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12 一块长方形空地的面积为$1215\ \mathrm{m}^2$，其长与宽的比为$5:3$。求这块长方形空地的周长。
答案
因为长与宽的比为$5:3$,则可设长为$5x\ \mathrm{m}$,宽为$3x\ \mathrm{m}$。由题意得$5x · 3x =1215$, $x^2=81$,解得$x_1=9$, $x_2=-9$(不符合题意,舍去)。所以$5x=45$, $3x=27$。所以该长方形空地的周长为$(45+27) × 2 =144(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
本题已知长方形的长宽比和面积，要求周长，解题思路如下：遇到比例关系时，通常设每份长度为x，将长和宽用含x的代数式表示；再结合长方形面积公式列方程，求解得到x的正值（长度不能为负，需舍去负根）；最后算出实际的长和宽，代入长方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
已知长与宽的比为$5:3$，设长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$3x\ \mathrm{m}$（$x＞0$）。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，结合题意列方程：
$5x · 3x =1215$
整理得$15x^2=1215$，即$x^2=81$，
解得$x_1=9$，$x_2=-9$（长度为正数，不符合题意，舍去）。
则长为$5x=5×9=45\ \mathrm{m}$，宽为$3x=3×9=27\ \mathrm{m}$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得周长为：
$(45+27) × 2 =144(\mathrm{m})$
【答案】
$144\ \mathrm{m}$
【知识点】
比例的应用；一元二次方程求解；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，核心是运用方程思想，通过比例设未知数简化计算，求解时需注意结合实际意义舍去不符合要求的根，再代入对应公式计算即可，侧重考查基础公式的运用和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.8
本题已知长方形的长宽比和面积，要求周长，解题思路如下：遇到比例关系时，通常设每份长度为x，将长和宽用含x的代数式表示；再结合长方形面积公式列方程，求解得到x的正值（长度不能为负，需舍去负根）；最后算出实际的长和宽，代入长方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
已知长与宽的比为$5:3$，设长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$3x\ \mathrm{m}$（$x＞0$）。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，结合题意列方程：
$5x · 3x =1215$
整理得$15x^2=1215$，即$x^2=81$，
解得$x_1=9$，$x_2=-9$（长度为正数，不符合题意，舍去）。
则长为$5x=5×9=45\ \mathrm{m}$，宽为$3x=3×9=27\ \mathrm{m}$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得周长为：
$(45+27) × 2 =144(\mathrm{m})$
【答案】
$144\ \mathrm{m}$
【知识点】
比例的应用；一元二次方程求解；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，核心是运用方程思想，通过比例设未知数简化计算，求解时需注意结合实际意义舍去不符合要求的根，再代入对应公式计算即可，侧重考查基础公式的运用和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.8
13 已知$\sqrt{2a - 1}$的算术平方根是2，$2a + b + 2$的算术平方根是5，求$2a - b$的值。
答案
因为$\sqrt{2a - 1}$的算术平方根是2,所以$\sqrt{2a - 1}=4$,所以$2a - 1=16$,所以$2a=17$。因为$2a + b + 2$的算术平方根是5,所以$2a + b + 2=25$,所以$b=6$。所以$2a - b=17 - 6=11$。
解析
【分析】
解题的核心是运用算术平方根的定义逆推计算：若一个非负数的算术平方根是a，则这个非负数等于a²。首先根据第一个条件求出$\sqrt{2a-1}$的值，进一步计算得到2a的值；再根据第二个条件列出关于b的等式，代入已求的2a的值算出b；最后将2a和b的值代入$2a-b$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{2a - 1}$的算术平方根是2
∴$\sqrt{2a - 1}=2^2=4$
两边同时平方得：$2a - 1=16$，解得$2a=17$
又
∵$2a + b + 2$的算术平方根是5
∴$2a + b + 2=5^2=25$
将$2a=17$代入上式得：$17 + b + 2=25$，解得$b=6$
∴$2a - b=17 - 6=11$
【答案】
11
【知识点】
算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查算术平方根定义的应用，解题关键是熟练掌握“算术平方根的平方等于原数”这一性质，计算时注意运算顺序，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用算术平方根的定义逆推计算：若一个非负数的算术平方根是a，则这个非负数等于a²。首先根据第一个条件求出$\sqrt{2a-1}$的值，进一步计算得到2a的值；再根据第二个条件列出关于b的等式，代入已求的2a的值算出b；最后将2a和b的值代入$2a-b$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{2a - 1}$的算术平方根是2
∴$\sqrt{2a - 1}=2^2=4$
两边同时平方得：$2a - 1=16$，解得$2a=17$
又
∵$2a + b + 2$的算术平方根是5
∴$2a + b + 2=5^2=25$
将$2a=17$代入上式得：$17 + b + 2=25$，解得$b=6$
∴$2a - b=17 - 6=11$
【答案】
11
【知识点】
算术平方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查算术平方根定义的应用，解题关键是熟练掌握“算术平方根的平方等于原数”这一性质，计算时注意运算顺序，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.8
14 定义:对于三个正整数,若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“和谐组合”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”。例如:1、4、9这三个数,$\sqrt{1×4}=2$,$\sqrt{1×9}=3$,$\sqrt{4×9}=6$,其结果分别为2、3、6,都是整数,所以1、4、9这三个数称为“和谐组合”,其中最小算术平方根是2,最大算术平方根是6。
(1) 请直接判断3、12、32是不是“和谐组合”;
(2) 请证明2、18、8这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
(3) 已知9、a、25这三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍,求a的值。
(1) 请直接判断3、12、32是不是“和谐组合”;
(2) 请证明2、18、8这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
(3) 已知9、a、25这三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍,求a的值。
答案
(1) 不是
(2) 因为$\sqrt{2×18}=6$,$\sqrt{2×8}=4$,$\sqrt{18×8}=12$,所以2、18、8这三个数是“和谐组合”,所以最小算术平方根是4,最大算术平方根是12。
(3) 在三个算术平方根$\sqrt{9a}$、$\sqrt{25a}$、$\sqrt{9×25}=15$中,因为$a$为正整数,所以$\sqrt{25a} ＞ \sqrt{9a}$,所以有以下三种情况:① 当$15 ＞ \sqrt{25a}$,即$a ＜ 9$时,$3\sqrt{9a}=15$,解得$a=\dfrac{25}{9}$(舍去)。② 当$\sqrt{9a} ＞ 15$,即$a ＞ 25$时,$\sqrt{25a}=15×3$,解得$a=81$。③ 当$\sqrt{9a} ＜ 15 ＜ \sqrt{25a}$,即$9 ＜ a ＜ 25$时,$3\sqrt{9a}=\sqrt{25a}$,解得$a=0$(舍去)。综上所述,$a$的值为81。
(2) 因为$\sqrt{2×18}=6$,$\sqrt{2×8}=4$,$\sqrt{18×8}=12$,所以2、18、8这三个数是“和谐组合”,所以最小算术平方根是4,最大算术平方根是12。
(3) 在三个算术平方根$\sqrt{9a}$、$\sqrt{25a}$、$\sqrt{9×25}=15$中,因为$a$为正整数,所以$\sqrt{25a} ＞ \sqrt{9a}$,所以有以下三种情况:① 当$15 ＞ \sqrt{25a}$,即$a ＜ 9$时,$3\sqrt{9a}=15$,解得$a=\dfrac{25}{9}$(舍去)。② 当$\sqrt{9a} ＞ 15$,即$a ＞ 25$时,$\sqrt{25a}=15×3$,解得$a=81$。③ 当$\sqrt{9a} ＜ 15 ＜ \sqrt{25a}$,即$9 ＜ a ＜ 25$时,$3\sqrt{9a}=\sqrt{25a}$,解得$a=0$(舍去)。综上所述,$a$的值为81。
解析
【分析】
(1) 判断是否为“和谐组合”只需紧扣定义：计算三个数中任意两个数乘积的算术平方根，若所有结果均为整数则是“和谐组合”，只要有一个结果不是整数就不是。
(2) 先计算2、18、8两两乘积的算术平方根，验证所有结果均为整数即可证明是“和谐组合”，再从计算结果中找出最小、最大值即为对应的最小、最大算术平方根。
(3) 先写出9、a、25两两乘积的算术平方根：$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$、$\sqrt{25a}=5\sqrt{a}$、$\sqrt{9×25}=15$，由定义可知三个结果均为整数，且$5\sqrt{a}＞3\sqrt{a}$恒成立。结合“最大算术平方根是最小算术平方根的3倍”的条件，分三种情况讨论三个算术平方根的大小关系，列方程求解后结合a是正整数的要求舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 计算3、12、32两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$（整数），$\sqrt{3×32}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$（不是整数），存在非整数结果，因此3、12、32不是“和谐组合”。
(2) 计算2、18、8两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{18×8}=\sqrt{144}=12$，三个结果均为整数，因此2、18、8是“和谐组合”。
其中结果最小的是4，最大的是12，即最小算术平方根为4，最大算术平方根为12。
(3) 9、a、25两两乘积的算术平方根分别为$3\sqrt{a}$、$5\sqrt{a}$、15，$a$为正整数，显然$5\sqrt{a}＞3\sqrt{a}$，分情况讨论：
① 当$15＞\sqrt{25a}$即$a＜9$时，最大值为15，最小值为$3\sqrt{a}$，列方程$15=3×3\sqrt{a}$，解得$a=\frac{25}{9}$，不是正整数，舍去；
② 当$\sqrt{9a}＞15$即$a＞25$时，最大值为$5\sqrt{a}$，最小值为15，列方程$5\sqrt{a}=3×15$，解得$a=81$，符合正整数要求；
③ 当$\sqrt{9a}＜15＜\sqrt{25a}$即$9＜a＜25$时，最大值为$5\sqrt{a}$，最小值为$3\sqrt{a}$，列方程$5\sqrt{a}=3×3\sqrt{a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去。
综上，$a$的值为81。
【答案】
(1) 不是
(2) 2、18、8是“和谐组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
(3) 81
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的相关应用，解题关键是准确理解“和谐组合”的定义，第三问需要根据三个算术平方根的大小关系分类讨论，同时注意正整数的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1) 判断是否为“和谐组合”只需紧扣定义：计算三个数中任意两个数乘积的算术平方根，若所有结果均为整数则是“和谐组合”，只要有一个结果不是整数就不是。
(2) 先计算2、18、8两两乘积的算术平方根，验证所有结果均为整数即可证明是“和谐组合”，再从计算结果中找出最小、最大值即为对应的最小、最大算术平方根。
(3) 先写出9、a、25两两乘积的算术平方根：$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$、$\sqrt{25a}=5\sqrt{a}$、$\sqrt{9×25}=15$，由定义可知三个结果均为整数，且$5\sqrt{a}＞3\sqrt{a}$恒成立。结合“最大算术平方根是最小算术平方根的3倍”的条件，分三种情况讨论三个算术平方根的大小关系，列方程求解后结合a是正整数的要求舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 计算3、12、32两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$（整数），$\sqrt{3×32}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$（不是整数），存在非整数结果，因此3、12、32不是“和谐组合”。
(2) 计算2、18、8两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{18×8}=\sqrt{144}=12$，三个结果均为整数，因此2、18、8是“和谐组合”。
其中结果最小的是4，最大的是12，即最小算术平方根为4，最大算术平方根为12。
(3) 9、a、25两两乘积的算术平方根分别为$3\sqrt{a}$、$5\sqrt{a}$、15，$a$为正整数，显然$5\sqrt{a}＞3\sqrt{a}$，分情况讨论：
① 当$15＞\sqrt{25a}$即$a＜9$时，最大值为15，最小值为$3\sqrt{a}$，列方程$15=3×3\sqrt{a}$，解得$a=\frac{25}{9}$，不是正整数，舍去；
② 当$\sqrt{9a}＞15$即$a＞25$时，最大值为$5\sqrt{a}$，最小值为15，列方程$5\sqrt{a}=3×15$，解得$a=81$，符合正整数要求；
③ 当$\sqrt{9a}＜15＜\sqrt{25a}$即$9＜a＜25$时，最大值为$5\sqrt{a}$，最小值为$3\sqrt{a}$，列方程$5\sqrt{a}=3×3\sqrt{a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去。
综上，$a$的值为81。
【答案】
(1) 不是
(2) 2、18、8是“和谐组合”，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12
(3) 81
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的相关应用，解题关键是准确理解“和谐组合”的定义，第三问需要根据三个算术平方根的大小关系分类讨论，同时注意正整数的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
