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4. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN的周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数为
30°
。答案
30°
如图，分别作点P关于射线OB，OA所在直线的对称点C,D，连接CD，分别交OA,OB于点M,N，连接OC,OD，则此时△PMN的周长最小。
∵点P关于射线OA所在直线的对称点为D，
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA.
∵点P关于射线OB所在直线的对称点为C，
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB.
∴OC=OP=OD,∠AOB=1/2∠COD.
∵△PMN的周长的最小值是5 cm，
∴PM+PN+MN=5 cm.
∴DM+CN+MN=5 cm，即CD=5 cm. 又
∵OP=5 cm，
∴OP=CD.
∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形.
∴∠COD=60°.
∴∠AOB=30°.
解析
【分析】
遇到求角内定点与两条射线上动点构成的三角形周长最小值的问题，首先想到用轴对称的方法转化线段：第一步，作点P分别关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质将△PMN的三边转化为对称点到动点的线段，此时当三点共线时，周长最小值等于两个对称点之间的线段长度；第二步，根据轴对称性质可得对称点到O点的距离都等于OP，且∠AOB是两个对称点与O点夹角的一半；第三步，结合已知的周长最小值和OP的长度，判断点O与两个对称点构成等边三角形，得到夹角后即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：如图，分别作点P关于射线OB、OA所在直线的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD，此时△PMN的周长最小。
∵点P关于射线OA所在直线的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA。
∵点P关于射线OB所在直线的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB。
∴OC=OP=OD，∠COD=∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB，即∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COD。
∵△PMN的周长的最小值是5 cm，
∴PM+PN+MN=5 cm。
将PM、PN等量代换得：DM+CN+MN=CD=5 cm。
又
∵OP=5 cm，
∴OC=OD=OP=5 cm=CD，即△OCD是等边三角形。
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
30°
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，将最短路径构造与角度计算结合，解题的关键是熟练掌握将军饮马模型的构造方法，通过对称将折线段周长转化为两点间线段长度，再结合特殊三角形的性质求解，能较好考查学生对几何转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到求角内定点与两条射线上动点构成的三角形周长最小值的问题，首先想到用轴对称的方法转化线段：第一步，作点P分别关于OA、OB的对称点，利用轴对称性质将△PMN的三边转化为对称点到动点的线段，此时当三点共线时，周长最小值等于两个对称点之间的线段长度；第二步，根据轴对称性质可得对称点到O点的距离都等于OP，且∠AOB是两个对称点与O点夹角的一半；第三步，结合已知的周长最小值和OP的长度，判断点O与两个对称点构成等边三角形，得到夹角后即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：如图，分别作点P关于射线OB、OA所在直线的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD，此时△PMN的周长最小。
∵点P关于射线OA所在直线的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA。
∵点P关于射线OB所在直线的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB。
∴OC=OP=OD，∠COD=∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB，即∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COD。
∵△PMN的周长的最小值是5 cm，
∴PM+PN+MN=5 cm。
将PM、PN等量代换得：DM+CN+MN=CD=5 cm。
又
∵OP=5 cm，
∴OC=OD=OP=5 cm=CD，即△OCD是等边三角形。
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
30°
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，将最短路径构造与角度计算结合，解题的关键是熟练掌握将军饮马模型的构造方法，通过对称将折线段周长转化为两点间线段长度，再结合特殊三角形的性质求解，能较好考查学生对几何转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
5.如图，点P为马厩，AB为草地边缘(AB下方为草地)，CD为一河流，牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.
答案
如图所示，
①分别作点P关于AB,CD的对称点P',P''，
②连接P'P''，分别交AB,CD于点M,N，
③分别连接MP,NP.
则PM→MN→NP为最佳行走路线.
解析
【分析】
本题是最短路径的实际应用问题，目标是找到AB上的点M、CD上的点N，使PM+MN+NP的长度最小。解题核心思路是利用轴对称的性质，将同侧的线段转化为异侧的等长线段，把三条折线的和转化为两点之间的路径，再依据“两点之间线段最短”确定最短路径。具体思考方向：首先通过作点P关于AB、CD的对称点，将PM、NP分别替换为与它们长度相等的P'M、P''N，此时总路程转化为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''四点共线时，总长度就是P'到P''的线段长，为最小值。
【解析】
1. 作对称点：分别画出点P关于直线AB的对称点P'，点P关于直线CD的对称点P''；
2. 连线找点：连接P'P''，该线段与AB交于点M，与CD交于点N；
3. 连接得路径：分别连接PM、PN。
根据轴对称的性质可知：PM=P'M，PN=P''N，因此总路程PM+MN+PN = P'M+MN+P''N = P'P''，由两点之间线段最短可知，此时总路程最小，所以PM→MN→NP即为最佳行走路线。
【答案】
如图所示，
①分别作点P关于AB,CD的对称点P',P''，
②连接P'P''，分别交AB,CD于点M,N，
③分别连接MP,NP.
则PM→MN→NP为最佳行走路线.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题在实际生活中的应用，考查了轴对称性质的灵活运用，解题时通过轴对称将折线路径转化为两点间的线段，体现了转化的数学思想，掌握作对称点的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是最短路径的实际应用问题，目标是找到AB上的点M、CD上的点N，使PM+MN+NP的长度最小。解题核心思路是利用轴对称的性质，将同侧的线段转化为异侧的等长线段，把三条折线的和转化为两点之间的路径，再依据“两点之间线段最短”确定最短路径。具体思考方向：首先通过作点P关于AB、CD的对称点，将PM、NP分别替换为与它们长度相等的P'M、P''N，此时总路程转化为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''四点共线时，总长度就是P'到P''的线段长，为最小值。
【解析】
1. 作对称点：分别画出点P关于直线AB的对称点P'，点P关于直线CD的对称点P''；
2. 连线找点：连接P'P''，该线段与AB交于点M，与CD交于点N；
3. 连接得路径：分别连接PM、PN。
根据轴对称的性质可知：PM=P'M，PN=P''N，因此总路程PM+MN+PN = P'M+MN+P''N = P'P''，由两点之间线段最短可知，此时总路程最小，所以PM→MN→NP即为最佳行走路线。
【答案】
如图所示，
①分别作点P关于AB,CD的对称点P',P''，
②连接P'P''，分别交AB,CD于点M,N，
③分别连接MP,NP.
则PM→MN→NP为最佳行走路线.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题在实际生活中的应用，考查了轴对称性质的灵活运用，解题时通过轴对称将折线路径转化为两点间的线段，体现了转化的数学思想，掌握作对称点的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB是∠MON内部的一条线段. 在∠MON的两边OM,ON上分别取一点C,D,与点A,B组成四边形ABDC,使该四边形的周长最小.
答案
如图，作点A关于射线OM所在直线的对称点E，再作点B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于点C，交ON于点D，连接AC,BD，则四边形ABDC即为所求。
解析
【分析】
要使四边形ABDC的周长最小，先分析周长的组成：四边形周长=AC+CD+DB+AB，其中AB是固定长度的线段，因此只需让AC+CD+DB的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将折线段AC、CD、DB转化为共线的线段，再根据“两点之间线段最短”的原理，找到使线段和最小的点C、D。
【解析】
1. 明确最值转化方向：四边形ABDC的周长中AB为定值，因此求周长最小值等价于求AC+CD+DB的最小值。
2. 作对称点转化线段：作点A关于射线OM所在直线的对称点E，根据轴对称的性质，OM上任意一点C都满足AC=EC；同理作点B关于射线ON所在直线的对称点F，ON上任意一点D都满足BD=FD。
3. 确定最小值对应的点：此时AC+CD+DB可转化为EC+CD+DF，根据两点之间线段最短，EC+CD+DF的最小值为线段EF的长度，因此EF与OM的交点就是所求的点C，EF与ON的交点就是所求的点D。
4. 连接AC、BD，所得四边形ABDC的周长最小。
【答案】
如图，作点A关于射线OM所在直线的对称点E，再作点B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于点C，交ON于点D，连接AC,BD，则四边形ABDC即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，核心是通过轴对称变换将分散的折线段和转化为两点之间的线段长度，结合“两点之间线段最短”求解，掌握对称转化的思想是解决这类周长最小问题的关键。
【难度系数】
0.7
要使四边形ABDC的周长最小，先分析周长的组成：四边形周长=AC+CD+DB+AB，其中AB是固定长度的线段，因此只需让AC+CD+DB的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将折线段AC、CD、DB转化为共线的线段，再根据“两点之间线段最短”的原理，找到使线段和最小的点C、D。
【解析】
1. 明确最值转化方向：四边形ABDC的周长中AB为定值，因此求周长最小值等价于求AC+CD+DB的最小值。
2. 作对称点转化线段：作点A关于射线OM所在直线的对称点E，根据轴对称的性质，OM上任意一点C都满足AC=EC；同理作点B关于射线ON所在直线的对称点F，ON上任意一点D都满足BD=FD。
3. 确定最小值对应的点：此时AC+CD+DB可转化为EC+CD+DF，根据两点之间线段最短，EC+CD+DF的最小值为线段EF的长度，因此EF与OM的交点就是所求的点C，EF与ON的交点就是所求的点D。
4. 连接AC、BD，所得四边形ABDC的周长最小。
【答案】
如图，作点A关于射线OM所在直线的对称点E，再作点B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于点C，交ON于点D，连接AC,BD，则四边形ABDC即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，核心是通过轴对称变换将分散的折线段和转化为两点之间的线段长度，结合“两点之间线段最短”求解，掌握对称转化的思想是解决这类周长最小问题的关键。
【难度系数】
0.7
