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12. (16分) 新考法 数形结合法 在如图所示的平面直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,且顶点A,B的坐标分别为(1,2),(5,2).
(1)点C的坐标为
(2)若一次函数$y=ax-4(a≠0)$的图象经过点C,求这个函数的表达式;
(3)若(2)中函数的图象与x轴交于点E,连接OC,则三角形OCE的面积为
(4)若直线$y=kx+b$与(2)中的函数图象平行且位于B,D两点之间(包含B,D两点),则b的取值范围为
(1)点C的坐标为
$(5,6)$
,点D的坐标为$(1,6)$
;(2)若一次函数$y=ax-4(a≠0)$的图象经过点C,求这个函数的表达式;
(3)若(2)中函数的图象与x轴交于点E,连接OC,则三角形OCE的面积为
$6$
;(4)若直线$y=kx+b$与(2)中的函数图象平行且位于B,D两点之间(包含B,D两点),则b的取值范围为
$-8≤b≤4且b≠-4$
.答案
12.【解】(1)$(5,6)$;$(1,6)$(2)因为一次函数$y=ax-4(a≠0)$的图象经过点C,所以将点$C(5,6)$的坐标代入$y=ax-4$,得$6=5a-4$,解得$a=2$.所以$y=2x-4$.(3)6 【点拨】在$y=2x-4$中,令$y=0$,则$2x-4=0$,解得$x=2$,所以$E(2,0)$.如图所示
.易得$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×2×6=6$.(4)$-8≤b≤4$且$b≠-4$ 【点拨】由题意知,直线$y=kx+b$与$y=2x-4$平行,则$k=2$,所以$y=2x+b$.若直线$y=2x+b$过点$B(5,2)$,则$2×5+b=2$,解得$b=-8$;若直线$y=2x+b$过点$D(1,6)$,则$2×1+b=6$,解得$b=4$.所以$-8≤b≤4$且$b≠-4$.解析
【分析】
(1) 先根据A、B的坐标判断AB的位置：A(1,2)、B(5,2)纵坐标相同，说明AB是水平线段，长度为5-1=4，即正方形边长为4。正方形的边BC垂直AB向上，所以C点横坐标和B相同为5，纵坐标为2+4=6；边AD垂直AB向上，D点横坐标和A相同为1，纵坐标为2+4=6，即可得到C、D坐标。
(2) 已知一次函数过点C，用待定系数法，把C点坐标代入函数表达式，解出a的值即可得到函数解析式。
(3) 先求一次函数与x轴交点E的坐标：令y=0，解出x的值即得E点坐标，三角形OCE的底是OE的长度，高是C点的纵坐标（因为E在x轴上，点C到x轴的距离就是其纵坐标），用三角形面积公式计算即可。
(4) 两直线平行则斜率相等，所以k=2，得到直线表达式为y=2x+b，分别将B、D两点代入求出对应的b值，即可得到b的范围，注意该直线不能与(2)中的函数重合，所以要排除b=-4的情况。
【解析】
(1)
∵A(1,2)，B(5,2)，
∴AB长为5-1=4，且AB平行于x轴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，AD⊥AB，BC=AD=4，
∴C点横坐标为5，纵坐标为2+4=6，即C(5,6)；
D点横坐标为1，纵坐标为2+4=6，即D(1,6)。
(2) 将点C(5,6)代入y=ax-4，得：
6=5a-4，
解得a=2，
∴这个一次函数的表达式为y=2x-4。
(3) 在y=2x-4中，令y=0，得2x-4=0，解得x=2，
∴E点坐标为(2,0)，即OE=2，
点C纵坐标为6，即△OCE中OE边上的高为6，
∴$S_{△OCE}=\frac{1}{2}×OE×6=\frac{1}{2}×2×6=6$。
(4)
∵直线y=kx+b与y=2x-4平行，
∴k=2，即直线为y=2x+b，
若直线过点B(5,2)，代入得2=2×5+b，解得b=-8；
若直线过点D(1,6)，代入得6=2×1+b，解得b=4；
∵直线位于B、D两点之间（包含B、D），且不能与y=2x-4重合，
∴b的取值范围是-8≤b≤4且b≠-4。
【答案】
(1)$(5,6)$；$(1,6)$
(2)$y=2x-4$
(3)6 【点拨】在$y=2x-4$中,令$y=0$,则$2x-4=0$,解得$x=2$,所以$E(2,0)$.如图所示.易得$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×2×6=6$.
(4)$-8≤b≤4$且$b≠-4$ 【点拨】由题意知,直线$y=kx+b$与$y=2x-4$平行,则$k=2$,所以$y=2x+b$.若直线$y=2x+b$过点$B(5,2)$,则$2×5+b=2$,解得$b=-8$;若直线$y=2x+b$过点$D(1,6)$,则$2×1+b=6$,解得$b=4$.所以$-8≤b≤4$且$b≠-4$.
【知识点】
正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质
【点评】
本题以正方形和平面直角坐标系为载体，综合考察了坐标计算、一次函数解析式求解、图形面积计算和平行直线的性质，渗透了数形结合思想，题目难度适中，需要注意平行直线斜率相等的特点，以及取值范围中特殊值的排除。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据A、B的坐标判断AB的位置：A(1,2)、B(5,2)纵坐标相同，说明AB是水平线段，长度为5-1=4，即正方形边长为4。正方形的边BC垂直AB向上，所以C点横坐标和B相同为5，纵坐标为2+4=6；边AD垂直AB向上，D点横坐标和A相同为1，纵坐标为2+4=6，即可得到C、D坐标。
(2) 已知一次函数过点C，用待定系数法，把C点坐标代入函数表达式，解出a的值即可得到函数解析式。
(3) 先求一次函数与x轴交点E的坐标：令y=0，解出x的值即得E点坐标，三角形OCE的底是OE的长度，高是C点的纵坐标（因为E在x轴上，点C到x轴的距离就是其纵坐标），用三角形面积公式计算即可。
(4) 两直线平行则斜率相等，所以k=2，得到直线表达式为y=2x+b，分别将B、D两点代入求出对应的b值，即可得到b的范围，注意该直线不能与(2)中的函数重合，所以要排除b=-4的情况。
【解析】
(1)
∵A(1,2)，B(5,2)，
∴AB长为5-1=4，且AB平行于x轴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，AD⊥AB，BC=AD=4，
∴C点横坐标为5，纵坐标为2+4=6，即C(5,6)；
D点横坐标为1，纵坐标为2+4=6，即D(1,6)。
(2) 将点C(5,6)代入y=ax-4，得：
6=5a-4，
解得a=2，
∴这个一次函数的表达式为y=2x-4。
(3) 在y=2x-4中，令y=0，得2x-4=0，解得x=2，
∴E点坐标为(2,0)，即OE=2，
点C纵坐标为6，即△OCE中OE边上的高为6，
∴$S_{△OCE}=\frac{1}{2}×OE×6=\frac{1}{2}×2×6=6$。
(4)
∵直线y=kx+b与y=2x-4平行，
∴k=2，即直线为y=2x+b，
若直线过点B(5,2)，代入得2=2×5+b，解得b=-8；
若直线过点D(1,6)，代入得6=2×1+b，解得b=4；
∵直线位于B、D两点之间（包含B、D），且不能与y=2x-4重合，
∴b的取值范围是-8≤b≤4且b≠-4。
【答案】
(1)$(5,6)$；$(1,6)$
(2)$y=2x-4$
(3)6 【点拨】在$y=2x-4$中,令$y=0$,则$2x-4=0$,解得$x=2$,所以$E(2,0)$.如图所示
.易得$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×2×6=6$.(4)$-8≤b≤4$且$b≠-4$ 【点拨】由题意知,直线$y=kx+b$与$y=2x-4$平行,则$k=2$,所以$y=2x+b$.若直线$y=2x+b$过点$B(5,2)$,则$2×5+b=2$,解得$b=-8$;若直线$y=2x+b$过点$D(1,6)$,则$2×1+b=6$,解得$b=4$.所以$-8≤b≤4$且$b≠-4$.
【知识点】
正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质
【点评】
本题以正方形和平面直角坐标系为载体，综合考察了坐标计算、一次函数解析式求解、图形面积计算和平行直线的性质，渗透了数形结合思想，题目难度适中，需要注意平行直线斜率相等的特点，以及取值范围中特殊值的排除。
【难度系数】
0.7
13. (18分) [2026合肥期中] 如图，直线$ l_1:y=-x+6 $与x轴，y轴分别交于点A,B，直线$ l_2:y=\frac{1}{2}mx - m + 4 $与x轴，y轴分别交于点C,D，与直线$ l_1 $交于点M，点P在直线$ l_2 $上，过点P作$ PQ// y $轴，交直线$ l_1 $于点Q，D为OB的中点.
(1)①求直线$ l_2 $的表达式；
②求三角形BDM的面积；
(2)①如果线段PQ的长为6，求点P的坐标；
②我们规定:横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点.如果$ 7≤ PQ≤10 $，请写出所有符合条件的整点P的坐标.
(1)①求直线$ l_2 $的表达式；
②求三角形BDM的面积；
(2)①如果线段PQ的长为6，求点P的坐标；
②我们规定:横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点.如果$ 7≤ PQ≤10 $，请写出所有符合条件的整点P的坐标.
答案
13.【解】(1)①把$x=0$代入$y=-x+6$,得$y=6$,所以$B(0,6)$,所以$OB=6$.因为D为OB的中点,所以$OD=BD=\frac{1}{2}OB=3$,所以$D(0,3)$.把$D(0,3)$的坐标代入$y=\frac{1}{2}mx - m + 4$,得$3=-m+4$,所以$m=1$,所以直线$l_2$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$.②联立得$\begin{cases}y=-x+6,\\y=\frac{1}{2}x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=4,\end{cases}$所以$M(2,4)$,所以$S_{△ BDM}=\frac{1}{2}BD·x_M=\frac{1}{2}×3×2=3$.(2)①设$P(m,\frac{1}{2}m+3)$,因为$PQ// y$轴,所以$Q(m,-m+6)$.因为线段PQ的长为6,所以$\left|\frac{1}{2}m+3-(-m+6)\right|=6$,即$\left|\frac{3}{2}m-3\right|=6$,解得$m=-2$或$m=6$,所以点P的坐标为$(-2,2)$或$(6,6)$.②由①可得,$7≤\left|\frac{3}{2}m-3\right|≤10$,即$7≤\frac{3}{2}m-3≤10$ 或$-10≤\frac{3}{2}m-3≤-7$,解得$\frac{20}{3}≤m≤\frac{26}{3}$ 或$-\frac{14}{3}≤m≤-\frac{8}{3}$.因为m和$\frac{1}{2}m+3$都是整数,所以$m=8$或$-4$,所以整点P的坐标$(8,7)$或$(-4,1)$.
解析
【分析】
(1)①要确定直线$l_2$的表达式，需先求参数$m$的值：先将$x=0$代入$l_1$的解析式求出点$B$坐标，再根据$D$是$OB$中点得到$D$点坐标，将$D$坐标代入$l_2$的解析式即可求出$m$，得到$l_2$的表达式。②求$△ BDM$的面积，需先联立$l_1$和$l_2$的解析式解出交点$M$的坐标；观察可知$BD$在$y$轴上，$BD$的长度为底，$M$点的横坐标为高，代入三角形面积公式即可计算。
(2)①$PQ// y$轴说明$P$、$Q$横坐标相同，设$P$的横坐标为$m$，分别写出$P$、$Q$的纵坐标，根据$PQ$长度为6，即两点纵坐标差的绝对值为6，列绝对值方程求解即可得到$P$的坐标。②先根据$7≤ PQ≤10$列绝对值不等式，解出$m$的取值范围，再根据整点要求（横坐标、纵坐标均为整数），在范围内筛选符合条件的$m$值，即可得到对应整点$P$的坐标。
【解析】
(1)①把$x=0$代入$y=-x+6$，得$y=6$，所以$B(0,6)$，$OB=6$。
因为$D$为$OB$的中点，所以$OD=BD=\frac{1}{2}OB=3$，即$D(0,3)$。
将$D(0,3)$代入$y=\frac{1}{2}mx - m + 4$，得$3=-m+4$，解得$m=1$，
因此直线$l_2$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
②联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases} y=-x+6 \\ y=\frac{1}{2}x+3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$，即交点$M(2,4)$。
$△ BDM$中，底$BD=3$，$BD$边上的高为$M$点的横坐标$2$，
所以$S_{△ BDM}=\frac{1}{2}× BD× x_M=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(2)①设点$P$的横坐标为$m$，则$P(m,\frac{1}{2}m+3)$，
因为$PQ// y$轴，所以$Q$点横坐标也为$m$，代入$l_1$得$Q(m,-m+6)$。
由$PQ=6$，得$\left|(\frac{1}{2}m+3)-(-m+6)\right|=6$，
化简得$\left|\frac{3}{2}m-3\right|=6$，
即$\frac{3}{2}m-3=6$或$\frac{3}{2}m-3=-6$，
解得$m=6$或$m=-2$，
对应$P$点坐标为$(6,6)$或$(-2,2)$。
②由题意得$7≤\left|\frac{3}{2}m-3\right|≤10$，分两种情况讨论：
情况1：$\frac{3}{2}m-3≥0$时，$7≤\frac{3}{2}m-3≤10$，解得$\frac{20}{3}≤ m≤\frac{26}{3}$；
情况2：$\frac{3}{2}m-3＜0$时，$-10≤\frac{3}{2}m-3≤-7$，解得$-\frac{14}{3}≤ m≤-\frac{8}{3}$。
因为$P$为整点，即$m$和$\frac{1}{2}m+3$均为整数，所以$m$为偶数：
在$\frac{20}{3}≤ m≤\frac{26}{3}$（约$6.67≤ m≤8.67$）中，符合条件的$m=8$，对应$P(8,7)$；
在$-\frac{14}{3}≤ m≤-\frac{8}{3}$（约$-4.67≤ m≤-2.67$）中，符合条件的$m=-4$，对应$P(-4,1)$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+3}$；②$\boldsymbol{3}$
(2)①$\boldsymbol{(-2,2)}$或$\boldsymbol{(6,6)}$；②$\boldsymbol{(8,7)}$、$\boldsymbol{(-4,1)}$
【知识点】
一次函数解析式确定，一次函数交点计算，绝对值方程与不等式应用
【点评】
本题是一次函数综合应用题，融合了坐标求解、面积计算、动点线段长度及整点筛选等考点，解题时要利用好平行于y轴的点横坐标相等的性质，处理绝对值相关问题需用到分类讨论思想，能够考查一次函数基础应用能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1)①要确定直线$l_2$的表达式，需先求参数$m$的值：先将$x=0$代入$l_1$的解析式求出点$B$坐标，再根据$D$是$OB$中点得到$D$点坐标，将$D$坐标代入$l_2$的解析式即可求出$m$，得到$l_2$的表达式。②求$△ BDM$的面积，需先联立$l_1$和$l_2$的解析式解出交点$M$的坐标；观察可知$BD$在$y$轴上，$BD$的长度为底，$M$点的横坐标为高，代入三角形面积公式即可计算。
(2)①$PQ// y$轴说明$P$、$Q$横坐标相同，设$P$的横坐标为$m$，分别写出$P$、$Q$的纵坐标，根据$PQ$长度为6，即两点纵坐标差的绝对值为6，列绝对值方程求解即可得到$P$的坐标。②先根据$7≤ PQ≤10$列绝对值不等式，解出$m$的取值范围，再根据整点要求（横坐标、纵坐标均为整数），在范围内筛选符合条件的$m$值，即可得到对应整点$P$的坐标。
【解析】
(1)①把$x=0$代入$y=-x+6$，得$y=6$，所以$B(0,6)$，$OB=6$。
因为$D$为$OB$的中点，所以$OD=BD=\frac{1}{2}OB=3$，即$D(0,3)$。
将$D(0,3)$代入$y=\frac{1}{2}mx - m + 4$，得$3=-m+4$，解得$m=1$，
因此直线$l_2$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$。
②联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases} y=-x+6 \\ y=\frac{1}{2}x+3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$，即交点$M(2,4)$。
$△ BDM$中，底$BD=3$，$BD$边上的高为$M$点的横坐标$2$，
所以$S_{△ BDM}=\frac{1}{2}× BD× x_M=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(2)①设点$P$的横坐标为$m$，则$P(m,\frac{1}{2}m+3)$，
因为$PQ// y$轴，所以$Q$点横坐标也为$m$，代入$l_1$得$Q(m,-m+6)$。
由$PQ=6$，得$\left|(\frac{1}{2}m+3)-(-m+6)\right|=6$，
化简得$\left|\frac{3}{2}m-3\right|=6$，
即$\frac{3}{2}m-3=6$或$\frac{3}{2}m-3=-6$，
解得$m=6$或$m=-2$，
对应$P$点坐标为$(6,6)$或$(-2,2)$。
②由题意得$7≤\left|\frac{3}{2}m-3\right|≤10$，分两种情况讨论：
情况1：$\frac{3}{2}m-3≥0$时，$7≤\frac{3}{2}m-3≤10$，解得$\frac{20}{3}≤ m≤\frac{26}{3}$；
情况2：$\frac{3}{2}m-3＜0$时，$-10≤\frac{3}{2}m-3≤-7$，解得$-\frac{14}{3}≤ m≤-\frac{8}{3}$。
因为$P$为整点，即$m$和$\frac{1}{2}m+3$均为整数，所以$m$为偶数：
在$\frac{20}{3}≤ m≤\frac{26}{3}$（约$6.67≤ m≤8.67$）中，符合条件的$m=8$，对应$P(8,7)$；
在$-\frac{14}{3}≤ m≤-\frac{8}{3}$（约$-4.67≤ m≤-2.67$）中，符合条件的$m=-4$，对应$P(-4,1)$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+3}$；②$\boldsymbol{3}$
(2)①$\boldsymbol{(-2,2)}$或$\boldsymbol{(6,6)}$；②$\boldsymbol{(8,7)}$、$\boldsymbol{(-4,1)}$
【知识点】
一次函数解析式确定，一次函数交点计算，绝对值方程与不等式应用
【点评】
本题是一次函数综合应用题，融合了坐标求解、面积计算、动点线段长度及整点筛选等考点，解题时要利用好平行于y轴的点横坐标相等的性质，处理绝对值相关问题需用到分类讨论思想，能够考查一次函数基础应用能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
