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1. 情境题生活应用 如图，$l$为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从$A$处引到田地里去，则应从河岸$l$的何处开口才能使水渠最短？找出开口处的位置并说明理由。
答案
过点A作l的垂线，垂足B即为开口处的位置。理由：点到直线之间，垂线段最短。
解析
【分析】
要解决从河岸何处开口使水渠最短的问题，本质是求直线外一点A到直线l的最短连线长度。回忆所学的线段性质：连接直线外一点与直线上所有点的线段中，垂线段是最短的，因此只需过点A向直线l作垂线，垂足即为所求的开口位置。
【解析】
步骤1：过点A作直线l的垂线，垂足记为B，点B就是河岸l上的开口位置。
理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此线段AB是点A到直线l的最短线段，沿AB修水渠长度最短。
【答案】
过点A作l的垂线，垂足B即为开口处的位置。理由：点到直线之间，垂线段最短。
【知识点】
垂线段最短、最短路径问题、垂线作图
【点评】
本题是贴近生活的实际应用问题，将实际引水场景转化为数学中的点到直线最短路径问题，考查对垂线段性质的理解和应用能力，解题核心是熟练掌握垂线段最短的性质。
【难度系数】
0.8
要解决从河岸何处开口使水渠最短的问题，本质是求直线外一点A到直线l的最短连线长度。回忆所学的线段性质：连接直线外一点与直线上所有点的线段中，垂线段是最短的，因此只需过点A向直线l作垂线，垂足即为所求的开口位置。
【解析】
步骤1：过点A作直线l的垂线，垂足记为B，点B就是河岸l上的开口位置。
理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此线段AB是点A到直线l的最短线段，沿AB修水渠长度最短。
【答案】
过点A作l的垂线，垂足B即为开口处的位置。理由：点到直线之间，垂线段最短。
【知识点】
垂线段最短、最短路径问题、垂线作图
【点评】
本题是贴近生活的实际应用问题，将实际引水场景转化为数学中的点到直线最短路径问题，考查对垂线段性质的理解和应用能力，解题核心是熟练掌握垂线段最短的性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，
则△ADC周长的最小值为
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，
则△ADC周长的最小值为
7
.答案
(1)边AB的垂直平分线MN如图所示。
(2)如图，点D即为所求，△ADC周长的最小值为7。
解析
【分析】
(1) 作AB的垂直平分线可按照尺规作图的规范步骤操作：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB上下方各交于一点，连接两点即可得到所求的垂直平分线。
(2) 求△ADC周长的最小值时，先拆分周长：$C_{△ ADC}=AC+CD+AD$，其中AC长度固定为3，因此只需让$CD+AD$的和最小即可。结合MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即$AD=BD$，因此可将$CD+AD$转化为$CD+BD$。根据两点之间线段最短，当C、D、B三点共线时，$CD+BD$的和最小，等于BC的长度，代入数值即可求出最小周长。
【解析】
(1) 尺规作图步骤：
① 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别相交于点M、N；
② 过M、N两点作直线MN，直线MN即为AB的垂直平分线。
(2) 求△ADC最小周长：
△ADC的周长$=AC+CD+AD$，已知AC=3为定值，因此要使周长最小，需满足$CD+AD$的值最小。
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴根据垂直平分线的性质可得：$AD=BD$，
∴$CD+AD=CD+BD$。
根据两点之间线段最短，当点D为BC与MN的交点时，$CD+BD$取得最小值，最小值等于BC的长度，即$(CD+BD)_{min}=BC=4$。
因此△ADC周长的最小值为$AC+BC=3+4=7$。
【答案】
(1)边AB的垂直平分线MN如图所示。
(2)7
【知识点】
1. 尺规作线段垂直平分线
2. 线段垂直平分线的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题将尺规作图与最短路径问题结合考查，解题核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，再结合两点之间线段最短的原理确定最值，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 作AB的垂直平分线可按照尺规作图的规范步骤操作：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB上下方各交于一点，连接两点即可得到所求的垂直平分线。
(2) 求△ADC周长的最小值时，先拆分周长：$C_{△ ADC}=AC+CD+AD$，其中AC长度固定为3，因此只需让$CD+AD$的和最小即可。结合MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即$AD=BD$，因此可将$CD+AD$转化为$CD+BD$。根据两点之间线段最短，当C、D、B三点共线时，$CD+BD$的和最小，等于BC的长度，代入数值即可求出最小周长。
【解析】
(1) 尺规作图步骤：
① 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别相交于点M、N；
② 过M、N两点作直线MN，直线MN即为AB的垂直平分线。
(2) 求△ADC最小周长：
△ADC的周长$=AC+CD+AD$，已知AC=3为定值，因此要使周长最小，需满足$CD+AD$的值最小。
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴根据垂直平分线的性质可得：$AD=BD$，
∴$CD+AD=CD+BD$。
根据两点之间线段最短，当点D为BC与MN的交点时，$CD+BD$取得最小值，最小值等于BC的长度，即$(CD+BD)_{min}=BC=4$。
因此△ADC周长的最小值为$AC+BC=3+4=7$。
【答案】
(1)边AB的垂直平分线MN如图所示。
(2)7
【知识点】
1. 尺规作线段垂直平分线
2. 线段垂直平分线的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题将尺规作图与最短路径问题结合考查，解题核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，再结合两点之间线段最短的原理确定最值，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
3.长方形台球桌ABCD上有两个球E,F.(保留作图痕迹,工具不限)
(1)请你在图①中设计一条路径,使得球F撞击台球桌边AB反弹后,撞到球E;
(1)请你在图①中设计一条路径,使得球F撞击台球桌边AB反弹后,撞到球E;
答案
(1)如图①，路径是F→P→E。
(2)如图②，路径是F→M→N→E。
解析
【分析】
本题是利用轴对称性质解决台球反弹的路径设计问题，台球撞击桌边反弹的本质是入射角等于反射角，可通过作对称点将折线反弹路径转化为两点之间的线段求解。针对单次反弹要求：首先作点F关于反射边AB的对称点F'，根据轴对称性质，AB上任意一点到F和F'的距离相等，且对应夹角相等，因此连接F'E，与AB的交点就是满足反弹条件的撞击点P，即可得到符合要求的路径。若为两次反弹，则分别作F关于AB的对称点F'、E关于BC的对称点E'，连接F'E'与AB、BC的交点就是两次的撞击点。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作点F关于直线AB的对称点F'；
② 连接F'E，交AB边于点P；
③ 连接FP、PE，此时∠FPA=∠F'PA=∠EPB，满足反弹的入射角等于反射角的要求，因此路径F→P→E即为所求。
(2) 两次反弹作图步骤：
① 作点F关于直线AB的对称点F'，作点E关于直线BC的对称点E'；
② 连接F'E'，分别交AB于点M、交BC于点N；
③ 连接FM、MN、NE，此时路径满足两次反弹的角度要求，路径F→M→N→E即为所求。
【答案】
(1)如图①，路径是F→P→E。
(2)如图②，路径是F→M→N→E。
【知识点】
轴对称性质，最短路径设计，实际问题建模
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景考查轴对称知识的应用，解题核心是将反弹问题转化为对称点连线的几何问题，既锻炼学生的作图能力，也提升了知识迁移和实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用轴对称性质解决台球反弹的路径设计问题，台球撞击桌边反弹的本质是入射角等于反射角，可通过作对称点将折线反弹路径转化为两点之间的线段求解。针对单次反弹要求：首先作点F关于反射边AB的对称点F'，根据轴对称性质，AB上任意一点到F和F'的距离相等，且对应夹角相等，因此连接F'E，与AB的交点就是满足反弹条件的撞击点P，即可得到符合要求的路径。若为两次反弹，则分别作F关于AB的对称点F'、E关于BC的对称点E'，连接F'E'与AB、BC的交点就是两次的撞击点。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作点F关于直线AB的对称点F'；
② 连接F'E，交AB边于点P；
③ 连接FP、PE，此时∠FPA=∠F'PA=∠EPB，满足反弹的入射角等于反射角的要求，因此路径F→P→E即为所求。
(2) 两次反弹作图步骤：
① 作点F关于直线AB的对称点F'，作点E关于直线BC的对称点E'；
② 连接F'E'，分别交AB于点M、交BC于点N；
③ 连接FM、MN、NE，此时路径满足两次反弹的角度要求，路径F→M→N→E即为所求。
【答案】
(1)如图①，路径是F→P→E。
(2)如图②，路径是F→M→N→E。
【知识点】
轴对称性质，最短路径设计，实际问题建模
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景考查轴对称知识的应用，解题核心是将反弹问题转化为对称点连线的几何问题，既锻炼学生的作图能力，也提升了知识迁移和实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
