqrt{14406}$的近似值为
120.025
。答案
10.120.025
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要理解题目给出的平方根近似公式的使用规则：先把待求平方根的数拆成$a^2+h$的形式，其中$a$是正数，且满足$\frac{h}{a}＜0.1$，再代入公式$\sqrt{a^2+h}\approx a+\frac{h}{2a}$计算即可。第一步先找最接近14406的完全平方数，确定$a$的取值，再计算差值得到$h$，验证近似条件成立后代入公式计算。
【解析】
1. 拆分被开方数：计算可得$120^2=14400$，因此$14406=120^2+6$，对应公式中$a=120$，$h=6$。
2. 验证近似条件：$\frac{h}{a}=\frac{6}{120}=0.05＜0.1$，满足近似要求，可以使用公式计算。
3. 代入公式计算：
$\sqrt{14406}\approx 120+\frac{6}{2×120}=120+\frac{6}{240}=120+0.025=120.025$
【答案】
120.025
【知识点】
平方根近似计算，完全平方数，代数式求值
【点评】
本题是信息应用型题目，核心是准确提取题目给出的近似计算规则，找准对应参数$a$和$h$的取值，计算难度低，注意使用公式前要先验证近似条件，避免错用规则。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要理解题目给出的平方根近似公式的使用规则：先把待求平方根的数拆成$a^2+h$的形式，其中$a$是正数，且满足$\frac{h}{a}＜0.1$，再代入公式$\sqrt{a^2+h}\approx a+\frac{h}{2a}$计算即可。第一步先找最接近14406的完全平方数，确定$a$的取值，再计算差值得到$h$，验证近似条件成立后代入公式计算。
【解析】
1. 拆分被开方数：计算可得$120^2=14400$，因此$14406=120^2+6$，对应公式中$a=120$，$h=6$。
2. 验证近似条件：$\frac{h}{a}=\frac{6}{120}=0.05＜0.1$，满足近似要求，可以使用公式计算。
3. 代入公式计算：
$\sqrt{14406}\approx 120+\frac{6}{2×120}=120+\frac{6}{240}=120+0.025=120.025$
【答案】
120.025
【知识点】
平方根近似计算，完全平方数，代数式求值
【点评】
本题是信息应用型题目，核心是准确提取题目给出的近似计算规则，找准对应参数$a$和$h$的取值，计算难度低，注意使用公式前要先验证近似条件，避免错用规则。
【难度系数】
0.85
11 某数的平方根为$\frac{a}{3}$和$\frac{2a - 9}{3}$。
（1）求$a$的值；
（2）求这个数的算术平方根。
（1）求$a$的值；
（2）求这个数的算术平方根。
答案
11.(1) $a=3$ (2) 1
解析
【分析】
解题首先回忆平方根的核心性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。第（1）问可利用该性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值；第（2）问将求得的a值代入其中一个正的平方根，就能直接得到这个数的算术平方根，也可以先求出原数再计算它的算术平方根。
【解析】
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$\frac{a}{3} + \frac{2a - 9}{3} = 0$
方程两边同时乘3消去分母：
$a + 2a - 9 = 0$
合并同类项得：
$3a = 9$
系数化为1得：
$a = 3$
（2）把$a=3$代入$\frac{a}{3}$得：$\frac{3}{3}=1$
因为正数的正平方根就是它的算术平方根，因此这个数的算术平方根是1。
【答案】
（1）$a=3$；（2）1
【知识点】
平方根的性质、算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平方根的相关性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一结论，熟练掌握平方根、算术平方根的概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆平方根的核心性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。第（1）问可利用该性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值；第（2）问将求得的a值代入其中一个正的平方根，就能直接得到这个数的算术平方根，也可以先求出原数再计算它的算术平方根。
【解析】
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$\frac{a}{3} + \frac{2a - 9}{3} = 0$
方程两边同时乘3消去分母：
$a + 2a - 9 = 0$
合并同类项得：
$3a = 9$
系数化为1得：
$a = 3$
（2）把$a=3$代入$\frac{a}{3}$得：$\frac{3}{3}=1$
因为正数的正平方根就是它的算术平方根，因此这个数的算术平方根是1。
【答案】
（1）$a=3$；（2）1
【知识点】
平方根的性质、算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平方根的相关性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一结论，熟练掌握平方根、算术平方根的概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
