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⑫ 如果$m+5$的平方根是$\pm 3$，$n-2$的平方根是$\pm 5$，求$m+n$的值。
答案
12.31
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平方根的定义：若一个数的平方根是±a，那么这个数等于a的平方。我们可以先利用这个性质分别列出关于m、n的等式，求解得到m和n的数值后，再代入计算m+n的和即可。
【解析】
解：
∵ $m+5$的平方根是$\pm 3$
根据平方根的定义可得：
$m+5=(\pm 3)^2=9$
解得：$m=9-5=4$
又
∵ $n-2$的平方根是$\pm 5$
同理可得：
$n-2=(\pm 5)^2=25$
解得：$n=25+2=27$
∴ $m+n=4+27=31$
【答案】
31
【知识点】
平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根定义的应用，解题核心是理解平方根和原数的运算关系，计算难度低，掌握基础定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆平方根的定义：若一个数的平方根是±a，那么这个数等于a的平方。我们可以先利用这个性质分别列出关于m、n的等式，求解得到m和n的数值后，再代入计算m+n的和即可。
【解析】
解：
∵ $m+5$的平方根是$\pm 3$
根据平方根的定义可得：
$m+5=(\pm 3)^2=9$
解得：$m=9-5=4$
又
∵ $n-2$的平方根是$\pm 5$
同理可得：
$n-2=(\pm 5)^2=25$
解得：$n=25+2=27$
∴ $m+n=4+27=31$
【答案】
31
【知识点】
平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根定义的应用，解题核心是理解平方根和原数的运算关系，计算难度低，掌握基础定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
13 已知 $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+(\frac{1}{2})^{-2}$，求 $(\frac{x-y}{x+y})^2$ 的值。
答案
13.$\frac{1}{49}$
解析
【分析】
要计算目标代数式的值，首先需要确定x、y的取值。根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此可以先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入目标代数式计算即可。
【解析】
要使$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式组得$x≥3$且$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+(\frac{1}{2})^{-2}$：
$\sqrt{3-3}=0$，$\sqrt{3-3}=0$，$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，因此$y=0+0+4=4$。
将$x=3$，$y=4$代入$(\frac{x-y}{x+y})^2$：
原式$=(\frac{3-4}{3+4})^2=(\frac{-1}{7})^2=\frac{1}{49}$。
【答案】
$\frac{1}{49}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；负整数指数幂运算；代数式求值
【点评】
本题核心是利用二次根式的隐含条件（被开方数非负）确定未知量的取值，是二次根式性质的常见应用题型，解题时需先确定未知量取值再代入计算，避免直接代入出现错误。
【难度系数】
0.8
要计算目标代数式的值，首先需要确定x、y的取值。根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此可以先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入目标代数式计算即可。
【解析】
要使$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式组得$x≥3$且$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+(\frac{1}{2})^{-2}$：
$\sqrt{3-3}=0$，$\sqrt{3-3}=0$，$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，因此$y=0+0+4=4$。
将$x=3$，$y=4$代入$(\frac{x-y}{x+y})^2$：
原式$=(\frac{3-4}{3+4})^2=(\frac{-1}{7})^2=\frac{1}{49}$。
【答案】
$\frac{1}{49}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；负整数指数幂运算；代数式求值
【点评】
本题核心是利用二次根式的隐含条件（被开方数非负）确定未知量的取值，是二次根式性质的常见应用题型，解题时需先确定未知量取值再代入计算，避免直接代入出现错误。
【难度系数】
0.8
14 已知正数 $ x $ 的两个平方根为 $ a $ 和 $ a+b $。
（1）当 $ b=6 $ 时，$ x $ 的值为
（2）若 $ a^2 x + (a+b)^2 x = 8 $，求 $ x $ 的值。
（1）当 $ b=6 $ 时，$ x $ 的值为
9
；（2）若 $ a^2 x + (a+b)^2 x = 8 $，求 $ x $ 的值。
答案
14.(1) 9
(2) 因为正实数$x$的平方根是$a$和$a+b$,所以$(a+b)^2=x$,$a^2=x$。因为$a^2x +(a+b)^2x=8$,所以$x^2+x^2=8$,所以$x^2=4$。因为正实数$x＞0$,所以$x=2$。
(2) 因为正实数$x$的平方根是$a$和$a+b$,所以$(a+b)^2=x$,$a^2=x$。因为$a^2x +(a+b)^2x=8$,所以$x^2+x^2=8$,所以$x^2=4$。因为正实数$x＞0$,所以$x=2$。
解析
【分析】
本题考查平方根性质的应用，解题思路如下：
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可推出两个平方根之和为0，代入b=6即可求出a的值，再根据“平方根的平方等于原数”计算x即可；
（2）根据平方根的性质可知a²和(a+b)²的值都等于x，将其代入已知等式得到关于x的方程，结合x是正数的条件求解即可。
【解析】
（1）
∵正数的两个平方根互为相反数
∴$a + (a+b) = 0$，即$2a + b = 0$
当$b=6$时，代入得$2a + 6 = 0$，解得$a=-3$
∴$x = a^2 = (-3)^2 = 9$
（2）
∵正数$x$的平方根是$a$和$a+b$
∴$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$
将$a^2 = x$、$(a+b)^2 = x$代入$a^2 x + (a+b)^2 x = 8$，得：
$x· x + x· x = 8$
即$2x^2 = 8$，化简得$x^2=4$
∵$x$是正数，即$x＞0$
∴$x=2$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
平方根的性质；解方程；乘方运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方根的基本性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数、平方根的平方等于原数这两个核心结论，通过代入法即可快速求解，计算量较小。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根性质的应用，解题思路如下：
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可推出两个平方根之和为0，代入b=6即可求出a的值，再根据“平方根的平方等于原数”计算x即可；
（2）根据平方根的性质可知a²和(a+b)²的值都等于x，将其代入已知等式得到关于x的方程，结合x是正数的条件求解即可。
【解析】
（1）
∵正数的两个平方根互为相反数
∴$a + (a+b) = 0$，即$2a + b = 0$
当$b=6$时，代入得$2a + 6 = 0$，解得$a=-3$
∴$x = a^2 = (-3)^2 = 9$
（2）
∵正数$x$的平方根是$a$和$a+b$
∴$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$
将$a^2 = x$、$(a+b)^2 = x$代入$a^2 x + (a+b)^2 x = 8$，得：
$x· x + x· x = 8$
即$2x^2 = 8$，化简得$x^2=4$
∵$x$是正数，即$x＞0$
∴$x=2$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
平方根的性质；解方程；乘方运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方根的基本性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数、平方根的平方等于原数这两个核心结论，通过代入法即可快速求解，计算量较小。
【难度系数】
0.8
