登录
1.如图，直线$y=ax+b$过点$A(0,2),B(-3,0)$，则方程$ax+b=0$的解是（
A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x=-1$
D.$x=-3$
（第1题）（第3题）
D
）A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x=-1$
D.$x=-3$
（第1题）（第3题）答案
1.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程和对应一次函数的关系：方程$ax+b=0$的解，就是一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值，对应到图象上就是直线与$x$轴交点的横坐标，接下来只需找到直线与$x$轴交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
方程$ax+b=0$的解，是一次函数$y=ax+b$中$y=0$时自变量$x$的值，也就是直线$y=ax+b$与$x$轴交点的横坐标。
已知直线$y=ax+b$过点$B(-3,0)$，即当$x=-3$时，$ax+b=0$，因此方程$ax+b=0$的解为$x=-3$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程、一次函数图象特征
【点评】
本题是基础类题型，核心考查一次函数与一元一次方程的对应关系，解题的关键是理解方程的解和函数图象与x轴交点横坐标的对应关系，结合已知图象的交点坐标即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程和对应一次函数的关系：方程$ax+b=0$的解，就是一次函数$y=ax+b$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值，对应到图象上就是直线与$x$轴交点的横坐标，接下来只需找到直线与$x$轴交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
方程$ax+b=0$的解，是一次函数$y=ax+b$中$y=0$时自变量$x$的值，也就是直线$y=ax+b$与$x$轴交点的横坐标。
已知直线$y=ax+b$过点$B(-3,0)$，即当$x=-3$时，$ax+b=0$，因此方程$ax+b=0$的解为$x=-3$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程、一次函数图象特征
【点评】
本题是基础类题型，核心考查一次函数与一元一次方程的对应关系，解题的关键是理解方程的解和函数图象与x轴交点横坐标的对应关系，结合已知图象的交点坐标即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 若以二元一次方程$x+2y-b=0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y=-\frac{1}{2}x+b-1$上，则常数$b$等于（
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程和一次函数的对应关系：如果以二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，说明这个二元一次方程变形为一次函数形式后，和已知直线的表达式完全相同，对应项的系数、常数项均相等。解题步骤为：①先将给出的二元一次方程变形为用x表示y的一次函数形式；②将变形后的式子与已知直线的表达式对比，利用常数项相等列方程求解即可得到b的值。
【解析】
首先将二元一次方程$x+2y-b=0$变形为一次函数$y=kx+c$的形式：
移项得：$2y=-x+b$，
两边同时除以2得：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{b}{2}$。
因为以方程$x+2y-b=0$的解为坐标的点都在直线$y=-\frac{1}{2}x+b-1$上，说明两个表达式表示同一条直线，二者x的系数已经相等，因此常数项也相等：
$\frac{b}{2}=b-1$，
解这个方程：
移项得：$b-\frac{b}{2}=1$，
合并同类项得：$\frac{b}{2}=1$，
解得：$b=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 同一直线的表达式特征
【点评】
本题属于一次函数相关的基础题型，解题的核心是理解“二元一次方程的解对应的点全部在某直线上”的含义，即两个表达式对应同一直线，只需对比对应项列等式求解即可，这类题是一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程和一次函数的对应关系：如果以二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，说明这个二元一次方程变形为一次函数形式后，和已知直线的表达式完全相同，对应项的系数、常数项均相等。解题步骤为：①先将给出的二元一次方程变形为用x表示y的一次函数形式；②将变形后的式子与已知直线的表达式对比，利用常数项相等列方程求解即可得到b的值。
【解析】
首先将二元一次方程$x+2y-b=0$变形为一次函数$y=kx+c$的形式：
移项得：$2y=-x+b$，
两边同时除以2得：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{b}{2}$。
因为以方程$x+2y-b=0$的解为坐标的点都在直线$y=-\frac{1}{2}x+b-1$上，说明两个表达式表示同一条直线，二者x的系数已经相等，因此常数项也相等：
$\frac{b}{2}=b-1$，
解这个方程：
移项得：$b-\frac{b}{2}=1$，
合并同类项得：$\frac{b}{2}=1$，
解得：$b=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 同一直线的表达式特征
【点评】
本题属于一次函数相关的基础题型，解题的核心是理解“二元一次方程的解对应的点全部在某直线上”的含义，即两个表达式对应同一直线，只需对比对应项列等式求解即可，这类题是一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,若一次函数$y=-2x+b$的图象与两坐标轴分别交于$A,B$两点,点$A$的坐标为$(0,3)$,则关于$x$的不等式$-2x+b＜0$的解集为（
A.$x＞\frac{3}{2}$
B.$x＜\frac{3}{2}$
C.$x＞3$
D.$x＜3$
A
）A.$x＞\frac{3}{2}$
B.$x＜\frac{3}{2}$
C.$x＞3$
D.$x＜3$
答案
3.A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先将点A的坐标代入一次函数解析式，求出参数b的值，确定完整的一次函数表达式；第二步，明确不等式$-2x+b＜0$等价于一次函数的函数值小于0，既可以直接解一元一次不等式得到解集，也可以结合函数图像，找函数图像位于x轴下方时对应的x的取值范围。由于一次函数$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，只需要求出函数与x轴交点B的横坐标，即可得到对应的解集。
【解析】
1. 求参数b的值：将点$A(0,3)$代入$y=-2x+b$，可得
$3=-2×0 + b$，解得$b=3$，
因此一次函数的解析式为$y=-2x+3$。
2. 求一次函数与x轴的交点坐标：令$y=0$，代入解析式得
$0=-2x+3$，解得$x=\frac{3}{2}$，即点B坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
3. 求解不等式：不等式$-2x+b＜0$即$y＜0$，观察函数图像，由于$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，因此当$x＞\frac{3}{2}$时，函数值小于0，满足不等式要求。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，既可以通过代数运算直接解不等式得到结果，也可以利用数形结合思想，结合函数图像的增减性快速判断解集，解题时要注意一次函数的斜率正负对增减性的影响，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先将点A的坐标代入一次函数解析式，求出参数b的值，确定完整的一次函数表达式；第二步，明确不等式$-2x+b＜0$等价于一次函数的函数值小于0，既可以直接解一元一次不等式得到解集，也可以结合函数图像，找函数图像位于x轴下方时对应的x的取值范围。由于一次函数$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，只需要求出函数与x轴交点B的横坐标，即可得到对应的解集。
【解析】
1. 求参数b的值：将点$A(0,3)$代入$y=-2x+b$，可得
$3=-2×0 + b$，解得$b=3$，
因此一次函数的解析式为$y=-2x+3$。
2. 求一次函数与x轴的交点坐标：令$y=0$，代入解析式得
$0=-2x+3$，解得$x=\frac{3}{2}$，即点B坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
3. 求解不等式：不等式$-2x+b＜0$即$y＜0$，观察函数图像，由于$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，因此当$x＞\frac{3}{2}$时，函数值小于0，满足不等式要求。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，既可以通过代数运算直接解不等式得到结果，也可以利用数形结合思想，结合函数图像的增减性快速判断解集，解题时要注意一次函数的斜率正负对增减性的影响，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 数学文化 九章算术《九章算术》中记载:今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h(单位:尺)关于生长时间x(单位:天)的函数图象，则图象交点P的横坐标是 (
A.$\frac{9}{2}$
B.5
C.$\frac{90}{17}$
D.6
C
)A.$\frac{9}{2}$
B.5
C.$\frac{90}{17}$
D.6
答案
4.C 【点拨】7寸=0.7尺.因为瓜蔓在高9尺的墙上向下伸,每天长7寸,所以瓜蔓离地面的高度h与x之间的关系式为h=9-0.7x.因为地上种着瓠向上长,每天长1尺,所以瓠蔓离地面的高度h与x满足h=x.因为相遇时h相等,所以9-0.7x=x,解得$x=\frac{90}{17}$.所以两图象交点P的横坐标为$\frac{90}{17}$.故选C.
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，将7寸换算为0.7尺，再分别分析瓜蔓、瓠蔓的高度随生长天数的变化规律，写出高度h关于天数x的函数表达式；图象交点P的含义是两种蔓的高度相等，也就是二者相遇的时刻，因此联立两个函数表达式求解，得到的x值就是P点的横坐标。
【解析】
1. 单位换算：1尺=10寸，因此7寸=0.7尺。
2. 列函数关系式：
瓜蔓从9尺高处向下生长，每天高度降低0.7尺，因此它离地面的高度h与生长天数x的关系为：$ h = 9 - 0.7x $；
瓠蔓从地面向上生长，每天高度升高1尺，因此它离地面的高度h与生长天数x的关系为：$ h = x $。
3. 求交点横坐标：交点P处两种蔓高度相等，联立两个方程得：
$ 9 - 0.7x = x $
移项合并同类项得：$ 1.7x = 9 $
解得：$ x = \frac{9}{1.7} = \frac{90}{17} $，即P点横坐标为$\frac{90}{17}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、一元一次方程求解、函数图象的意义
【点评】
本题结合传统数学文化考查一次函数的实际应用，解题核心是明确图象交点的实际含义，正确建立两个高度的函数关系，解题时要注意先统一单位再计算，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要统一单位，将7寸换算为0.7尺，再分别分析瓜蔓、瓠蔓的高度随生长天数的变化规律，写出高度h关于天数x的函数表达式；图象交点P的含义是两种蔓的高度相等，也就是二者相遇的时刻，因此联立两个函数表达式求解，得到的x值就是P点的横坐标。
【解析】
1. 单位换算：1尺=10寸，因此7寸=0.7尺。
2. 列函数关系式：
瓜蔓从9尺高处向下生长，每天高度降低0.7尺，因此它离地面的高度h与生长天数x的关系为：$ h = 9 - 0.7x $；
瓠蔓从地面向上生长，每天高度升高1尺，因此它离地面的高度h与生长天数x的关系为：$ h = x $。
3. 求交点横坐标：交点P处两种蔓高度相等，联立两个方程得：
$ 9 - 0.7x = x $
移项合并同类项得：$ 1.7x = 9 $
解得：$ x = \frac{9}{1.7} = \frac{90}{17} $，即P点横坐标为$\frac{90}{17}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、一元一次方程求解、函数图象的意义
【点评】
本题结合传统数学文化考查一次函数的实际应用，解题核心是明确图象交点的实际含义，正确建立两个高度的函数关系，解题时要注意先统一单位再计算，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
5. [2025 陕西] 在平面直角坐标系中,过点$(1,0)$,$(0,2)$的直线向上平移3个单位长度,平移后的直线经过的点的坐标可以是（
A.$(1,-3)$
B.$(1,3)$
C.$(-3,2)$
D.$(3,2)$
B
）A.$(1,-3)$
B.$(1,3)$
C.$(-3,2)$
D.$(3,2)$
答案
5.B 【点拨】设过点$(1,0)$,$(0,2)$的直线表达式为$y=kx+b(k≠0)$,把点$(1,0)$,$(0,2)$的坐标分别代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}0=k+b,\\2=0+b,\end{cases}$所以$\begin{cases}k=-2,\\b=2,\end{cases}$所以$y=-2x+2$.因为过点$(1,0)$,$(0,2)$的直线向上平移3个单位长度,所以平移后的直线表达式为$y=-2x+2+3=-2x+5$,当$x=1$时,$y=-2×1+5=3$,即$(1,3)$在直线$y=-2x+5$上,故B选项符合题意,A选项不符合题意;当$x=3$时,$y=-2×3+5=-1$,即$(3,-1)$在直线$y=-2x+5$上,故D选项不符合题意;当$x=-3$时,$y=-2×(-3)+5=11$,即$(-3,11)$在直线$y=-2x+5$上,故C选项不符合题意.故选B.
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步，用待定系数法求出过已知两点的直线解析式；第二步，根据一次函数“上加下减常数项”的平移规律，求出平移后的直线解析式；第三步，将各选项的横坐标代入平移后的解析式，计算对应纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，一致的即为所求点。
【解析】
设过点$(1,0)$、$(0,2)$的直线表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将两点坐标分别代入解析式，得：
$\begin{cases}0=k+b\\2=0+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$
因此原直线解析式为$y=-2x+2$。
直线向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后的直线解析式为$y=-2x+2+3=-2x+5$。
逐个验证选项：
当$x=1$时，$y=-2×1+5=3$，可知$(1,3)$在平移后的直线上，$(1,-3)$不在，A错误，B正确；
当$x=-3$时，$y=-2×(-3)+5=11≠2$，故$(-3,2)$不在平移后的直线上，C错误；
当$x=3$时，$y=-2×3+5=-1≠2$，故$(3,2)$不在平移后的直线上，D错误。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数平移规律；一次函数点坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础常考题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，以及一次函数平移的变化规律，结合函数图象上的点满足对应函数解析式即可判断。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按三步思考：第一步，用待定系数法求出过已知两点的直线解析式；第二步，根据一次函数“上加下减常数项”的平移规律，求出平移后的直线解析式；第三步，将各选项的横坐标代入平移后的解析式，计算对应纵坐标，和选项给出的纵坐标对比，一致的即为所求点。
【解析】
设过点$(1,0)$、$(0,2)$的直线表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将两点坐标分别代入解析式，得：
$\begin{cases}0=k+b\\2=0+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$
因此原直线解析式为$y=-2x+2$。
直线向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后的直线解析式为$y=-2x+2+3=-2x+5$。
逐个验证选项：
当$x=1$时，$y=-2×1+5=3$，可知$(1,3)$在平移后的直线上，$(1,-3)$不在，A错误，B正确；
当$x=-3$时，$y=-2×(-3)+5=11≠2$，故$(-3,2)$不在平移后的直线上，C错误；
当$x=3$时，$y=-2×3+5=-1≠2$，故$(3,2)$不在平移后的直线上，D错误。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数平移规律；一次函数点坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础常考题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，以及一次函数平移的变化规律，结合函数图象上的点满足对应函数解析式即可判断。
【难度系数】
0.8
6. ★★ 立德树人 节约用水 某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0～15吨为基本段，15～22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数，其图象如图所示.(1)基本段每吨水费2元；(2)若某用户该月用水20吨，应交水费为46元；(3)y与x之间的函数表达式为$y=2x$；(4)若某月一用户交水费48元，则该用户用水21吨.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.B 【点拨】由题意知基本段每吨水费为$30÷15=2$(元),所以(1)正确.当$15≤x＜22$时,设y与x之间的函数关系式为$y=k_1x+b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$),将$x=15,y=30$和$x=22,y=51$代入$y=k_1x+b_1$,得$\begin{cases}15k_1+b_1=30,\\22k_1+b_1=51,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=3,\\b_1=-15,\end{cases}$所以$y=3x-15(15≤x＜22)$.所以(3)不正确.当$x=20$时,$y=3×20-15=45$,所以(2)不正确.若某月一用户交水费48元,设该用户用水m吨.因为$30＜48＜51$,所以$15＜m＜22$.所以$3m-15=48$.解得$m=21$.所以(4)正确.综上所述,(1)(4)正确,(2)(3)不正确.故选B.
解析
【分析】
本题是阶梯收费类的一次函数实际应用题，解题思路如下：首先分段分析水费和用水量的函数关系，先计算0~15吨基本段的水费单价，判断结论(1)；再用待定系数法求出15~22吨区间的函数解析式，分别代入x=20计算水费判断结论(2)，同时验证结论(3)的正误；最后根据48元的水费范围确定对应的用水量区间，代入解析式求解判断结论(4)，统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证4个结论：
1. 验证结论(1)：0~15吨为基本段，由图象可知15吨对应水费30元，因此每吨水费为$30÷15=2$元，故(1)正确。
2. 求$15≤ x＜22$段的函数解析式：设该段函数关系式为$y=k_1x+b_1$（$k_1≠0$），将点$(15,30)$、$(22,51)$代入得：
$\begin{cases}15k_1+b_1=30\\22k_1+b_1=51\end{cases}$
两式相减得$7k_1=21$，解得$k_1=3$，将$k_1=3$代入$15k_1+b_1=30$，得$b_1=-15$，因此$15≤ x＜22$时，$y=3x-15$。
3. 验证结论(3)：$y=2x$仅适用于$0≤ x≤15$的基本段，用水量超过15吨时函数表达式发生变化，因此(3)错误。
4. 验证结论(2)：用水20吨属于$15≤ x＜22$区间，代入解析式得$y=3×20-15=45$元，不是46元，故(2)错误。
5. 验证结论(4)：交水费48元，因$30＜48＜51$，说明用水量在$15∼22$吨之间，设用水量为$m$吨，代入得$3m-15=48$，解得$m=21$，故(4)正确。
综上，(1)(4)正确，共2个正确结论。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合节约用水的生活场景考查分段一次函数的实际应用，解题核心是准确识别不同用水量区间对应的函数关系，根据数值范围选择对应解析式计算，能很好地考查学生的读图能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是阶梯收费类的一次函数实际应用题，解题思路如下：首先分段分析水费和用水量的函数关系，先计算0~15吨基本段的水费单价，判断结论(1)；再用待定系数法求出15~22吨区间的函数解析式，分别代入x=20计算水费判断结论(2)，同时验证结论(3)的正误；最后根据48元的水费范围确定对应的用水量区间，代入解析式求解判断结论(4)，统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证4个结论：
1. 验证结论(1)：0~15吨为基本段，由图象可知15吨对应水费30元，因此每吨水费为$30÷15=2$元，故(1)正确。
2. 求$15≤ x＜22$段的函数解析式：设该段函数关系式为$y=k_1x+b_1$（$k_1≠0$），将点$(15,30)$、$(22,51)$代入得：
$\begin{cases}15k_1+b_1=30\\22k_1+b_1=51\end{cases}$
两式相减得$7k_1=21$，解得$k_1=3$，将$k_1=3$代入$15k_1+b_1=30$，得$b_1=-15$，因此$15≤ x＜22$时，$y=3x-15$。
3. 验证结论(3)：$y=2x$仅适用于$0≤ x≤15$的基本段，用水量超过15吨时函数表达式发生变化，因此(3)错误。
4. 验证结论(2)：用水20吨属于$15≤ x＜22$区间，代入解析式得$y=3×20-15=45$元，不是46元，故(2)错误。
5. 验证结论(4)：交水费48元，因$30＜48＜51$，说明用水量在$15∼22$吨之间，设用水量为$m$吨，代入得$3m-15=48$，解得$m=21$，故(4)正确。
综上，(1)(4)正确，共2个正确结论。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合节约用水的生活场景考查分段一次函数的实际应用，解题核心是准确识别不同用水量区间对应的函数关系，根据数值范围选择对应解析式计算，能很好地考查学生的读图能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，直线 $ y_1 = k_1x $ 与直线 $ y_2 = k_2x + b $ 交于点 $ A(1,2) $。当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 ______。
答案
7.$x＜1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一次函数图像位置和函数值大小的对应关系：同一x值下，直线位置越高，对应的函数值越大。两条直线的交点A(1,2)是两个函数值相等的位置，只需观察交点左右两侧两条直线的上下位置，就能找到y₁＜y₂对应的x的取值范围。
【解析】
两直线交点为A(1,2)，说明当x=1时，y₁=y₂=2。观察函数图像可得：当x＜1时，直线y₂=k₂x+b在直线y₁=k₁x的上方，即此时y₂的函数值大于y₁的函数值，满足y₁＜y₂。因此当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜1。
【答案】
x＜1
【知识点】
1.一次函数的图像性质 2.一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查通过一次函数图像判断函数值大小关系，解题核心是理解函数图像的上下位置对应函数值的大小，结合交点坐标即可快速确定解集，是对一次函数图像应用的基础考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一次函数图像位置和函数值大小的对应关系：同一x值下，直线位置越高，对应的函数值越大。两条直线的交点A(1,2)是两个函数值相等的位置，只需观察交点左右两侧两条直线的上下位置，就能找到y₁＜y₂对应的x的取值范围。
【解析】
两直线交点为A(1,2)，说明当x=1时，y₁=y₂=2。观察函数图像可得：当x＜1时，直线y₂=k₂x+b在直线y₁=k₁x的上方，即此时y₂的函数值大于y₁的函数值，满足y₁＜y₂。因此当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜1。
【答案】
x＜1
【知识点】
1.一次函数的图像性质 2.一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查通过一次函数图像判断函数值大小关系，解题核心是理解函数图像的上下位置对应函数值的大小，结合交点坐标即可快速确定解集，是对一次函数图像应用的基础考查。
【难度系数】
0.8
8. 已知一次函数$y=2x-a$与$y=3x+b$的图象交于$x$轴上原点外的一点，则$\frac{a}{a+b}=$
$-2$
.答案
8.$-2$ 【点拨】在$y=2x-a$中,令$y=0$,得到$x=\frac{a}{2}$.在$y=3x+b$中,令$y=0$,得到$x=-\frac{b}{3}$.因为两图象交于$x$轴上原点外一点,所以$\frac{a}{2}=-\frac{b}{3}$,$a≠0$且$b≠0$.可以设$\frac{a}{2}=-\frac{b}{3}=k$,则$a=2k,b=-3k$,所以$\frac{a}{a+b}=\frac{2k}{2k-3k}=-2$.
解析
【分析】
解题时首先明确x轴上点的纵坐标为0，两个一次函数的图象交于x轴上同一点，说明两个函数与x轴的交点横坐标相等，且该点不是原点，因此横坐标不为0。首先分别求出两个函数与x轴交点的横坐标，令二者相等得到a与b的数量关系，再将该关系代入待求分式化简即可得到结果。
【解析】
1. 求一次函数$y=2x-a$与x轴的交点：
令$y=0$，则$2x - a = 0$，解得$x=\frac{a}{2}$。
2. 求一次函数$y=3x+b$与x轴的交点：
令$y=0$，则$3x + b = 0$，解得$x=-\frac{b}{3}$。
3. 由两图象交于x轴上原点外的一点，可得两个交点横坐标相等，且横坐标不为0，即：
$\frac{a}{2}=-\frac{b}{3}$，且$a≠0$，$b≠0$。
4. 设$\frac{a}{2}=-\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=-3k$。
5. 将$a=2k$，$b=-3k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{2k}{2k + (-3k)}=\frac{2k}{-k}=-2$（$k≠0$，可约去）。
【答案】
$-2$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、比例关系应用、分式化简求值
【点评】
本题解题核心是利用x轴上点的坐标特征得到两个函数与x轴交点横坐标相等，从而建立a、b的数量关系，计算时注意原点外的条件可保证分母不为0，避免出现无意义的情况，也可直接用含a的式子表示b后代入计算，方法灵活。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确x轴上点的纵坐标为0，两个一次函数的图象交于x轴上同一点，说明两个函数与x轴的交点横坐标相等，且该点不是原点，因此横坐标不为0。首先分别求出两个函数与x轴交点的横坐标，令二者相等得到a与b的数量关系，再将该关系代入待求分式化简即可得到结果。
【解析】
1. 求一次函数$y=2x-a$与x轴的交点：
令$y=0$，则$2x - a = 0$，解得$x=\frac{a}{2}$。
2. 求一次函数$y=3x+b$与x轴的交点：
令$y=0$，则$3x + b = 0$，解得$x=-\frac{b}{3}$。
3. 由两图象交于x轴上原点外的一点，可得两个交点横坐标相等，且横坐标不为0，即：
$\frac{a}{2}=-\frac{b}{3}$，且$a≠0$，$b≠0$。
4. 设$\frac{a}{2}=-\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=-3k$。
5. 将$a=2k$，$b=-3k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{2k}{2k + (-3k)}=\frac{2k}{-k}=-2$（$k≠0$，可约去）。
【答案】
$-2$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、比例关系应用、分式化简求值
【点评】
本题解题核心是利用x轴上点的坐标特征得到两个函数与x轴交点横坐标相等，从而建立a、b的数量关系，计算时注意原点外的条件可保证分母不为0，避免出现无意义的情况，也可直接用含a的式子表示b后代入计算，方法灵活。
【难度系数】
0.6
9. 如图所示的是函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象，则方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=mx+n\end{cases}$的解对应的点关于$x$轴的对称点的坐标是 ______ .
答案
9.$(-2,-3)$
解析
【分析】
解决本题需分两步思考：第一步，明确二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点的关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标就是对应的二元一次方程组中x、y的值，因此先从图象中读取两个函数的交点坐标，即可得到方程组的解对应的点；第二步，回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律计算对称点坐标即可。
【解析】
由图象可知，函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象交点$P$的坐标为$(-2,3)$，
根据一次函数与二元一次方程组的关系，可得方程组$\begin{cases}y=kx+b \\ y=mx+n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$，对应的点坐标为$(-2,3)$。
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得$(-2,3)$关于x轴的对称点的坐标为$(-2,-3)$。
【答案】
$(-2,-3)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，只要掌握一次函数交点和方程组解的对应关系，以及坐标轴对称的坐标变化规律，就能快速得出结果，是对基础知识掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.8
解决本题需分两步思考：第一步，明确二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点的关系：两个一次函数图象的交点的横、纵坐标就是对应的二元一次方程组中x、y的值，因此先从图象中读取两个函数的交点坐标，即可得到方程组的解对应的点；第二步，回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律计算对称点坐标即可。
【解析】
由图象可知，函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象交点$P$的坐标为$(-2,3)$，
根据一次函数与二元一次方程组的关系，可得方程组$\begin{cases}y=kx+b \\ y=mx+n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$，对应的点坐标为$(-2,3)$。
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得$(-2,3)$关于x轴的对称点的坐标为$(-2,-3)$。
【答案】
$(-2,-3)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，只要掌握一次函数交点和方程组解的对应关系，以及坐标轴对称的坐标变化规律，就能快速得出结果，是对基础知识掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.8
10. 如图，直线$l_1: y_1=ax+b$经过$(-3,0),(0,1)$两点，直线$l_2: y_2=kx-2$.
(1) 若$l_1 // l_2$，则$k$的值为
(2) 当$x＜1$时，总有$y_1＞y_2$，则$k$的取值范围是
(1) 若$l_1 // l_2$，则$k$的值为
$\frac{1}{3}$
；(2) 当$x＜1$时，总有$y_1＞y_2$，则$k$的取值范围是
$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$
.答案
10.(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$ 【点拨】(1)将点$(-3,0),(0,1)$的坐标代入$y_1 = ax + b$,得$\begin{cases}0=-3a+b,\\1=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\b=1,\end{cases}$所以$y_1 = \frac{1}{3}x + 1$.因为$l_1 // l_2$,所以$k=\frac{1}{3}$.(2)将$x=1$代入$y_1 = \frac{1}{3}x + 1$,得$y=\frac{4}{3}$,所以直线$l_1$经过点$(1,\frac{4}{3})$.如图,直线$l_2$经过定点$(0,-2)$,当直线$l_2$经过点$(1,\frac{4}{3})$时,满足题意,易知此时$k=\frac{10}{3}$;当直线$l_2$与直线$l_1$平行时,满足题意,由(1)知此时$k=\frac{1}{3}$.结合图象
可知$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$.解析
【分析】
(1) 先通过待定系数法，将直线$l_1$经过的两个已知点坐标代入解析式，求出$l_1$的一次项系数，再根据两直线平行时一次项系数相等的性质，即可得到$k$的值。
(2) 首先明确直线$l_2$恒过定点$(0,-2)$，要满足$x＜1$时$y_1＞y_2$，需找到两个边界情况：一是$l_2$与$l_1$平行时，此时$y_1$始终大于$y_2$，符合要求；二是$x=1$时$y_1=y_2$的临界情况，若$k$超过这个临界值，$x＜1$时就会出现$y_2＞y_1$的情况，求出该临界$k$值后，结合图像即可确定$k$的取值范围，注意边界值均符合要求需取等号。
【解析】
(1) 求直线$l_1$的解析式：
将点$(-3,0)$、$(0,1)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}0=-3a+b\\1=b\end{cases}$
把$b=1$代入第一个方程，解得$a=\frac{1}{3}$，因此$y_1=\frac{1}{3}x+1$。
因为$l_1 // l_2$，两直线平行时一次项系数相等，所以$k=a=\frac{1}{3}$。
(2) 直线$l_2:y_2=kx-2$恒过定点$(0,-2)$。
先计算$x=1$时$y_1$的取值：把$x=1$代入$y_1=\frac{1}{3}x+1$，得$y_1=\frac{1}{3}×1+1=\frac{4}{3}$，即$l_1$过点$(1,\frac{4}{3})$。
当$l_2$经过点$(1,\frac{4}{3})$时为临界情况，将$(1,\frac{4}{3})$代入$y_2=kx-2$，得：
$\frac{4}{3}=k-2$，解得$k=\frac{10}{3}$。
结合(1)的结论，当$l_2$与$l_1$平行时$k=\frac{1}{3}$，此时$y_1$始终比$y_2$大3，满足$x＜1$时$y_1＞y_2$的要求。
结合可知，$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$时，$x＜1$总有$y_1＞y_2$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；两直线平行的条件；一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数性质的综合应用，解题时要灵活运用待定系数法求解析式，结合数形结合思想分析边界情况，注意端点值的取舍。
【难度系数】
0.65
(1) 先通过待定系数法，将直线$l_1$经过的两个已知点坐标代入解析式，求出$l_1$的一次项系数，再根据两直线平行时一次项系数相等的性质，即可得到$k$的值。
(2) 首先明确直线$l_2$恒过定点$(0,-2)$，要满足$x＜1$时$y_1＞y_2$，需找到两个边界情况：一是$l_2$与$l_1$平行时，此时$y_1$始终大于$y_2$，符合要求；二是$x=1$时$y_1=y_2$的临界情况，若$k$超过这个临界值，$x＜1$时就会出现$y_2＞y_1$的情况，求出该临界$k$值后，结合图像即可确定$k$的取值范围，注意边界值均符合要求需取等号。
【解析】
(1) 求直线$l_1$的解析式：
将点$(-3,0)$、$(0,1)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}0=-3a+b\\1=b\end{cases}$
把$b=1$代入第一个方程，解得$a=\frac{1}{3}$，因此$y_1=\frac{1}{3}x+1$。
因为$l_1 // l_2$，两直线平行时一次项系数相等，所以$k=a=\frac{1}{3}$。
(2) 直线$l_2:y_2=kx-2$恒过定点$(0,-2)$。
先计算$x=1$时$y_1$的取值：把$x=1$代入$y_1=\frac{1}{3}x+1$，得$y_1=\frac{1}{3}×1+1=\frac{4}{3}$，即$l_1$过点$(1,\frac{4}{3})$。
当$l_2$经过点$(1,\frac{4}{3})$时为临界情况，将$(1,\frac{4}{3})$代入$y_2=kx-2$，得：
$\frac{4}{3}=k-2$，解得$k=\frac{10}{3}$。
结合(1)的结论，当$l_2$与$l_1$平行时$k=\frac{1}{3}$，此时$y_1$始终比$y_2$大3，满足$x＜1$时$y_1＞y_2$的要求。
结合
可知，$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$时，$x＜1$总有$y_1＞y_2$。【答案】
(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{1}{3}≤k≤\frac{10}{3}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；两直线平行的条件；一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数性质的综合应用，解题时要灵活运用待定系数法求解析式，结合数形结合思想分析边界情况，注意端点值的取舍。
【难度系数】
0.65
三、解答题(共50分)
11.(16分)[2025陕西]研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
11.(16分)[2025陕西]研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
答案
11.【解】(1)设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}596=25k+b,\\606=30k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=546,\end{cases}$故y与x之间的函数关系式为$y=2x+546$.(2)令$y=700$,则$2x+546=700$,解得$x=77$.答:停止加热时的气体温度为77 ℃.
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 题目已明确y与x成一次函数关系，因此采用待定系数法求解析式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值，即可得到y与x的函数关系式，可代入第三组数据验证结果是否正确。
(2) 求气体体积为700L时的温度，就是已知函数值y求自变量x的值，将y=700代入第一问求出的函数关系式，解一元一次方程即可得到对应的温度值。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=25,y=596\\x=30,y=606\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}596=25k+b\\606=30k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$596=25k+b$，得$596=25×2+b$，解得$b=546$，
代入$x=35$验证：$y=2×35+546=616$，与表格数据一致，
故y与x之间的函数关系式为$y=2x+546$。
(2) 令$y=700$，代入函数关系式得：
$2x+546=700$
移项得$2x=700-546=154$，
解得$x=77$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+546}$
(2) $\boldsymbol{77° C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次方程的解法
【点评】
本题结合物理场景考查一次函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及利用函数解析式实现函数值和自变量值的相互转化，属于常规基础应用题，解题时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.8
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 题目已明确y与x成一次函数关系，因此采用待定系数法求解析式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值，即可得到y与x的函数关系式，可代入第三组数据验证结果是否正确。
(2) 求气体体积为700L时的温度，就是已知函数值y求自变量x的值，将y=700代入第一问求出的函数关系式，解一元一次方程即可得到对应的温度值。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中两组数据$\begin{cases}x=25,y=596\\x=30,y=606\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}596=25k+b\\606=30k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$596=25k+b$，得$596=25×2+b$，解得$b=546$，
代入$x=35$验证：$y=2×35+546=616$，与表格数据一致，
故y与x之间的函数关系式为$y=2x+546$。
(2) 令$y=700$，代入函数关系式得：
$2x+546=700$
移项得$2x=700-546=154$，
解得$x=77$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+546}$
(2) $\boldsymbol{77° C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次方程的解法
【点评】
本题结合物理场景考查一次函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及利用函数解析式实现函数值和自变量值的相互转化，属于常规基础应用题，解题时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.8
