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3. 真实情境题 网络销售 为打造特色乡镇，充分利用生态资源，整合闲置资源，推动以城带乡、以工促农、城乡融合发展模式，某镇大力种植一种具有观赏价值的苗木，为尽快打开市场，准备把实体销售渠道向网络拓展，发展“实体＋网络”的销售模式，每株苗木的标价为4元，具体优惠标准如下：①实体销售，每株按标价六折出售；②网络销售（顾客免运费），每株按标价八折出售，购买超过100株，超过的部分每株再降1.2元，若购买这种苗木x株，在实体店购买所需费用为$y_1$元，通过网络购买所需费用为$y_2$元.
(1)分别求$y_1$，$y_2$与x之间的函数关系式.
(2)不考虑其他情况，王叔叔计划用600元来购买这种苗木，则他选择哪种方式购买的苗木更多？
(1)分别求$y_1$，$y_2$与x之间的函数关系式.
(2)不考虑其他情况，王叔叔计划用600元来购买这种苗木，则他选择哪种方式购买的苗木更多？
答案
(1)$y_1$与$x$之间的函数关系式为$y_1=0.6×4x=2.4x$。
当$0＜x≤ 100$时，$y_2=0.8×4x=3.2x$；
当$x＞100$时，$y_2=0.8×4×100+(0.8×4-1.2)(x-100)=2x+120$。
所以$y_2$与$x$之间的函数关系式为$y_2=\begin{cases}3.2x(0＜x≤ 100),\\2x+120(x＞100).\end{cases}$
(2)当$y_1=600$时，则$2.4x=600$，解得$x=250$。
因为$3.2×100=320＜600$，所以用600元通过网络购买的苗木超过了100株。
则当$y_2=600$时，有$2x+120=600$，解得$x=240$。
因为$250＞240$，所以选择实体店购买的苗木更多。
当$0＜x≤ 100$时，$y_2=0.8×4x=3.2x$；
当$x＞100$时，$y_2=0.8×4×100+(0.8×4-1.2)(x-100)=2x+120$。
所以$y_2$与$x$之间的函数关系式为$y_2=\begin{cases}3.2x(0＜x≤ 100),\\2x+120(x＞100).\end{cases}$
(2)当$y_1=600$时，则$2.4x=600$，解得$x=250$。
因为$3.2×100=320＜600$，所以用600元通过网络购买的苗木超过了100株。
则当$y_2=600$时，有$2x+120=600$，解得$x=240$。
因为$250＞240$，所以选择实体店购买的苗木更多。
解析
【分析】
首先求解第一问的函数关系式：①实体销售无购买数量限制，先计算六折后的单株售价，再根据“总费用=单株售价×购买数量”直接写$y_1$的表达式；②网络销售为分段优惠，需分购买数量不超过100株、超过100株两种情况讨论：不超过100株时按八折计算单株售价，直接列表达式；超过100株时，100株按八折收费，超出部分单株售价再减1.2元，两部分费用相加即可得到$x＞100$时的$y_2$表达式。
第二问比较600元在哪种渠道购买的苗木更多，只需将总费用600分别代入两个函数求出对应的购买数量，注意代入$y_2$时先判断600元对应的购买数量是否超过100株，选对分段表达式计算后再比较两个数量的大小即可。
【解析】
(1) 实体销售每株实际售价为$4×0.6=2.4$元，因此：
$y_1=2.4x$（$x$为正整数）
网络销售分两种情况：
①当$0＜x≤100$时，每株实际售价为$4×0.8=3.2$元，因此：
$y_2=3.2x$
②当$x＞100$时，前100株费用为$3.2×100=320$元，超出100株的部分每株售价为$3.2-1.2=2$元，因此总费用为：
$y_2=320+2(x-100)=2x+120$
综上，$y_2=\begin{cases}3.2x(0＜x≤100)\\2x+120(x＞100)\end{cases}$（$x$为正整数）
(2) 计算600元在实体店的购买数量：
令$y_1=600$，代入$y_1=2.4x$得：
$2.4x=600$，解得$x=250$
计算600元在网络渠道的购买数量：
购买100株的网络费用为$3.2×100=320$元，$320＜600$，说明购买数量超过100株，代入$x＞100$时的$y_2$表达式：
令$y_2=600$，得$2x+120=600$，解得$x=240$
因为$250＞240$，所以选择实体店购买的苗木更多。
【答案】
(1) $y_1=2.4x$；$y_2=\begin{cases}3.2x(0＜x≤ 100)\\2x+120(x＞100)\end{cases}$
(2) 选择实体店购买的苗木更多。
【知识点】
一次函数解析式求解；分段函数应用；函数实际求值
【点评】
本题结合真实销售情境考查一次函数的实际应用，解题核心是梳理清楚不同优惠规则对应的函数关系，代入求值时要先判断数量所属的优惠区间，避免错用表达式导致计算错误，能有效锻炼用数学知识解决生活实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先求解第一问的函数关系式：①实体销售无购买数量限制，先计算六折后的单株售价，再根据“总费用=单株售价×购买数量”直接写$y_1$的表达式；②网络销售为分段优惠，需分购买数量不超过100株、超过100株两种情况讨论：不超过100株时按八折计算单株售价，直接列表达式；超过100株时，100株按八折收费，超出部分单株售价再减1.2元，两部分费用相加即可得到$x＞100$时的$y_2$表达式。
第二问比较600元在哪种渠道购买的苗木更多，只需将总费用600分别代入两个函数求出对应的购买数量，注意代入$y_2$时先判断600元对应的购买数量是否超过100株，选对分段表达式计算后再比较两个数量的大小即可。
【解析】
(1) 实体销售每株实际售价为$4×0.6=2.4$元，因此：
$y_1=2.4x$（$x$为正整数）
网络销售分两种情况：
①当$0＜x≤100$时，每株实际售价为$4×0.8=3.2$元，因此：
$y_2=3.2x$
②当$x＞100$时，前100株费用为$3.2×100=320$元，超出100株的部分每株售价为$3.2-1.2=2$元，因此总费用为：
$y_2=320+2(x-100)=2x+120$
综上，$y_2=\begin{cases}3.2x(0＜x≤100)\\2x+120(x＞100)\end{cases}$（$x$为正整数）
(2) 计算600元在实体店的购买数量：
令$y_1=600$，代入$y_1=2.4x$得：
$2.4x=600$，解得$x=250$
计算600元在网络渠道的购买数量：
购买100株的网络费用为$3.2×100=320$元，$320＜600$，说明购买数量超过100株，代入$x＞100$时的$y_2$表达式：
令$y_2=600$，得$2x+120=600$，解得$x=240$
因为$250＞240$，所以选择实体店购买的苗木更多。
【答案】
(1) $y_1=2.4x$；$y_2=\begin{cases}3.2x(0＜x≤ 100)\\2x+120(x＞100)\end{cases}$
(2) 选择实体店购买的苗木更多。
【知识点】
一次函数解析式求解；分段函数应用；函数实际求值
【点评】
本题结合真实销售情境考查一次函数的实际应用，解题核心是梳理清楚不同优惠规则对应的函数关系，代入求值时要先判断数量所属的优惠区间，避免错用表达式导致计算错误，能有效锻炼用数学知识解决生活实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. ★★ 如图①，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm²)，S与t之间的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
(1)点P在AB上运动的时间为
(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式.
(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm²？
(1)点P在AB上运动的时间为
6
s，在CD上运动的速度为2
cm/s，三角形APD的面积的最大值为18
cm².(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式.
(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm²？
答案
(1)6；2；18
(2)当点P在CD上时，$PD=6-2(t-12)=(30-2t)(\mathrm{cm})$，所以$S=\frac{1}{2}×6×(30-2t)=90-6t$，即点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式为$S=90-6t(12≤ t＜15)$。
(3)当$0＜t≤ 6$时，易求得$S=3t$，将$S=10$代入，得$3t=10$，解得$t=\frac{10}{3}$；
当$12≤ t＜15$时，$S=90-6t$，将$S=10$代入，得$90-6t=10$，解得$t=\frac{40}{3}$。
所以当$t$为$\frac{10}{3}$或$\frac{40}{3}$时，三角形APD的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$。
(2)当点P在CD上时，$PD=6-2(t-12)=(30-2t)(\mathrm{cm})$，所以$S=\frac{1}{2}×6×(30-2t)=90-6t$，即点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式为$S=90-6t(12≤ t＜15)$。
(3)当$0＜t≤ 6$时，易求得$S=3t$，将$S=10$代入，得$3t=10$，解得$t=\frac{10}{3}$；
当$12≤ t＜15$时，$S=90-6t$，将$S=10$代入，得$90-6t=10$，解得$t=\frac{40}{3}$。
所以当$t$为$\frac{10}{3}$或$\frac{40}{3}$时，三角形APD的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时先结合函数图像和动点运动路径分析各阶段的对应关系：①0~6s，S随t增大而增大，对应点P在AB上运动，此时△APD的底AD固定，高AP逐渐增大，面积逐渐变大；②6~12s，S保持不变，对应点P在BC上运动，此时△APD的高始终等于正方形边长，面积不变；③12~15s，S随t增大而减小，对应点P在CD上运动，此时△APD的高PD逐渐减小，面积逐渐变小。
(1)直接从图像读取P在AB上的运动时间，结合CD边长和CD段运动时间求速度，图像最高点的纵坐标就是最大面积。
(2)先表示出点P在CD上时PD的长度，再利用三角形面积公式推导S与t的函数表达式，注意自变量取值范围。
(3)分点P在AB上、点P在CD上两种情况，分别代入对应段的函数表达式，解方程求t即可，P在BC上时面积恒为18，无需考虑。
【解析】
解：(1)由函数图像可知，0~6s对应P在AB上运动，故运动时间为6s；
点P在CD上运动的时间为$15-12=3(\mathrm{s})$，CD长为6cm，因此速度为$6÷3=2(\mathrm{cm/s})$；
函数图像最高点纵坐标为18，故△APD的面积最大值为$18\mathrm{cm}^2$。
(2)当点P在CD上运动时，时间t满足$12≤ t＜15$，
点P从C出发向D运动的路程为$2(t-12)\mathrm{cm}$，因此PD的长度为$6 - 2(t-12) = (30-2t)\mathrm{cm}$，
△APD的面积$S = \frac{1}{2}×AD×PD$，$AD=6\mathrm{cm}$，代入得：
$S = \frac{1}{2}×6×(30-2t) = 90 - 6t$，
即函数表达式为$S=90-6t(12≤ t＜15)$。
(3)分两种情况讨论：
①当点P在AB上，即$0＜t≤ 6$时，点P的运动速度为$6÷6=1(\mathrm{cm/s})$，故$AP=t\ \mathrm{cm}$，
此时$S = \frac{1}{2}×6×t = 3t$，
将$S=10$代入得$3t=10$，解得$t=\frac{10}{3}$；
②当点P在CD上，即$12≤ t＜15$时，$S=90-6t$，
将$S=10$代入得$90-6t=10$，解得$t=\frac{40}{3}$；
点P在BC上时$S=18≠10$，不符合要求。
【答案】
(1)6；2；18
(2)$S=90-6t(12≤ t＜15)$
(3)$t=\frac{10}{3}$或$t=\frac{40}{3}$
【知识点】
一次函数的应用；动点问题的函数图像；三角形面积计算
【点评】
本题将动点运动与函数图像结合，重点考查分段函数的分析与应用，解题的关键是读懂函数图像各段对应的动点位置，结合几何图形的性质推导各段的函数表达式，注意不要遗漏自变量的取值范围和符合要求的解的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先结合函数图像和动点运动路径分析各阶段的对应关系：①0~6s，S随t增大而增大，对应点P在AB上运动，此时△APD的底AD固定，高AP逐渐增大，面积逐渐变大；②6~12s，S保持不变，对应点P在BC上运动，此时△APD的高始终等于正方形边长，面积不变；③12~15s，S随t增大而减小，对应点P在CD上运动，此时△APD的高PD逐渐减小，面积逐渐变小。
(1)直接从图像读取P在AB上的运动时间，结合CD边长和CD段运动时间求速度，图像最高点的纵坐标就是最大面积。
(2)先表示出点P在CD上时PD的长度，再利用三角形面积公式推导S与t的函数表达式，注意自变量取值范围。
(3)分点P在AB上、点P在CD上两种情况，分别代入对应段的函数表达式，解方程求t即可，P在BC上时面积恒为18，无需考虑。
【解析】
解：(1)由函数图像可知，0~6s对应P在AB上运动，故运动时间为6s；
点P在CD上运动的时间为$15-12=3(\mathrm{s})$，CD长为6cm，因此速度为$6÷3=2(\mathrm{cm/s})$；
函数图像最高点纵坐标为18，故△APD的面积最大值为$18\mathrm{cm}^2$。
(2)当点P在CD上运动时，时间t满足$12≤ t＜15$，
点P从C出发向D运动的路程为$2(t-12)\mathrm{cm}$，因此PD的长度为$6 - 2(t-12) = (30-2t)\mathrm{cm}$，
△APD的面积$S = \frac{1}{2}×AD×PD$，$AD=6\mathrm{cm}$，代入得：
$S = \frac{1}{2}×6×(30-2t) = 90 - 6t$，
即函数表达式为$S=90-6t(12≤ t＜15)$。
(3)分两种情况讨论：
①当点P在AB上，即$0＜t≤ 6$时，点P的运动速度为$6÷6=1(\mathrm{cm/s})$，故$AP=t\ \mathrm{cm}$，
此时$S = \frac{1}{2}×6×t = 3t$，
将$S=10$代入得$3t=10$，解得$t=\frac{10}{3}$；
②当点P在CD上，即$12≤ t＜15$时，$S=90-6t$，
将$S=10$代入得$90-6t=10$，解得$t=\frac{40}{3}$；
点P在BC上时$S=18≠10$，不符合要求。
【答案】
(1)6；2；18
(2)$S=90-6t(12≤ t＜15)$
(3)$t=\frac{10}{3}$或$t=\frac{40}{3}$
【知识点】
一次函数的应用；动点问题的函数图像；三角形面积计算
【点评】
本题将动点运动与函数图像结合，重点考查分段函数的分析与应用，解题的关键是读懂函数图像各段对应的动点位置，结合几何图形的性质推导各段的函数表达式，注意不要遗漏自变量的取值范围和符合要求的解的情况。
【难度系数】
0.6
5. ★★ 新考法变式训练法 在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，三角形APD的面积为y.（当点P与点A或点D重合时，y=0）
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图象；
(3)根据(2)中的图象，解下列问题：
①当x=5时，y的值为
②y的最大值为
③当y=2时，x的值为
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图象；
(3)根据(2)中的图象，解下列问题：
①当x=5时，y的值为
6
；②y的最大值为
6
；③当y=2时，x的值为
1或9
.答案
(1)当点P在边AB上运动，即$0≤ x＜3$时，$y=\frac{1}{2}×4x=2x$；
当点P在边BC上运动，即$3≤ x＜7$时，$y=\frac{1}{2}×4×3=6$；
当点P在边CD上运动，即$7≤ x≤ 10$时，$y=\frac{1}{2}×4(10-x)=-2x+20$。
所以y与x之间的函数表达式为
$y=\begin{cases}2x(0≤ x＜3),\\6(3≤ x＜7),\\-2x+20(7≤ x≤ 10).\end{cases}$
(2)函数图象如图所示。
(3)①6 ②6 ③1或9
解析
【分析】
本题是动点结合分段函数的典型问题，解题时需根据动点P的运动路径分三段讨论：①P在AB上运动时，△APD的高随路程x增大而均匀增大，面积随x线性增长；②P在BC上运动时，P到AD的距离固定，因此△APD面积保持定值；③P在CD上运动时，△APD的高随路程x增大而均匀减小，面积随x线性下降。分别结合三角形面积公式求出各段的函数表达式，再根据表达式和图象求解后续问题即可。
【解析】
(1) 长方形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，点P运动的总路程为$AB+BC+CD=3+4+3=10$，分三种情况讨论：
① 当点P在边AB上运动，即$0≤ x＜3$时，AP的长度为x，△APD以AD为底，高等于AP的长度，因此面积$y=\frac{1}{2} × AD × AP=\frac{1}{2}×4x=2x$；
② 当点P在边BC上运动，即$3≤ x＜7$时，点P到AD的距离等于AB的长度3，△APD以AD为底，高为定值3，因此面积$y=\frac{1}{2}×AD×AB=\frac{1}{2}×4×3=6$；
③ 当点P在边CD上运动，即$7≤ x≤ 10$时，点P到D的距离为$3-(x-7)=10-x$，△APD以AD为底，高等于$10-x$，因此面积$y=\frac{1}{2}×AD×(10-x)=\frac{1}{2}×4(10-x)=-2x+20$。
综上可得y与x的分段函数表达式。
(2) 根据分段函数表达式描点连线：第一段连接$(0,0)$和$(3,6)$，第二段是从$(3,6)$到$(7,6)$的水平线段，第三段连接$(7,6)$和$(10,0)$，即可得到对应的函数图象。
(3) ① 当$x=5$时，$3≤5＜7$，对应函数值为该段的定值6；
② 观察函数表达式和图象可知，y的最大值为6；
③ 当$y=2$时分两种情况：若$0≤x＜3$，则$2x=2$，解得$x=1$；若$7≤x≤10$，则$-2x+20=2$，解得$x=9$，因此x的值为1或9。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}2x(0≤ x＜3),\\6(3≤ x＜7),\\-2x+20(7≤ x≤ 10).\end{cases}$
(2)
(3) ①6 ②6 ③1或9
【知识点】
分段函数，动点问题的函数图象，三角形面积计算
【点评】
本题将动点运动与一次函数相结合，考查分类讨论思想的应用，需要结合几何图形的性质分析不同阶段的函数关系，同时也考查了函数图象的识别与函数求值，是函数与几何结合的基础典型题。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合分段函数的典型问题，解题时需根据动点P的运动路径分三段讨论：①P在AB上运动时，△APD的高随路程x增大而均匀增大，面积随x线性增长；②P在BC上运动时，P到AD的距离固定，因此△APD面积保持定值；③P在CD上运动时，△APD的高随路程x增大而均匀减小，面积随x线性下降。分别结合三角形面积公式求出各段的函数表达式，再根据表达式和图象求解后续问题即可。
【解析】
(1) 长方形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，点P运动的总路程为$AB+BC+CD=3+4+3=10$，分三种情况讨论：
① 当点P在边AB上运动，即$0≤ x＜3$时，AP的长度为x，△APD以AD为底，高等于AP的长度，因此面积$y=\frac{1}{2} × AD × AP=\frac{1}{2}×4x=2x$；
② 当点P在边BC上运动，即$3≤ x＜7$时，点P到AD的距离等于AB的长度3，△APD以AD为底，高为定值3，因此面积$y=\frac{1}{2}×AD×AB=\frac{1}{2}×4×3=6$；
③ 当点P在边CD上运动，即$7≤ x≤ 10$时，点P到D的距离为$3-(x-7)=10-x$，△APD以AD为底，高等于$10-x$，因此面积$y=\frac{1}{2}×AD×(10-x)=\frac{1}{2}×4(10-x)=-2x+20$。
综上可得y与x的分段函数表达式。
(2) 根据分段函数表达式描点连线：第一段连接$(0,0)$和$(3,6)$，第二段是从$(3,6)$到$(7,6)$的水平线段，第三段连接$(7,6)$和$(10,0)$，即可得到对应的函数图象。
(3) ① 当$x=5$时，$3≤5＜7$，对应函数值为该段的定值6；
② 观察函数表达式和图象可知，y的最大值为6；
③ 当$y=2$时分两种情况：若$0≤x＜3$，则$2x=2$，解得$x=1$；若$7≤x≤10$，则$-2x+20=2$，解得$x=9$，因此x的值为1或9。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}2x(0≤ x＜3),\\6(3≤ x＜7),\\-2x+20(7≤ x≤ 10).\end{cases}$
(2)
(3) ①6 ②6 ③1或9
【知识点】
分段函数，动点问题的函数图象，三角形面积计算
【点评】
本题将动点运动与一次函数相结合，考查分类讨论思想的应用，需要结合几何图形的性质分析不同阶段的函数关系，同时也考查了函数图象的识别与函数求值，是函数与几何结合的基础典型题。
【难度系数】
0.7
