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1. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A,B两种客车(每种型号的客车至少租用一辆)，A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，若5辆A型车和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客340人。
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地，该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
(3)在这次活动中，学校除租用A,B两种客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车，已知从学校到夏令营目的地的路程为300 km，甲车从学校出发0.5 h后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5 h到达目的地，如图是两车离开学校的路程s(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数图象，根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t=
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地，该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
(3)在这次活动中，学校除租用A,B两种客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车，已知从学校到夏令营目的地的路程为300 km，甲车从学校出发0.5 h后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5 h到达目的地，如图是两车离开学校的路程s(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数图象，根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t=
3或$\dfrac{11}{3}$
时两车相距25 km。答案
(1)设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意，得$\begin{cases}5x+2y=310,\\3x+4y=340,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=55.\end{cases}$
所以每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人。
(2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10−m)辆。
由题意得$\begin{cases}500m+600(10−m)≤5\ 500,\\40m+55(10−m)≥420,\end{cases}$
解得$5≤ m≤8\dfrac{2}{3}$。
因为m是正整数，所以m可取5,6,7,8。
所以共有4种租车方案。
设总租金为w元，根据题意，得$w=500m+600(10−m)=−100m+6\ 000$。
因为−100＜0，所以w随m的增大而减小。
所以当m=8时，w最小。
所以租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱。
(3)设$s_甲=kt$，把(4,300)的坐标代入，得300=4k，解得k=75。所以$s_甲=75t$。设$s_乙=at+b$，把(0.5,0)，(3.5,300)的坐标分别代入，得$\begin{cases}0.5a+b=0,\\3.5a+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=100,\\b=−50.\end{cases}$所以$s_乙=100t−50$。因为两车第一次相遇后，相距25 km，所以$100t−50−75t=25$或$300−75t=25$，解得t=3或$t=\dfrac{11}{3}$。所以在甲、乙两车第一次相遇后，当t=3或$t=\dfrac{11}{3}$时，两车相距25 km。
根据题意，得$\begin{cases}5x+2y=310,\\3x+4y=340,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=55.\end{cases}$
所以每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人。
(2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10−m)辆。
由题意得$\begin{cases}500m+600(10−m)≤5\ 500,\\40m+55(10−m)≥420,\end{cases}$
解得$5≤ m≤8\dfrac{2}{3}$。
因为m是正整数，所以m可取5,6,7,8。
所以共有4种租车方案。
设总租金为w元，根据题意，得$w=500m+600(10−m)=−100m+6\ 000$。
因为−100＜0，所以w随m的增大而减小。
所以当m=8时，w最小。
所以租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱。
(3)设$s_甲=kt$，把(4,300)的坐标代入，得300=4k，解得k=75。所以$s_甲=75t$。设$s_乙=at+b$，把(0.5,0)，(3.5,300)的坐标分别代入，得$\begin{cases}0.5a+b=0,\\3.5a+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=100,\\b=−50.\end{cases}$所以$s_乙=100t−50$。因为两车第一次相遇后，相距25 km，所以$100t−50−75t=25$或$300−75t=25$，解得t=3或$t=\dfrac{11}{3}$。所以在甲、乙两车第一次相遇后，当t=3或$t=\dfrac{11}{3}$时，两车相距25 km。
解析
【分析】
(1) 本小问考查二元一次方程组的实际应用，先设每辆A型车、B型车满载载客量分别为x人、y人，根据题干给出的两种载客情况的等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种车型的载客量。
(2) 本小问是方案选择类问题，先设租用A型车m辆，可得B型车为(10-m)辆，根据“总租金不高于5500元”“总载客量不少于420人”两个限制条件列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，结合m为正整数得到租车方案数；再建立总租金关于m的一次函数解析式，根据一次函数的增减性即可找到最省钱的租车方案。
(3) 本小问是一次函数的行程问题，首先结合图象和题干信息确定甲、乙两车行驶的关键点坐标，分别求出两车路程s关于甲车行驶时间t的一次函数解析式；两车第一次相遇后相距25km需分两种情况讨论：①乙车未到达目的地时，乙车行驶路程比甲车多25km；②乙车到达目的地后，甲车剩余行驶路程为25km，分别列方程求解即可得到t的值。
【解析】
(1) 设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意可列方程组：$\begin{cases}5x+2y=310\\3x+4y=340\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=40\\y=55\end{cases}$
(2) 设租用A型车m辆，则租用B型车$(10-m)$辆，
由题意得不等式组：$\begin{cases}500m+600(10-m)≤5500\\40m+55(10-m)≥420\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥5$，解第二个不等式得$m≤8\dfrac{2}{3}$
因为m为正整数，所以m可取5、6、7、8，共4种租车方案。
设总租金为w元，则$w=500m+600(10-m)=-100m+6000$
$\because -100＜0$，$\therefore w$随$m$的增大而减小，
$\therefore$当$m=8$时，w取得最小值，此时$10-m=2$，即租用A型车8辆，B型车2辆最省钱。
(3) 由题意可知，甲车行驶完全程300km用时$3.5+0.5=4\mathrm{h}$，
设甲车的函数解析式为$s_甲=kt$，将$(4,300)$代入得$300=4k$，解得$k=75$，即$s_甲=75t$。
乙车在$t=0.5\mathrm{h}$时出发，$t=3.5\mathrm{h}$时到达，设乙车的函数解析式为$s_乙=at+b$，
将$(0.5,0)$、$(3.5,300)$代入得$\begin{cases}0.5a+b=0\\3.5a+b=300\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=100\\b=-50\end{cases}$，即$s_乙=100t-50$。
两车第一次相遇后相距25km分两种情况：
①乙车未到达目的地时，$s_乙-s_甲=25$，即$100t-50-75t=25$，解得$t=3$；
②乙车到达目的地后，$300-s_甲=25$，即$300-75t=25$，解得$t=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1) 每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
(2) 共有4种租车方案，租用A型车8辆、B型车2辆最省钱；
(3) $3$或$\dfrac{11}{3}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了方程、不等式、一次函数的相关知识，既考查了学生提取信息、建立数学模型的能力，也渗透了分类讨论的数学思想，第三问需注意相遇后乙到达终点的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 本小问考查二元一次方程组的实际应用，先设每辆A型车、B型车满载载客量分别为x人、y人，根据题干给出的两种载客情况的等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种车型的载客量。
(2) 本小问是方案选择类问题，先设租用A型车m辆，可得B型车为(10-m)辆，根据“总租金不高于5500元”“总载客量不少于420人”两个限制条件列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，结合m为正整数得到租车方案数；再建立总租金关于m的一次函数解析式，根据一次函数的增减性即可找到最省钱的租车方案。
(3) 本小问是一次函数的行程问题，首先结合图象和题干信息确定甲、乙两车行驶的关键点坐标，分别求出两车路程s关于甲车行驶时间t的一次函数解析式；两车第一次相遇后相距25km需分两种情况讨论：①乙车未到达目的地时，乙车行驶路程比甲车多25km；②乙车到达目的地后，甲车剩余行驶路程为25km，分别列方程求解即可得到t的值。
【解析】
(1) 设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意可列方程组：$\begin{cases}5x+2y=310\\3x+4y=340\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=40\\y=55\end{cases}$
(2) 设租用A型车m辆，则租用B型车$(10-m)$辆，
由题意得不等式组：$\begin{cases}500m+600(10-m)≤5500\\40m+55(10-m)≥420\end{cases}$
解第一个不等式得$m≥5$，解第二个不等式得$m≤8\dfrac{2}{3}$
因为m为正整数，所以m可取5、6、7、8，共4种租车方案。
设总租金为w元，则$w=500m+600(10-m)=-100m+6000$
$\because -100＜0$，$\therefore w$随$m$的增大而减小，
$\therefore$当$m=8$时，w取得最小值，此时$10-m=2$，即租用A型车8辆，B型车2辆最省钱。
(3) 由题意可知，甲车行驶完全程300km用时$3.5+0.5=4\mathrm{h}$，
设甲车的函数解析式为$s_甲=kt$，将$(4,300)$代入得$300=4k$，解得$k=75$，即$s_甲=75t$。
乙车在$t=0.5\mathrm{h}$时出发，$t=3.5\mathrm{h}$时到达，设乙车的函数解析式为$s_乙=at+b$，
将$(0.5,0)$、$(3.5,300)$代入得$\begin{cases}0.5a+b=0\\3.5a+b=300\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=100\\b=-50\end{cases}$，即$s_乙=100t-50$。
两车第一次相遇后相距25km分两种情况：
①乙车未到达目的地时，$s_乙-s_甲=25$，即$100t-50-75t=25$，解得$t=3$；
②乙车到达目的地后，$300-s_甲=25$，即$300-75t=25$，解得$t=\dfrac{11}{3}$。
【答案】
(1) 每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
(2) 共有4种租车方案，租用A型车8辆、B型车2辆最省钱；
(3) $3$或$\dfrac{11}{3}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了方程、不等式、一次函数的相关知识，既考查了学生提取信息、建立数学模型的能力，也渗透了分类讨论的数学思想，第三问需注意相遇后乙到达终点的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
2. 某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值.
经调查,这两种水果的进价和售价如下表:
该超市购进甲种水果15 kg和乙种水果5 kg需要305元;购进甲种水果20 kg和乙种水果10 kg需要470元.
(1)a,b的值分别为
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100 kg进行销售,其中甲种水果的数量不少于30 kg,且不大于80 kg,实际销售时,若甲种水果超过60 kg,则超过部分按每千克降价3元销售,求超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(kg)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润y(元)取得最大值时,决定售出的甲种水果每千克降价3m元,乙种水果每千克降价m元,若要保证利润率(利润率=$\frac{利润}{本金}$)不低于16%,求m的最大值.
经调查,这两种水果的进价和售价如下表:
该超市购进甲种水果15 kg和乙种水果5 kg需要305元;购进甲种水果20 kg和乙种水果10 kg需要470元.
(1)a,b的值分别为
14,19
;(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100 kg进行销售,其中甲种水果的数量不少于30 kg,且不大于80 kg,实际销售时,若甲种水果超过60 kg,则超过部分按每千克降价3元销售,求超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(kg)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润y(元)取得最大值时,决定售出的甲种水果每千克降价3m元,乙种水果每千克降价m元,若要保证利润率(利润率=$\frac{利润}{本金}$)不低于16%,求m的最大值.
答案
(1)由题意得$\begin{cases}15a+5b=305,\\20a+10b=470,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=14,\\b=19.\end{cases}$
(2)由题意可得当$30≤ x≤60$时，$y=(20−14)x+(23−19)×(100−x)=2x+400$。
当$60＜x≤80$时，$y=(20−3−14)(x−60)+(20−14)×60+(23−19)(100−x)=−x+580$。
则超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(kg)之间的函数关系式为
$y=\begin{cases}2x+400(30≤ x≤60),\\−x+580(60＜x≤80).\end{cases}$
(3)因为$y=\begin{cases}2x+400(30≤ x≤60),\\−x+580(60＜x≤80),\end{cases}$
所以当x=60时，y的值最大，此时y=520。
由题意得$\dfrac{(20−3m−14)×60+40(23−m−19)}{14×60+19×40}×100\%≥16\%$，解得$m≤1.2$，则m的最大值为1.2。
解得$\begin{cases}a=14,\\b=19.\end{cases}$
(2)由题意可得当$30≤ x≤60$时，$y=(20−14)x+(23−19)×(100−x)=2x+400$。
当$60＜x≤80$时，$y=(20−3−14)(x−60)+(20−14)×60+(23−19)(100−x)=−x+580$。
则超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(kg)之间的函数关系式为
$y=\begin{cases}2x+400(30≤ x≤60),\\−x+580(60＜x≤80).\end{cases}$
(3)因为$y=\begin{cases}2x+400(30≤ x≤60),\\−x+580(60＜x≤80),\end{cases}$
所以当x=60时，y的值最大，此时y=520。
由题意得$\dfrac{(20−3m−14)×60+40(23−m−19)}{14×60+19×40}×100\%≥16\%$，解得$m≤1.2$，则m的最大值为1.2。
解析
【分析】
(1) 第一问根据两次购进水果的总费用找到两个等量关系，列出二元一次方程组即可求解a、b的值。
(2) 第二问需根据甲种水果是否超过60kg分段讨论：当30≤x≤60时，甲全部按原价销售，分别计算甲、乙的利润求和即可；当60＜x≤80时，甲的60kg按原价销售，超出部分降价销售，再加上乙的利润，整理得到分段函数。
(3) 第三问先根据分段函数的增减性找到利润最大时对应的x值，再结合利润率的计算公式列出关于m的不等式，求解即可得到m的最大值。
【解析】
(1) 由题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}15a+5b=305\\20a+10b=470\end{cases}$
将第一个方程乘2减去第二个方程得$10a=140$，解得$a=14$，将$a=14$代入$15a+5b=305$，解得$b=19$。
(2) 分两种情况讨论：
①当$30≤x≤60$时，甲每千克利润为$20-14=6$元，乙每千克利润为$23-19=4$元，乙的进货量为$(100-x)$kg，因此：
$y=6x+4(100-x)=2x+400$
②当$60＜x≤80$时，甲的60kg每千克利润6元，超出的$(x-60)$kg每千克利润为$20-3-14=3$元，乙的利润仍为$4(100-x)$元，因此：
$y=6×60+3(x-60)+4(100-x)=-x+580$
综上，函数关系式为：
$y=\begin{cases}2x+400&(30≤x≤60)\\-x+580&(60＜x≤80)\end{cases}$
(3) 分析函数增减性：
当$30≤x≤60$时，$y=2x+400$随x增大而增大，x=60时取得最大值$y=2×60+400=520$；
当$60＜x≤80$时，$y=-x+580$随x增大而减小，y值均小于520；
因此利润最大时，x=60，乙进货量为$100-60=40$kg。
根据利润率不低于16%列不等式：
$\frac{(20-3m-14)×60+(23-m-19)×40}{14×60+19×40}≥16\%$
计算得$\frac{520-220m}{1600}≥0.16$，解得$m≤1.2$。
【答案】
(1) $a=14$，$b=19$
(2) $y=\begin{cases}2x+400&(30≤x≤60)\\-x+580&(60＜x≤80)\end{cases}$
(3) $1.2$
【知识点】
二元一次方程组应用，分段一次函数，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查了方程、函数、不等式的相关知识，解题时需注意分段函数的划分边界，熟练掌握利润、利润率的计算公式，锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问根据两次购进水果的总费用找到两个等量关系，列出二元一次方程组即可求解a、b的值。
(2) 第二问需根据甲种水果是否超过60kg分段讨论：当30≤x≤60时，甲全部按原价销售，分别计算甲、乙的利润求和即可；当60＜x≤80时，甲的60kg按原价销售，超出部分降价销售，再加上乙的利润，整理得到分段函数。
(3) 第三问先根据分段函数的增减性找到利润最大时对应的x值，再结合利润率的计算公式列出关于m的不等式，求解即可得到m的最大值。
【解析】
(1) 由题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}15a+5b=305\\20a+10b=470\end{cases}$
将第一个方程乘2减去第二个方程得$10a=140$，解得$a=14$，将$a=14$代入$15a+5b=305$，解得$b=19$。
(2) 分两种情况讨论：
①当$30≤x≤60$时，甲每千克利润为$20-14=6$元，乙每千克利润为$23-19=4$元，乙的进货量为$(100-x)$kg，因此：
$y=6x+4(100-x)=2x+400$
②当$60＜x≤80$时，甲的60kg每千克利润6元，超出的$(x-60)$kg每千克利润为$20-3-14=3$元，乙的利润仍为$4(100-x)$元，因此：
$y=6×60+3(x-60)+4(100-x)=-x+580$
综上，函数关系式为：
$y=\begin{cases}2x+400&(30≤x≤60)\\-x+580&(60＜x≤80)\end{cases}$
(3) 分析函数增减性：
当$30≤x≤60$时，$y=2x+400$随x增大而增大，x=60时取得最大值$y=2×60+400=520$；
当$60＜x≤80$时，$y=-x+580$随x增大而减小，y值均小于520；
因此利润最大时，x=60，乙进货量为$100-60=40$kg。
根据利润率不低于16%列不等式：
$\frac{(20-3m-14)×60+(23-m-19)×40}{14×60+19×40}≥16\%$
计算得$\frac{520-220m}{1600}≥0.16$，解得$m≤1.2$。
【答案】
(1) $a=14$，$b=19$
(2) $y=\begin{cases}2x+400&(30≤x≤60)\\-x+580&(60＜x≤80)\end{cases}$
(3) $1.2$
【知识点】
二元一次方程组应用，分段一次函数，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查了方程、函数、不等式的相关知识，解题时需注意分段函数的划分边界，熟练掌握利润、利润率的计算公式，锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
