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3. 甲市A,B两个蔬菜基地得知乙地C,D两个灾民安置点分别急需蔬菜240 t和260 t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200 t，B蔬菜基地有蔬菜300 t，现将这些蔬菜全部调运到C,D两个灾民安置点.从A地运往C,D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C,D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x t.
(1)请填写下表：
(单位:t)
(2)求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
(3)设A,B两个蔬菜基地调运蔬菜的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案.
(1)请填写下表：
(单位:t)
(2)求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
(3)设A,B两个蔬菜基地调运蔬菜的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案.
答案
(1)填表如下：
（单位:t）
| | C | D | 总计 |
|----|----|----|----|
| A | $240−x$ | $x−40$ | 200 |
| B | $x$ | $300−x$ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(2)因为两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等，即
所以$20(240−x)+25(x−40)=15x+18(300−x)$，
解得x=200。
答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200。
(3)由题意可得，
所以$w=20(240−x)+25(x−40)+15x+18(300−x)=2x+9\ 200$。因为2＞0，所以w随x的增大而增大。因为$\begin{cases}240−x≤200,\\x≤240.\end{cases}$所以$40≤ x≤240$，所以当x=40时，w取得最小值，此时w=9 280，$240−x=200$，$x−40=0$，$300−x=260$。
答：w与x之间的函数关系式是$w=2x+9\ 200(40≤ x≤240)$，总运费最小的调运方案是A蔬菜基地运往C灾民安置点200 t蔬菜，运往D灾民安置点0 t蔬菜；B蔬菜基地运往C灾民安置点40 t蔬菜，运往D灾民安置点260 t蔬菜。
解析
【分析】
(1)填调运量表时，先根据C地总需求240t、B运往C的量为x t，可得A运往C的量为240减去x；再根据A基地总共有200t蔬菜，用A的总量减去A运往C的量，即可得到A运往D的量。(2)求运费相等时的x值，先分别用含x的式子表示出A、B两个基地的总运费，令两个运费相等列一元一次方程求解即可。(3)求总运费w与x的函数关系式，只需将四条调运路线的运费相加整理为一次函数形式；再根据调运量不能为负数的实际要求，求出x的取值范围，结合一次函数的增减性即可找到总运费最小时对应的x值，进而得到最优调运方案。
【解析】
(1) 计算表格空缺项：
A运往C的蔬菜量：C地总需求240t减去B运往C的x t，即$240-x\ \mathrm{t}$；
A运往D的蔬菜量：A基地总存量200t减去A运往C的$(240-x)\ \mathrm{t}$，即$200-(240-x)=x-40\ \mathrm{t}$。
(2) 分别表示两个基地的总运费：
A基地总运费：$20(240-x)+25(x-40)$
B基地总运费：$15x+18(300-x)$
令两者相等列方程：
$20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x)$
展开、合并同类项得：$5x+3800=-3x+5400$
移项计算得：$8x=1600$，解得$x=200$。
(3) 总运费为四条路线运费之和，因此：
$w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)$
整理得：$w=2x+9200$
根据调运量非负的要求，可得不等式组：$\begin{cases}240-x≥0 \\ x-40≥0\end{cases}$，解得$40≤ x≤240$。
由于一次函数中$k=2＞0$，w随x的增大而增大，因此当$x=40$时总运费最小。
此时对应调运方案：A运往C地200t，运往D地0t；B运往C地40t，运往D地260t，最小总运费为9280元。
【答案】
(1)填表如下：
（单位:t）
| | C | D | 总计 |
|----|----|----|----|
| A | $240−x$ | $x−40$ | 200 |
| B | $x$ | $300−x$ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(2)因为两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等，即
所以$20(240−x)+25(x−40)=15x+18(300−x)$，
解得x=200。
答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200。
(3)由题意可得，
所以$w=20(240−x)+25(x−40)+15x+18(300−x)=2x+9\ 200$。因为2＞0，所以w随x的增大而增大。因为$\begin{cases}240−x≤200,\\x≤240.\end{cases}$所以$40≤ x≤240$，所以当x=40时，w取得最小值，此时w=9 280，$240−x=200$，$x−40=0$，$300−x=260$。
答：w与x之间的函数关系式是$w=2x+9\ 200(40≤ x≤240)$，总运费最小的调运方案是A蔬菜基地运往C灾民安置点200 t蔬菜，运往D灾民安置点0 t蔬菜；B蔬菜基地运往C灾民安置点40 t蔬菜，运往D灾民安置点260 t蔬菜。
【知识点】
一次函数应用，一元一次方程应用，最优方案问题
【点评】
本题以实际调运场景为载体，综合考查了代数式列写、一元一次方程求解以及一次函数增减性求最值的相关知识，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现运量为负的逻辑错误，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
(1)填调运量表时，先根据C地总需求240t、B运往C的量为x t，可得A运往C的量为240减去x；再根据A基地总共有200t蔬菜，用A的总量减去A运往C的量，即可得到A运往D的量。(2)求运费相等时的x值，先分别用含x的式子表示出A、B两个基地的总运费，令两个运费相等列一元一次方程求解即可。(3)求总运费w与x的函数关系式，只需将四条调运路线的运费相加整理为一次函数形式；再根据调运量不能为负数的实际要求，求出x的取值范围，结合一次函数的增减性即可找到总运费最小时对应的x值，进而得到最优调运方案。
【解析】
(1) 计算表格空缺项：
A运往C的蔬菜量：C地总需求240t减去B运往C的x t，即$240-x\ \mathrm{t}$；
A运往D的蔬菜量：A基地总存量200t减去A运往C的$(240-x)\ \mathrm{t}$，即$200-(240-x)=x-40\ \mathrm{t}$。
(2) 分别表示两个基地的总运费：
A基地总运费：$20(240-x)+25(x-40)$
B基地总运费：$15x+18(300-x)$
令两者相等列方程：
$20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x)$
展开、合并同类项得：$5x+3800=-3x+5400$
移项计算得：$8x=1600$，解得$x=200$。
(3) 总运费为四条路线运费之和，因此：
$w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)$
整理得：$w=2x+9200$
根据调运量非负的要求，可得不等式组：$\begin{cases}240-x≥0 \\ x-40≥0\end{cases}$，解得$40≤ x≤240$。
由于一次函数中$k=2＞0$，w随x的增大而增大，因此当$x=40$时总运费最小。
此时对应调运方案：A运往C地200t，运往D地0t；B运往C地40t，运往D地260t，最小总运费为9280元。
【答案】
(1)填表如下：
（单位:t）
| | C | D | 总计 |
|----|----|----|----|
| A | $240−x$ | $x−40$ | 200 |
| B | $x$ | $300−x$ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(2)因为两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等，即
所以$20(240−x)+25(x−40)=15x+18(300−x)$，
解得x=200。
答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200。
(3)由题意可得，
所以$w=20(240−x)+25(x−40)+15x+18(300−x)=2x+9\ 200$。因为2＞0，所以w随x的增大而增大。因为$\begin{cases}240−x≤200,\\x≤240.\end{cases}$所以$40≤ x≤240$，所以当x=40时，w取得最小值，此时w=9 280，$240−x=200$，$x−40=0$，$300−x=260$。
答：w与x之间的函数关系式是$w=2x+9\ 200(40≤ x≤240)$，总运费最小的调运方案是A蔬菜基地运往C灾民安置点200 t蔬菜，运往D灾民安置点0 t蔬菜；B蔬菜基地运往C灾民安置点40 t蔬菜，运往D灾民安置点260 t蔬菜。
【知识点】
一次函数应用，一元一次方程应用，最优方案问题
【点评】
本题以实际调运场景为载体，综合考查了代数式列写、一元一次方程求解以及一次函数增减性求最值的相关知识，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现运量为负的逻辑错误，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
4. 甲、乙两个工程队计划参与修建“特色景区”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元.
(1)乙队单独施工需要
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能地减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了$a$个月，乙队完成另一部分工程用了$b$个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且$a,b$为正整数，则甲、乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
(1)乙队单独施工需要
27
个月才能完成任务.(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能地减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了$a$个月，乙队完成另一部分工程用了$b$个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且$a,b$为正整数，则甲、乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
答案
(1)设乙队单独施工需要x个月才能完成任务，根据题意，得$\dfrac{1}{x}×2+(\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{x})×10=1$，解得x=27。经检验，x=27是原方程的根。
(2)根据题意，得$\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{27}=1$，整理得$a=18−\dfrac{2}{3}b$。
因为a,b为正整数，且$a≤6$，$b≤24$，
所以b为3的倍数，且$24≥ b≥18$。
故当b=24时，a=2；当b=21时，a=4；当b=18时，a=6，所以甲、乙两队实际施工的时间安排有三种方式。
方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方式二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方式三：甲队施工6个月，乙队施工18个月。
设所支付费用为w万元，则
$w=8a+5b=8×(18−\dfrac{2}{3}b)+5b=−\dfrac{1}{3}b+144$。
因为$−\dfrac{1}{3}＜0$，所以w随b的增大而减小。
所以当b=24时，所支付费用最低。
所以安排方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月，所支付费用最低。
(2)根据题意，得$\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{27}=1$，整理得$a=18−\dfrac{2}{3}b$。
因为a,b为正整数，且$a≤6$，$b≤24$，
所以b为3的倍数，且$24≥ b≥18$。
故当b=24时，a=2；当b=21时，a=4；当b=18时，a=6，所以甲、乙两队实际施工的时间安排有三种方式。
方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方式二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方式三：甲队施工6个月，乙队施工18个月。
设所支付费用为w万元，则
$w=8a+5b=8×(18−\dfrac{2}{3}b)+5b=−\dfrac{1}{3}b+144$。
因为$−\dfrac{1}{3}＜0$，所以w随b的增大而减小。
所以当b=24时，所支付费用最低。
所以安排方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月，所支付费用最低。
解析
【分析】
(1) 本题属于工程问题，将总工作量看作单位“1”，已知甲单独完成的时间可得到甲的工作效率，设乙单独完成需要x个月即可表示乙的工作效率。根据“乙先施工2个月，再甲乙合作10个月完成任务”的等量关系列分式方程求解，注意解完要检验根的合理性。
(2) 先根据甲乙总工作量之和为1得到a和b的关系式，再结合“a≤6、b≤24，a、b为正整数”的限制条件，筛选出符合要求的a、b取值得到所有方案。最后构造总费用的一次函数，根据一次函数的增减性即可判断费用最低的方案。
【解析】
(1) 设乙队单独施工需要x个月才能完成任务，总工作量为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{18}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{x}×2 + (\frac{1}{18}+\frac{1}{x})×10 = 1$
化简得：$\frac{12}{x}+\frac{5}{9}=1$，解得$x=27$。
经检验，$x=27$是原方程的根，且符合实际意义。
(2) 由题意得甲乙工作量之和为1：
$\frac{a}{18}+\frac{b}{27}=1$
整理得$a=18-\frac{2}{3}b$。
∵a、b为正整数，且$a≤6$，$b≤24$，
∴$\begin{cases}18-\frac{2}{3}b ≤6 \\ b≤24 \end{cases}$，解得$18≤b≤24$，且b是3的正整数倍。
因此b可取18、21、24，对应a的值为6、4、2，共3种安排方式：
方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方式二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方式三：甲队施工6个月，乙队施工18个月。
设总支付费用为w万元，则：
$w=8a+5b=8×(18-\frac{2}{3}b)+5b=-\frac{1}{3}b+144$
∵$-\frac{1}{3}＜0$，
∴w随b的增大而减小，当b取最大值24时w最小，对应方式一费用最低。
【答案】
(1) $\boxed{27}$
(2) 共有3种安排方式；甲队施工2个月，乙队施工24个月的安排方式所支付费用最低。
【知识点】
分式方程应用，一次函数应用，方案设计
【点评】
本题结合实际工程场景，综合考查分式方程、不等式和一次函数的相关知识，解题关键是找准工作量的等量关系，注意实际问题中变量的整数取值限制，利用一次函数增减性可快速求解最值，能有效锻炼综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于工程问题，将总工作量看作单位“1”，已知甲单独完成的时间可得到甲的工作效率，设乙单独完成需要x个月即可表示乙的工作效率。根据“乙先施工2个月，再甲乙合作10个月完成任务”的等量关系列分式方程求解，注意解完要检验根的合理性。
(2) 先根据甲乙总工作量之和为1得到a和b的关系式，再结合“a≤6、b≤24，a、b为正整数”的限制条件，筛选出符合要求的a、b取值得到所有方案。最后构造总费用的一次函数，根据一次函数的增减性即可判断费用最低的方案。
【解析】
(1) 设乙队单独施工需要x个月才能完成任务，总工作量为单位“1”，则甲的工作效率为$\frac{1}{18}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{x}×2 + (\frac{1}{18}+\frac{1}{x})×10 = 1$
化简得：$\frac{12}{x}+\frac{5}{9}=1$，解得$x=27$。
经检验，$x=27$是原方程的根，且符合实际意义。
(2) 由题意得甲乙工作量之和为1：
$\frac{a}{18}+\frac{b}{27}=1$
整理得$a=18-\frac{2}{3}b$。
∵a、b为正整数，且$a≤6$，$b≤24$，
∴$\begin{cases}18-\frac{2}{3}b ≤6 \\ b≤24 \end{cases}$，解得$18≤b≤24$，且b是3的正整数倍。
因此b可取18、21、24，对应a的值为6、4、2，共3种安排方式：
方式一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方式二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方式三：甲队施工6个月，乙队施工18个月。
设总支付费用为w万元，则：
$w=8a+5b=8×(18-\frac{2}{3}b)+5b=-\frac{1}{3}b+144$
∵$-\frac{1}{3}＜0$，
∴w随b的增大而减小，当b取最大值24时w最小，对应方式一费用最低。
【答案】
(1) $\boxed{27}$
(2) 共有3种安排方式；甲队施工2个月，乙队施工24个月的安排方式所支付费用最低。
【知识点】
分式方程应用，一次函数应用，方案设计
【点评】
本题结合实际工程场景，综合考查分式方程、不等式和一次函数的相关知识，解题关键是找准工作量的等量关系，注意实际问题中变量的整数取值限制，利用一次函数增减性可快速求解最值，能有效锻炼综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
