7. 模型迁移 在平面直角坐标系中，长方形OABC如图所示.点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=3，D为AB上一点，AD=2，点E，F在线段OA上(点E在点F左侧)，EF=1，连接CD，CE，DF.当四边形CDFE的周长最小时，求点E的坐标.

如图，过点D作DG//x轴交y轴于点G，将DF向左平移到D'E，则点D'在DG上，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D'交x轴于点E'，由题意知，四边形OADG为长方形，则OG=AD=2，∠OGD=90°. 由平移的性质可知DF=D'E，
∴四边形CDFE的周长=CD+DF+EF+CE=CD+D'E+EF+C'E≥CD+C'D'+EF，当点E与点E'重合时，四边形CDFE的周长最小，
∴D'G=GD-DD'=6-1=5，C'G=C'O+OG=3+2=5，则△C'GD'是等腰直角三角形，
∴∠GC'D'=45°.
∵∠C'OE'=90°，
∴∠OE'C'=45°，
∴OE'=OC'=3，
∴当四边形CDFE的周长最小时，点E的坐标为(3,0)。

【分析】
要解决四边形CDFE周长最小的问题，首先分析周长组成：周长=CD+DF+EF+CE，其中CD是定长线段、EF=1为定值，因此只需保证CE+DF的和最小即可。我们可通过平移转化线段：将DF向左平移1个单位得到D'E，可得DF=D'E，此时CE+DF转化为CE+D'E；再作点C关于x轴的对称点C'，根据轴对称性质得CE=C'E，因此CE+D'E转化为C'E+D'E。根据“两点之间线段最短”，当C'、E、D'三点共线时，C'E+D'E的和最小，此时C'D'与x轴的交点即为所求的点E。
【解析】
过点D作DG//x轴交y轴于点G，将DF向左平移到D'E，则点D'在DG上，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D'交x轴于点E'。
由题意知，四边形OADG为长方形，则OG=AD=2，∠OGD=90°。
由平移的性质可知DF=D'E，由轴对称的性质可知CE=C'E。
∴四边形CDFE的周长=CD+DF+EF+CE=CD+D'E+EF+C'E≥CD+C'D'+EF，当点E与点E'重合时，四边形CDFE的周长最小。
∵OA=6，DD'=EF=1，
∴D'G=GD-DD'=6-1=5，
∵OC=3，点C和C'关于x轴对称，
∴OC'=OC=3，
∴C'G=C'O+OG=3+2=5，
则△C'GD'是等腰直角三角形，
∴∠GC'D'=45°。
∵∠C'OE'=90°，
∴∠OE'C'=45°，
∴OE'=OC'=3，
∴当四边形CDFE的周长最小时，点E的坐标为(3,0)。

【答案】
(3,0)

【知识点】
最短路径问题、平移的性质、轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，解题核心是先区分周长中的定长部分和动态部分，再通过平移、轴对称的性质，将两条动态线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题，对线段转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

8. 如图,在等腰$△ ABC$中,$∠ BAC=30°$,$AB=AC$,$P$,$D$,$E$分别是边$BC$,$AB$,$AC$上的动点(均不与端点重合),连接$PD$,$DE$,$EP$,当$△ PDE$的周长取最小值时,求$∠ PDE+∠ PED$的度数.

如图，分别作点P关于AB,AC所在直线的对称点P',P''，连接P'P''，分别交AB,AC于点D,E，连接AP,AP',AP''. 由对称的性质可知，PD=P'D,PE=P''E,AP'=AP=AP''，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=P'D+DE+P''E=P'P''.
∵由对称性知，∠P'AD=∠PAD,∠P''AE=∠PAE，
∴∠P'AD+∠P''AE=∠PAD+∠PAE=30°，
∴∠P'AP''=60°，
∴△P'AP''为等边三角形，
∴P'P''=AP''=AP. 易知当AP⊥BC时，AP取最小值，即△PDE的周长最小. 易知∠APD=∠AP'D=60°,∠APE=∠AP''E=60°，
∴∠DPE=∠APD+∠APE=120°，
∴∠PDE+∠PED=180°-∠DPE=180°-120°=60°。

【分析】
要解决△PDE周长最小的问题，属于最短路径类问题，核心思路是用轴对称变换将折线段转化为直线段求解：首先通过作点P关于AB、AC的对称点，把PD、PE转化为等长的P'D、P''E，此时△PDE的周长可转化为P'D+DE+P''E，根据两点之间线段最短，当D、E落在P'P''连线上时，这部分和最小，等于P'P''的长度。再结合对称性质可证△P'AP''是等边三角形，即P'P''=AP，要让周长最小则需AP最短，根据垂线段最短，当AP⊥BC时AP最小，最后利用对称的角度性质和三角形内角和即可求出目标角度。
【解析】
分别作点P关于AB、AC所在直线的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交AB、AC于点D、E，连接AP、AP'、AP''。
由轴对称的性质可知：$PD=P'D$，$PE=P''E$，$AP'=AP=AP''$，$∠ P'AD=∠ PAD$，$∠ P''AE=∠ PAE$。
∴$△ PDE$的周长$=PD+DE+PE=P'D+DE+P''E$，根据两点之间线段最短，此时周长的最小值为$P'P''$的长度。
∵$∠ P'AD+∠ P''AE=∠ PAD+∠ PAE=∠ BAC=30°$，
∴$∠ P'AP''=∠ P'AD+∠ BAC+∠ P''AE=30°+30°=60°$，
又
∵$AP'=AP''$，
∴$△ P'AP''$为等边三角形，
∴$P'P''=AP$，要让$P'P''$最短，则需$AP$最短，根据垂线段最短，当$AP⊥ BC$时，$AP$的长度最小，即此时$△ PDE$的周长最小。
由轴对称性质得：$∠ APD=∠ AP'D$，$∠ APE=∠ AP''E$，
∵$△ P'AP''$是等边三角形，
∴$∠ AP'D=∠ AP''E=60°$，
∴$∠ DPE=∠ APD+∠ APE=60°+60°=120°$，
在$△ PDE$中，$∠ PDE+∠ PED=180°-∠ DPE=180°-120°=60°$。
【答案】
$\boxed{60°}$

【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径的典型应用类题目，通过轴对称变换将折线段的和转化为直线段长度，结合等边三角形性质与三角形内角和定理求解，解题的核心是掌握对称转化的思想，明确线段和取最小值的条件。
【难度系数】
0.6