1 若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（）。

A.0
B.±1
C.0或±1
D.0或1

1 D

【分析】
解题时首先要分别回忆算术平方根和立方根的定义与性质，首先明确算术平方根的非负性：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根的结果也为非负数，因此可以先排除包含负数的选项；再逐一验证剩余非负数的算术平方根与立方根是否相等，即可得出正确结果。
【解析】
1. 先根据算术平方根的性质筛选：只有非负数才有算术平方根，负数不存在算术平方根，因此-1不符合要求，排除包含-1的B、C选项。
2. 验证剩余数字：
0的算术平方根是$\sqrt{0}=0$，0的立方根是$\sqrt[3]{0}=0$，二者相等，符合要求；
1的算术平方根是$\sqrt{1}=1$，1的立方根是$\sqrt[3]{1}=1$，二者相等，符合要求。
因此满足条件的数是0或1，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心易错点是容易忽略算术平方根的非负性，误将-1计入符合条件的数，只要牢牢掌握两类开方运算的定义和限制条件就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

② $(-\sqrt{9})^2$ 的平方根是 $x$，64 的立方根是 $y$，则 $x+y$ 的值为（）。

A.3
B.7
C.3或7
D.1或7

2 D

【分析】
解题时需分步求出x、y的值再计算x+y：首先先计算$(-\sqrt{9})^2$的结果，再根据平方根的定义得到x的两个取值；随后根据立方根的定义求出唯一的y值；最后将x的两个取值分别与y相加，即可得到x+y的所有可能结果，匹配对应选项。
【解析】
第一步：求x的值
先计算$(-\sqrt{9})^2$：$\sqrt{9}=3$，因此$(-\sqrt{9})^2=(-3)^2=9$。
根据平方根的定义：正数有两个互为相反数的平方根，因此9的平方根为$\pm3$，即$x=3$或$x=-3$。
第二步：求y的值
根据立方根的定义：若$a^3=b$，则a是b的立方根，因为$4^3=64$，因此64的立方根为4，即$y=4$。
第三步：计算x+y的值
当$x=3$时，$x+y=3+4=7$；
当$x=-3$时，$x+y=-3+4=1$。
因此$x+y$的值为1或7。
【答案】
D
【知识点】
平方根的计算，立方根的计算，实数的运算
【点评】
本题易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，忽略正数的平方根有两个，从而漏算x=-3的情况，解题时要注意区分平方根和立方根的性质，正数的立方根仅有一个，而正数的平方根有两个。
【难度系数】
0.6

3 已知$\sqrt[3]{x-1}=x-1$，则$x^2+x$的值为()。

A.0或1
B.0或2
C.0或6
D.0或2或6

3 D [提示:因为$\sqrt[3]{x-1}=x-1$,所以$x-1=-1$或0或1,所以$x=0$或1或2。]

【分析】
解题时首先回忆立方根的性质：立方根等于其本身的数共有3个，分别为-1、0、1。本题中我们可以将x-1看作一个整体，由已知条件可知x-1的立方根等于它本身，因此x-1的取值只能是上述三个特殊值，分类求解得到x的取值后，再分别代入代数式x²+x计算结果即可，注意不要遗漏-1的情况，避免出现漏解。
【解析】
解：
∵立方根等于本身的数为-1，0，1，且$\sqrt[3]{x-1}=x-1$
∴分三种情况讨论：
①当$x-1=-1$时，解得$x=0$，此时$x^2+x=0^2+0=0$；
②当$x-1=0$时，解得$x=1$，此时$x^2+x=1^2+1=2$；
③当$x-1=1$时，解得$x=2$，此时$x^2+x=2^2+2=6$。
综上，$x^2+x$的值为0或2或6，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质；一元一次方程求解；代数式求值
【点评】
本题核心考查立方根的特殊取值，解题时运用整体思想可以快速找到突破口，需注意区分立方根和平方根等于自身的数的差异，避免因漏记-1这个特殊值导致漏解。
【难度系数】
0.7

4 已知 $ x^2 = 64 $，则 $ \sqrt[3]{x} = $ 。

4 ±2

【分析】
解题时需分两步思考：第一步，根据平方根的定义，已知一个数的平方求这个数，正数的平方根有两个且互为相反数，先求出x的所有可能取值；第二步，根据立方根的性质，分别对x的两个取值求立方根，注意正数的立方根为正，负数的立方根为负，避免漏解。
【解析】
解：$\because x^2=64$
$\therefore x=\pm\sqrt{64}=\pm8$
当$x=8$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{8}=2$
当$x=-8$时，$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-8}=-2$
因此$\sqrt[3]{x}=\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题侧重考查平方根和立方根的性质区别，易错点是只考虑x的正数值，忽略x=-8的情况，解题时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，任意实数都有唯一的、与自身符号相同的立方根。
【难度系数】
0.7

5 如果$\sqrt{a}$的平方根是$\pm 3$，则$\sqrt[3]{a - 17}=$。

5 4

【分析】
解题时先依据平方根的定义推导：若一个数的平方根是±x，那么这个数等于x²。首先根据√a的平方根是±3求出√a的数值，再进一步计算得到a的值，最后把a代入待求式计算立方根即可。
【解析】
1. 已知√a的平方根是±3，根据平方根的定义可得：
$\sqrt{a}=(\pm3)^2=9$
2. 对$\sqrt{a}=9$两边同时平方，求出a的值：
$a=9^2=81$
3. 将$a=81$代入$\sqrt[3]{a-17}$计算：
$a-17=81-17=64$
因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的定义，立方根的计算，算术平方根的概念
【点评】
本题属于平方根与立方根的综合基础题型，易错点是容易混淆√a的平方根和a的平方根，误将a直接当作9计算，解题时需理清层级，先确定√a的数值再求a，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

⑥ 已知$4m + 15$的算术平方根是$3$，$2 - 6n$的立方根是$-2$，则$\sqrt{6n - 4m} =$。
⑦ 若有理数$x$、$y$满足$(2x - 3)^2 + |9 + 4y| = 0$，则$xy$的立方根为。

6 4 [提示:因为4m+15的算术平方根是3,所以4m+15=9,所以4m=-6。因为2-6n的立方根是-2,所以2-6n=-8,所以6n=10,所以$\sqrt{6n-4m}=\sqrt{10+6}=4$。]
7 $-\frac{3}{2}$

【分析】
第⑥题：根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，可先求出4m的值；再根据立方根的定义，立方根的立方等于被开方数，求出6n的值，最后代入待求式计算即可。
第⑦题：平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列方程分别求出x、y的值，再计算xy的立方根即可。
【解析】
⑥ 解：
∵4m + 15的算术平方根是3
∴$4m + 15 = 3^2 = 9$
解得$4m = 9 - 15 = -6$
∵2 - 6n的立方根是-2
∴$2 - 6n = (-2)^3 = -8$
移项得$-6n = -8 - 2 = -10$，即$6n = 10$
将$4m=-6$，$6n=10$代入$\sqrt{6n - 4m}$得：
$\sqrt{6n - 4m} = \sqrt{10 - (-6)} = \sqrt{16} = 4$
⑦ 解：
∵$(2x - 3)^2 ≥ 0$，$|9 + 4y| ≥ 0$，且$(2x - 3)^2 + |9 + 4y| = 0$
∴$\begin{cases}2x - 3 = 0 \\9 + 4y = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x = \frac{3}{2} \\y = -\frac{9}{4} \end{cases}$
∴$xy = \frac{3}{2} × (-\frac{9}{4}) = -\frac{27}{8}$
∴$xy$的立方根为$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$
【答案】
⑥ 4；⑦ $-\frac{3}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，非负数的性质
【点评】
这两道题是根式相关的基础题型，核心考查对基本概念的理解和非负数性质的运用，解题时只要紧扣定义列等式求出未知参数，再代入计算就能得到正确结果，是巩固基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.75

⑧已知$\sqrt[3]{0.237} \approx 0.6188$，$\sqrt[3]{2.37} \approx 1.3333$，$\sqrt[3]{23.7} \approx 2.8724$，则$\sqrt[3]{2370} \approx$ 。

8 13.333

【分析】
解题时先回忆立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就对应向右（或向左）移动1位。接下来观察所求被开方数2370与已知的几个被开方数的关系，可发现2370是将2.37的小数点向右移动3位得到的，因此只需将$\sqrt[3]{2.37}$的结果的小数点向右移动1位，即可得到所求值。
【解析】
首先对2370进行变形：
$2370 = 2.37 × 1000 = 2.37 × 10^3$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$，可得：
$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{2.37× 10^3}=\sqrt[3]{2.37}×\sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{2.37}\approx1.3333$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入计算得：
$\sqrt[3]{2370}\approx1.3333×10=13.333$
【答案】
13.333
【知识点】
立方根的性质，立方根小数点移动规律
【点评】
这道题是立方根规律的基础应用题，解题核心是准确找到所求被开方数与已知被开方数之间的$10^3$倍关系，熟练掌握立方根的小数点移动规律就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

9 已知$x-2$的立方根是$-2$，则$x+31$的算术平方根是。

9 5

【分析】
解题核心是利用立方根与立方运算的互逆关系先求出x的值，再代入计算x+31的结果，最后根据算术平方根的定义得到答案。第一步，根据立方根的定义：若$\sqrt[3]{m}=n$，则$m=n^3$，据此列方程求出x的值；第二步，将求得的x代入$x+31$计算出具体数值；第三步，根据算术平方根是非负平方根的定义，算出最终结果。
【解析】
解：
∵ $x-2$的立方根是$-2$，根据立方根的定义可得：
$x-2=(-2)^3$
计算得$(-2)^3=-8$，即：
$x-2=-8$
解得$x=-6$
将$x=-6$代入$x+31$得：
$x+31=-6+31=25$
∵ 25的算术平方根为$\sqrt{25}=5$
∴ $x+31$的算术平方根是5。
【答案】
5
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是掌握开立方与立方互为逆运算，以及算术平方根的非负性，牢记相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

⑩ 已知$\sqrt[3]{a}=a$，$\sqrt{b}=b$，$\sqrt[3]{c}=\sqrt{c}$，则$a+b+c=$。

10 -1或0或1或2或3 [提示:因为$\sqrt[3]{a}=a$,所以$a=0$或±1,因为$\sqrt{b}=b$,所以$b=0$或1,因为$\sqrt[3]{c}=\sqrt{c}$,所以$c=0$或1。]

【分析】
解题时需分别求出满足三个等式的a、b、c的所有可能取值，再分类计算a+b+c的结果，最后对重复的结果去重即可。第一步，根据立方根的性质列方程求a的可能值；第二步，结合算术平方根的非负性和性质列方程求b的可能值；第三步，先明确算术平方根有意义的前提是c≥0，再通过乘方消去根号求c的可能值；最后分类列举所有组合的和，去重得到最终结果。
【解析】
1. 求a的取值：
已知$\sqrt[3]{a}=a$，等式两边同时立方得$a=a^3$，整理得$a^3 - a = 0$，因式分解得$a(a-1)(a+1)=0$，解得$a=-1$或$a=0$或$a=1$。
2. 求b的取值：
已知$\sqrt{b}=b$，由算术平方根的定义可知$b≥0$，等式两边同时平方得$b=b^2$，整理得$b^2 - b=0$，因式分解得$b(b-1)=0$，解得$b=0$或$b=1$。
3. 求c的取值：
已知$\sqrt[3]{c}=\sqrt{c}$，首先由算术平方根的定义得$c≥0$，等式两边同时6次方消去根号，左边$(\sqrt[3]{c})^6=c^2$，右边$(\sqrt{c})^6=c^3$，因此$c^3=c^2$，整理得$c^2(c-1)=0$，解得$c=0$或$c=1$。
4. 计算a+b+c的所有可能值并去重：
当$a=-1$时，和的可能值为：$-1+0+0=-1$，$-1+0+1=0$，$-1+1+0=0$，$-1+1+1=1$；
当$a=0$时，和的可能值为：$0+0+0=0$，$0+0+1=1$，$0+1+0=1$，$0+1+1=2$；
当$a=1$时，和的可能值为：$1+0+0=1$，$1+0+1=2$，$1+1+0=2$，$1+1+1=3$。
去重后得到a+b+c的所有可能值。
【答案】
$-1$或$0$或$1$或$2$或$3$
【知识点】
立方根的性质；算术平方根的性质；分类讨论
【点评】
本题重点考查根式的基本性质，解题时需注意不要漏解，立方根等于本身的数有3个，算术平方根有意义的前提是被开方数非负，最后求和时要对重复结果去重，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

三、解答题
11 计算：
(1) $\sqrt{81} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}$；
(2) $\sqrt[3]{\dfrac{61}{125} - 1}$。

11 (1) $\frac{20}{3}$ (2) $-\frac{4}{5}$

【分析】
本题考查实数中平方根与立方根的混合运算，解题思路如下：①先回忆算术平方根、立方根的相关性质：算术平方根的结果为非负数，负数的立方根仍为负数，$\sqrt{a^2}=|a|$；②分别对每个小题中的根式逐一化简，再按照有理数的加减法则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 先分别化简每个根式：
$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，
∵$9^2=81$，
∴$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，
∵$(-3)^3=-27$，
∴$\sqrt[3]{-27}=-3$；
$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$；
再求和：
原式$=9 + (-3) + \dfrac{2}{3} = 6 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{20}{3}$。
(2) 先计算立方根内的减法，再开立方：
先算被开方数：$\dfrac{61}{125} - 1 = \dfrac{61}{125} - \dfrac{125}{125} = -\dfrac{64}{125}$；
再开立方：
∵$(-\dfrac{4}{5})^3 = -\dfrac{64}{125}$，
∴$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{125}} = -\dfrac{4}{5}$；
即原式$=-\dfrac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{20}{3}$；(2) $-\dfrac{4}{5}$
【知识点】
算术平方根化简、立方根计算、实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查算术平方根的非负性、立方根的符号规律，解题时要注意先化简每一个根式再进行四则运算，计算过程中注意符号判断，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

12 已知正数$ a $的两个平方根分别是$ 2x - 2 $和$ 6 - 3x $，$ a - 3b $的立方根是3。
(1) 求$ a $、$ b $的值；
(2) 求$ a - b^2 - 2 $的平方根。

12 (1) $a=36, b=3$ (2) $\pm5$

【分析】
(1) 首先回忆正数平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列方程求出x的值，代入其中一个平方根再平方即可得到a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列关于b的方程，代入a的值即可求出b。
(2) 将(1)中求得的a、b的值代入待求式计算出结果，再根据平方根的定义求该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 解：
∵正数a的两个平方根分别是$2x-2$和$6-3x$，正数的两个平方根互为相反数
∴$2x - 2 + 6 - 3x = 0$
合并同类项得：$-x + 4 = 0$
解得：$x=4$
将$x=4$代入$2x-2$得其中一个平方根为：$2×4 -2=6$
∴$a = 6^2 = 36$
∵$a-3b$的立方根是3，根据立方根的定义可得：
$a - 3b = 3^3 =27$
把$a=36$代入得：$36 - 3b =27$
移项计算得：$3b=9$，即$b=3$
(2) 解：把$a=36$，$b=3$代入$a - b^2 -2$得：
$36 - 3^2 -2 = 36 -9 -2 =25$
∵25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$
∴$a - b^2 -2$的平方根是$\pm5$
【答案】
(1) $a=36$，$b=3$；(2) $\pm5$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题考查平方根和立方根的基础性质，解题关键是熟记正数两个平方根的关系、立方根与原数三次方的对应关系，计算平方根时注意不要遗漏负的结果，整体难度较低。
【难度系数】
0.8