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1. 跨学科题“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长$C$与半径$r$的关系式为$C=2π r$，则其中的自变量是（
A.半径$r$
B.周长$C$
C.2
D.$π$
A
）A.半径$r$
B.周长$C$
C.2
D.$π$
答案
1.A
解析
【分析】
解这道题首先要回忆常量、变量、自变量的相关概念：第一步先从关系式中区分出常量和变量，数值固定不变的是常量，数值会发生变化的是变量；第二步再从变量中判断自变量，自变量是变化过程中主动变化、可以自主取值的量，另一个随自变量变化而变化的是因变量。结合本题的情境，水波扩大时半径先发生变化，周长随半径的变化而变化，据此就能找到自变量。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 常量：变化过程中数值始终不变的量；变量：变化过程中数值会发生改变的量；自变量是变化过程中主动变化的变量，因变量是随自变量变化而变化的变量。
2. 分析关系式$C=2π r$：其中$2$和$π$是固定不变的数值，属于常量，故排除C、D选项。
3. 结合水波扩大的情境，半径$r$是主动变化的量，周长$C$会随着$r$的增大而增大，因此$r$是自变量，$C$是因变量，排除B选项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 自变量的判断
2. 常量与变量的区分
【点评】
本题结合古诗文情境考查函数的基础概念，情境新颖但考查内容比较基础，只要准确理解常量、自变量、因变量的定义就能顺利解答，注重对基础概念的理解和简单应用。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆常量、变量、自变量的相关概念：第一步先从关系式中区分出常量和变量，数值固定不变的是常量，数值会发生变化的是变量；第二步再从变量中判断自变量，自变量是变化过程中主动变化、可以自主取值的量，另一个随自变量变化而变化的是因变量。结合本题的情境，水波扩大时半径先发生变化，周长随半径的变化而变化，据此就能找到自变量。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 常量：变化过程中数值始终不变的量；变量：变化过程中数值会发生改变的量；自变量是变化过程中主动变化的变量，因变量是随自变量变化而变化的变量。
2. 分析关系式$C=2π r$：其中$2$和$π$是固定不变的数值，属于常量，故排除C、D选项。
3. 结合水波扩大的情境，半径$r$是主动变化的量，周长$C$会随着$r$的增大而增大，因此$r$是自变量，$C$是因变量，排除B选项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 自变量的判断
2. 常量与变量的区分
【点评】
本题结合古诗文情境考查函数的基础概念，情境新颖但考查内容比较基础，只要准确理解常量、自变量、因变量的定义就能顺利解答，注重对基础概念的理解和简单应用。
【难度系数】
0.9
2. 教材母题 教材$P_{26}$练习$T_{1}$变式 某辆速度为$v$(km/h)的汽车从甲地开往相距$s$(km)的乙地，全程所用的时间为$t$(h)，在这个变化过程中，下列说法正确的是（
A.$s$是常量
B.$t$是常量
C.$v$是常量
D.无法判断
A
）A.$s$是常量
B.$t$是常量
C.$v$是常量
D.无法判断
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值固定不变的量是常量，数值会发生改变的量是变量。接下来结合题目给出的情境分析三个量的特点：甲乙两地的距离是固定的，不会随汽车行驶速度、行驶时间的变化而变化；而汽车的行驶速度可以调整，行驶时间会随着速度的变化而变化，据此就能判断出哪个是常量。
【解析】
根据常量与变量的定义：在某一变化过程中，保持不变的量叫做常量，发生变化的量叫做变量。
本题的变化过程是“汽车从甲地开往乙地”：
1. 甲乙两地的距离s是固定不变的，因此s是常量；
2. 汽车的行驶速度v可以调整（如加速、减速），是会变化的，因此v是变量；
3. 根据行程公式$t=\frac{s}{v}$，当v变化时，时间t也会随之改变，因此t是变量。
综上，只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 常量与变量的识别
2. 行程问题基本数量关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对常量、变量定义的理解，解题时需结合实际情境判断量的变化属性，明确固定不变的量才是常量，是函数部分的入门级题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值固定不变的量是常量，数值会发生改变的量是变量。接下来结合题目给出的情境分析三个量的特点：甲乙两地的距离是固定的，不会随汽车行驶速度、行驶时间的变化而变化；而汽车的行驶速度可以调整，行驶时间会随着速度的变化而变化，据此就能判断出哪个是常量。
【解析】
根据常量与变量的定义：在某一变化过程中，保持不变的量叫做常量，发生变化的量叫做变量。
本题的变化过程是“汽车从甲地开往乙地”：
1. 甲乙两地的距离s是固定不变的，因此s是常量；
2. 汽车的行驶速度v可以调整（如加速、减速），是会变化的，因此v是变量；
3. 根据行程公式$t=\frac{s}{v}$，当v变化时，时间t也会随之改变，因此t是变量。
综上，只有A选项的说法正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 常量与变量的识别
2. 行程问题基本数量关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对常量、变量定义的理解，解题时需结合实际情境判断量的变化属性，明确固定不变的量才是常量，是函数部分的入门级题型。
【难度系数】
0.9
3. 下列两个变量,不是函数关系的是（
A.正方形的面积与边长之间的关系
B.一个正数的平方根与这个正数之间的关系
C.圆的面积与圆的周长之间的关系
D.速度一定时,汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系
B
）A.正方形的面积与边长之间的关系
B.一个正数的平方根与这个正数之间的关系
C.圆的面积与圆的周长之间的关系
D.速度一定时,汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系
答案
3.B
解析
【分析】
要判断两个变量是否为函数关系，核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若给自变量x一个确定的值，因变量y有且只有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时我们逐个分析每个选项是否满足“唯一对应”的要求即可得出答案。
【解析】
结合函数定义逐一分析选项：
A. 设正方形边长为a，面积为S，可得公式$S=a^2$，当边长a取一个确定的正值时，面积S有唯一确定的值对应，属于函数关系；
B. 设正数为x，它的平方根为y，根据平方根的性质，一个正数有两个互为相反数的平方根，例如当x=4时，y=2或y=-2，给x一个确定值，y有两个值对应，不满足“唯一对应”的要求，不属于函数关系；
C. 设圆的周长为C，面积为S，由$C=2π r$得$r=\frac{C}{2π}$，代入面积公式得$S=π r^2=\frac{C^2}{4π}$，当周长C取确定的正值时，面积S有唯一确定的值对应，属于函数关系；
D. 速度v一定时，路程$s=vt$，当行驶时间t取确定的正值时，路程s有唯一确定的值对应，属于函数关系。
综上，不是函数关系的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.函数的定义 2.平方根的性质
【点评】
本题是函数判定的基础题，解题关键是紧扣函数定义中“给定自变量一个确定值，因变量有唯一确定值对应”的核心特征，易错点是忽略正数有两个平方根，误判B选项为函数关系。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否为函数关系，核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，若给自变量x一个确定的值，因变量y有且只有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时我们逐个分析每个选项是否满足“唯一对应”的要求即可得出答案。
【解析】
结合函数定义逐一分析选项：
A. 设正方形边长为a，面积为S，可得公式$S=a^2$，当边长a取一个确定的正值时，面积S有唯一确定的值对应，属于函数关系；
B. 设正数为x，它的平方根为y，根据平方根的性质，一个正数有两个互为相反数的平方根，例如当x=4时，y=2或y=-2，给x一个确定值，y有两个值对应，不满足“唯一对应”的要求，不属于函数关系；
C. 设圆的周长为C，面积为S，由$C=2π r$得$r=\frac{C}{2π}$，代入面积公式得$S=π r^2=\frac{C^2}{4π}$，当周长C取确定的正值时，面积S有唯一确定的值对应，属于函数关系；
D. 速度v一定时，路程$s=vt$，当行驶时间t取确定的正值时，路程s有唯一确定的值对应，属于函数关系。
综上，不是函数关系的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.函数的定义 2.平方根的性质
【点评】
本题是函数判定的基础题，解题关键是紧扣函数定义中“给定自变量一个确定值，因变量有唯一确定值对应”的核心特征，易错点是忽略正数有两个平方根，误判B选项为函数关系。
【难度系数】
0.8
4. [2026 南京外国语学校期中] 有下列式子：
①$y=3x-5$；②$y^2=x$；③$y=|x|$；④$y=\sqrt{x-1}$。
其中，$y$是$x$的函数的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$y=3x-5$；②$y^2=x$；③$y=|x|$；④$y=\sqrt{x-1}$。
其中，$y$是$x$的函数的有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.C 【点拨】在 $y^2 = x$ 中,当 $x=4$ 时,$y= \pm 2$,即对于 $x$ 的每一个可取的值,不是唯一的 $y$ 值与之对应,所以②中 $y$ 不是 $x$ 的函数.其余三个都满足函数定义,故选 C.
解析
【分析】
要判断y是否是x的函数，首先要明确函数的核心判定标准：在变化过程中，对于x取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。解题时我们只需按照这个标准逐个验证4个式子即可，只要存在某个x的取值对应多个y值，就不符合函数的要求。
【解析】
根据函数定义逐一分析：
1. 式子①$y=3x-5$：x取任意实数时，代入式子都能得到唯一确定的y值，满足函数定义，因此y是x的函数；
2. 式子②$y^2=x$：当x取正数时，例如x=4，可得$y=\pm2$，即1个x值对应2个不同的y值，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数；
3. 式子③$y=|x|$：x取任意实数时，x的绝对值是唯一确定的，每个x对应唯一的y值，满足函数定义，因此y是x的函数；
4. 式子④$y=\sqrt{x-1}$：当x在取值范围$x≥1$内任取一个值时，算术平方根的结果是唯一的非负数，每个x对应唯一的y值，满足函数定义，因此y是x的函数。
综上，共有3个式子满足y是x的函数，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义
【点评】
本题是函数判定的基础题型，解题的关键是抓住函数定义中“一个x值对应唯一y值”的核心特征，做题时要注意带平方、带根号的式子的特殊性，避免因忽略多值对应情况出现误判。
【难度系数】
0.7
要判断y是否是x的函数，首先要明确函数的核心判定标准：在变化过程中，对于x取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。解题时我们只需按照这个标准逐个验证4个式子即可，只要存在某个x的取值对应多个y值，就不符合函数的要求。
【解析】
根据函数定义逐一分析：
1. 式子①$y=3x-5$：x取任意实数时，代入式子都能得到唯一确定的y值，满足函数定义，因此y是x的函数；
2. 式子②$y^2=x$：当x取正数时，例如x=4，可得$y=\pm2$，即1个x值对应2个不同的y值，不满足“唯一对应”的要求，因此y不是x的函数；
3. 式子③$y=|x|$：x取任意实数时，x的绝对值是唯一确定的，每个x对应唯一的y值，满足函数定义，因此y是x的函数；
4. 式子④$y=\sqrt{x-1}$：当x在取值范围$x≥1$内任取一个值时，算术平方根的结果是唯一的非负数，每个x对应唯一的y值，满足函数定义，因此y是x的函数。
综上，共有3个式子满足y是x的函数，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义
【点评】
本题是函数判定的基础题型，解题的关键是抓住函数定义中“一个x值对应唯一y值”的核心特征，做题时要注意带平方、带根号的式子的特殊性，避免因忽略多值对应情况出现误判。
【难度系数】
0.7
5. 向一个空的圆柱形容器匀速注水，容器内水面的高度从2 cm上升到5 cm时，容器内水的体积从$8π \ \mathrm{cm}^3$增加到$20π \ \mathrm{cm}^3$. 这一变化过程中，
水面的高度
是自变量，水的体积
是因变量.答案
5. 水面的高度；水的体积
解析
【分析】
解题时首先回忆自变量、因变量的相关概念：在一个变化过程中，主动发生变化的量为自变量，随自变量的变化而发生对应变化的量为因变量。接下来分析题目中的数量关系：圆柱形容器的底面积是固定值，水的体积=底面积×水面高度，可知水的体积会随着水面高度的变化而变化，由此即可确定两个变量分别属于自变量还是因变量。
【解析】
首先明确变量的相关定义：在某一变化过程中，可以自主变化、主动取值的变量叫做自变量，随着自变量的变化而发生对应变化的变量叫做因变量。
本题中圆柱形容器的底面积固定，水面高度从2cm上升到5cm的过程中，水的体积随着水面高度的变化从$8π \ \mathrm{cm}^3$变为$20π \ \mathrm{cm}^3$，即水的体积是随水面高度的变化而变化的。因此水面的高度是自变量，水的体积是因变量。
【答案】
水面的高度；水的体积
【知识点】
自变量与因变量判定；变量的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解两个变量之间的依赖关系，准确判断出主动变化的量和随之变化的量，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆自变量、因变量的相关概念：在一个变化过程中，主动发生变化的量为自变量，随自变量的变化而发生对应变化的量为因变量。接下来分析题目中的数量关系：圆柱形容器的底面积是固定值，水的体积=底面积×水面高度，可知水的体积会随着水面高度的变化而变化，由此即可确定两个变量分别属于自变量还是因变量。
【解析】
首先明确变量的相关定义：在某一变化过程中，可以自主变化、主动取值的变量叫做自变量，随着自变量的变化而发生对应变化的变量叫做因变量。
本题中圆柱形容器的底面积固定，水面高度从2cm上升到5cm的过程中，水的体积随着水面高度的变化从$8π \ \mathrm{cm}^3$变为$20π \ \mathrm{cm}^3$，即水的体积是随水面高度的变化而变化的。因此水面的高度是自变量，水的体积是因变量。
【答案】
水面的高度；水的体积
【知识点】
自变量与因变量判定；变量的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解两个变量之间的依赖关系，准确判断出主动变化的量和随之变化的量，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
6. 一个容器中装有一定质量的糖，向容器中加入水，随着水量的增加，糖水的浓度将降低，这个问题中水量是（
A.函数
B.函数值
C.常量
D.自变量
D
）A.函数
B.函数值
C.常量
D.自变量
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆函数相关的基础概念，先梳理题目中的变化过程：本题的变化过程是向装有固定质量糖的容器中加水，水量增加时糖水浓度降低。接下来明确各概念的区别：常量是变化过程中数值不变的量；自变量是变化过程中主动变化、会引起其他量改变的量；因变量是随自变量变化而变化的量；函数是两个变量之间的对应关系，函数值是因变量的取值。最后结合概念判断水量所属的类别即可。
【解析】
首先明确各相关概念：
1. 常量：变化过程中数值始终保持不变的量；
2. 变量：变化过程中数值发生改变的量，其中主动变化、能引发其他量变化的变量为自变量，随自变量变化而变化的变量为因变量；
3. 函数是两个变量之间的对应关系，函数值是因变量的具体取值。
结合题意分析：该变化过程中，糖的质量固定不变，是常量；我们主动改变加入的水量，水量的变化会直接导致糖水浓度发生变化，因此水量是主动变化的自变量。
对选项逐一判断：
A. 函数是量与量的对应关系，不是某个具体的量，不符合；
B. 函数值是因变量的取值，水量不是因变量的取值，不符合；
C. 水量是逐渐增加的，数值发生变化，不是常量，不符合；
D. 水量是主动变化、能引起浓度变化的变量，属于自变量，符合。
【答案】
D
【知识点】
自变量的判定、常量与变量的区分、函数基本概念
【点评】
这道题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理清变化过程中各个量的变化逻辑，区分清楚自变量、因变量、常量、函数这几个易混淆的概念，掌握基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆函数相关的基础概念，先梳理题目中的变化过程：本题的变化过程是向装有固定质量糖的容器中加水，水量增加时糖水浓度降低。接下来明确各概念的区别：常量是变化过程中数值不变的量；自变量是变化过程中主动变化、会引起其他量改变的量；因变量是随自变量变化而变化的量；函数是两个变量之间的对应关系，函数值是因变量的取值。最后结合概念判断水量所属的类别即可。
【解析】
首先明确各相关概念：
1. 常量：变化过程中数值始终保持不变的量；
2. 变量：变化过程中数值发生改变的量，其中主动变化、能引发其他量变化的变量为自变量，随自变量变化而变化的变量为因变量；
3. 函数是两个变量之间的对应关系，函数值是因变量的具体取值。
结合题意分析：该变化过程中，糖的质量固定不变，是常量；我们主动改变加入的水量，水量的变化会直接导致糖水浓度发生变化，因此水量是主动变化的自变量。
对选项逐一判断：
A. 函数是量与量的对应关系，不是某个具体的量，不符合；
B. 函数值是因变量的取值，水量不是因变量的取值，不符合；
C. 水量是逐渐增加的，数值发生变化，不是常量，不符合；
D. 水量是主动变化、能引起浓度变化的变量，属于自变量，符合。
【答案】
D
【知识点】
自变量的判定、常量与变量的区分、函数基本概念
【点评】
这道题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理清变化过程中各个量的变化逻辑，区分清楚自变量、因变量、常量、函数这几个易混淆的概念，掌握基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. 下列关于变量$x,y$的关系,其中$y$不是$x$的函数的是（
D
）答案
7.D
解析
【分析】
要判断y是不是x的函数，需依据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。解题时我们逐个分析四个选项的对应关系，只要存在一个x的值对应多个y的值，该选项的y就不是x的函数。
【解析】
根据函数的定义判断：
选项A：x=1、x=2都对应唯一的y=5，x=3、x=4都对应唯一的y=7，每个x的取值都有唯一的y对应，因此y是x的函数；
选项B：x=1对应y=3，x=2对应y=5，x=3对应y=7，x=4对应y=9，每个x的取值都有唯一的y对应，因此y是x的函数；
选项C：x=1、x=2都对应唯一的y=5，x=3对应y=7，x=4对应y=9，每个x的取值都有唯一的y对应，因此y是x的函数；
选项D：当x=3时，有y=7和y=9两个值与之对应，不满足“每个x对应唯一y”的要求，因此y不是x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数的判定
【点评】
本题考查函数的基础判断，解题关键是牢记函数定义中“唯一对应”的核心要求：允许多个x对应同一个y，但不允许一个x对应多个y。
【难度系数】
0.8
要判断y是不是x的函数，需依据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。解题时我们逐个分析四个选项的对应关系，只要存在一个x的值对应多个y的值，该选项的y就不是x的函数。
【解析】
根据函数的定义判断：
选项A：x=1、x=2都对应唯一的y=5，x=3、x=4都对应唯一的y=7，每个x的取值都有唯一的y对应，因此y是x的函数；
选项B：x=1对应y=3，x=2对应y=5，x=3对应y=7，x=4对应y=9，每个x的取值都有唯一的y对应，因此y是x的函数；
选项C：x=1、x=2都对应唯一的y=5，x=3对应y=7，x=4对应y=9，每个x的取值都有唯一的y对应，因此y是x的函数；
选项D：当x=3时，有y=7和y=9两个值与之对应，不满足“每个x对应唯一y”的要求，因此y不是x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数的判定
【点评】
本题考查函数的基础判断，解题关键是牢记函数定义中“唯一对应”的核心要求：允许多个x对应同一个y，但不允许一个x对应多个y。
【难度系数】
0.8
8. 情境题生活应用 某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（
A.在这个变化过程中，自变量是用电量
B.应缴电费随用电量的增加而增加
C.用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
D.若应缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦时
D
）A.在这个变化过程中，自变量是用电量
B.应缴电费随用电量的增加而增加
C.用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
D.若应缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦时
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查从表格中分析变量关系的相关知识，解题时先明确两个变量：用电量和应缴电费，再结合表格数据逐一验证选项即可。首先明确自变量是主动变化的量，因变量随自变量变化而变化；其次观察数据变化规律，计算每增加1千瓦时用电量对应的电费增量，最后根据电费单价计算对应电费的用电量，找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 变化过程中，用电量主动变化，应缴电费随用电量的变化而变化，因此自变量是用电量，A叙述正确，不符合题意。
B. 观察表格数据：用电量增大时，应缴电费也随之增大，因此应缴电费随用电量的增加而增加，B叙述正确，不符合题意。
C. 计算相邻用电量的电费差：$1.10 - 0.55 = 0.55$元，$1.65 - 1.10 = 0.55$元，$2.20 - 1.65 = 0.55$元，可知用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，C叙述正确，不符合题意。
D. 由C可知电费单价为0.55元/千瓦时，若应缴电费为2.75元，用电量为$2.75 ÷ 0.55 = 5$千瓦时，不是6千瓦时，D叙述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
变量与函数，函数的表格表示，函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的电费缴纳场景，考查学生提取表格信息、分析变量关系的能力，解题难度较低，只要细心计算、逐一验证选项就能得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查从表格中分析变量关系的相关知识，解题时先明确两个变量：用电量和应缴电费，再结合表格数据逐一验证选项即可。首先明确自变量是主动变化的量，因变量随自变量变化而变化；其次观察数据变化规律，计算每增加1千瓦时用电量对应的电费增量，最后根据电费单价计算对应电费的用电量，找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 变化过程中，用电量主动变化，应缴电费随用电量的变化而变化，因此自变量是用电量，A叙述正确，不符合题意。
B. 观察表格数据：用电量增大时，应缴电费也随之增大，因此应缴电费随用电量的增加而增加，B叙述正确，不符合题意。
C. 计算相邻用电量的电费差：$1.10 - 0.55 = 0.55$元，$1.65 - 1.10 = 0.55$元，$2.20 - 1.65 = 0.55$元，可知用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，C叙述正确，不符合题意。
D. 由C可知电费单价为0.55元/千瓦时，若应缴电费为2.75元，用电量为$2.75 ÷ 0.55 = 5$千瓦时，不是6千瓦时，D叙述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
变量与函数，函数的表格表示，函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的电费缴纳场景，考查学生提取表格信息、分析变量关系的能力，解题难度较低，只要细心计算、逐一验证选项就能得出正确答案。
【难度系数】
0.8
9. ★★ 真实情境题 生活应用 如图，这是某加油站地下圆柱形储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，油量为v(h，w，v为变量)，则下面四个结论：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数。其中正确结论的序号是
①④
答案
9. ①④
解析
【分析】
解题核心是依据函数的定义判断：在一个变化过程中，对于一个变量的每一个确定值，另一个变量有且只有唯一确定的值与之对应，才满足函数关系。首先分析变量的对应逻辑：1. 储油罐截面是半径固定的圆，油面宽度是圆的弦长，弦长和油面高度的对应可结合圆的对称性分析；2. 油量v和油面高度h是一一对应的，油量随高度单调变化，可通过h作为中间量判断v和w的对应关系。
【解析】
根据函数的定义逐一判断：
1. 判断④：给定一个确定的油面高度h，在半径为r的圆中，对应位置的弦长（油面宽度）w是唯一确定的，因此w是h的函数，④正确。
2. 判断③：给定一个确定的w（w≠2r时），由圆的对称性可知，存在两个不同的油面高度h（分别在圆心的上下两侧，关于圆心对称）和这个w对应，因此h不是w的函数，③错误。
3. 判断①：油量v等于油的横截面面积乘以常量d，油量越大，油面高度h越高，每个确定的v对应唯一的h，结合④的结论，h对应唯一的w，因此每个确定的v对应唯一的w，w是v的函数，①正确。
4. 判断②：由③的结论，一个w对应两个不同的h，这两个h对应的油的横截面面积不相等，因此对应两个不同的v，即一个w对应两个v，因此v不是w的函数，②错误。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
函数的定义；圆的对称性
【点评】
本题结合生活储油场景考查函数的概念，解题的关键是抓住函数定义中“唯一对应”的核心要求，结合圆的对称性质分析变量间的对应关系，容易忽略同一弦长对应两个高度的情况，错误判断②③的正确性。
【难度系数】
0.6
解题核心是依据函数的定义判断：在一个变化过程中，对于一个变量的每一个确定值，另一个变量有且只有唯一确定的值与之对应，才满足函数关系。首先分析变量的对应逻辑：1. 储油罐截面是半径固定的圆，油面宽度是圆的弦长，弦长和油面高度的对应可结合圆的对称性分析；2. 油量v和油面高度h是一一对应的，油量随高度单调变化，可通过h作为中间量判断v和w的对应关系。
【解析】
根据函数的定义逐一判断：
1. 判断④：给定一个确定的油面高度h，在半径为r的圆中，对应位置的弦长（油面宽度）w是唯一确定的，因此w是h的函数，④正确。
2. 判断③：给定一个确定的w（w≠2r时），由圆的对称性可知，存在两个不同的油面高度h（分别在圆心的上下两侧，关于圆心对称）和这个w对应，因此h不是w的函数，③错误。
3. 判断①：油量v等于油的横截面面积乘以常量d，油量越大，油面高度h越高，每个确定的v对应唯一的h，结合④的结论，h对应唯一的w，因此每个确定的v对应唯一的w，w是v的函数，①正确。
4. 判断②：由③的结论，一个w对应两个不同的h，这两个h对应的油的横截面面积不相等，因此对应两个不同的v，即一个w对应两个v，因此v不是w的函数，②错误。
综上，正确结论为①④。
【答案】
①④
【知识点】
函数的定义；圆的对称性
【点评】
本题结合生活储油场景考查函数的概念，解题的关键是抓住函数定义中“唯一对应”的核心要求，结合圆的对称性质分析变量间的对应关系，容易忽略同一弦长对应两个高度的情况，错误判断②③的正确性。
【难度系数】
0.6
10. 新考法定义辨识法 如图是某超市青苹果一年内的销售价格$y$(元/kg)随时间$x$(月)变化的关系图,请回答下列问题:
(1)当$x$取1~12之间的任何一个整数时,对应几个$y$值?反之,当$y$取3~7之间的任何一个整数时,对应几个$x$值?
(2)$y$可以看成是$x$的函数吗?
(1)当$x$取1~12之间的任何一个整数时,对应几个$y$值?反之,当$y$取3~7之间的任何一个整数时,对应几个$x$值?
(2)$y$可以看成是$x$的函数吗?
答案
10. 【解】(1)当 $x$ 取 $1～12$ 之间的任何一个整数时,对应 1 个 $y$ 值;当 $y$ 取 3 或 7 时,对应 3 个 $x$ 值,当 $y$ 取 4,5 或 6 时,对应 2 个 $x$ 值.
(2)$y$ 可以看成是 $x$ 的函数.
(2)$y$ 可以看成是 $x$ 的函数.
解析
【分析】
解题思路：(1) 先观察x取1~12的整数时，每个x在图像上对应点的纵坐标数量，判断y的个数；再分别列举y取3~7的整数值时，对应的横坐标x的数量，分类统计即可。(2) 依据函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，即可判断y是否为x的函数。
【解析】
(1) 观察价格变化图像：
当x取1、2、3…12的任意整数时，每个x都仅对应图像上1个点，即仅对应1个y值；
当y取3~7的整数时，分类统计对应x的数量：
① y=3时，对应的x为5、6、7，共3个x值；y=7时，对应的x为1、11、12，共3个x值；
② y=4时，对应的x为4、8，共2个x值；y=5时，对应的x为3、9，共2个x值；y=6时，对应的x为2、10，共2个x值。
(2) 根据函数的定义判断：对于x在1~12范围内的每一个确定的整数值，都有唯一确定的y值与之对应，满足函数的判定条件。
【答案】
(1)当 $x$ 取 $1～12$ 之间的任何一个整数时,对应 1 个 $y$ 值;当 $y$ 取 3 或 7 时,对应 3 个 $x$ 值,当 $y$ 取 4,5 或 6 时,对应 2 个 $x$ 值.
(2)$y$ 可以看成是 $x$ 的函数.
【知识点】
函数的定义、函数图像辨识、变量对应关系
【点评】
本题结合生活中的价格变化图像考查函数的核心概念，重点考查学生对函数定义中“唯一对应”特征的理解，以及从图像中提取变量对应关系的能力，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1) 先观察x取1~12的整数时，每个x在图像上对应点的纵坐标数量，判断y的个数；再分别列举y取3~7的整数值时，对应的横坐标x的数量，分类统计即可。(2) 依据函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，即可判断y是否为x的函数。
【解析】
(1) 观察价格变化图像：
当x取1、2、3…12的任意整数时，每个x都仅对应图像上1个点，即仅对应1个y值；
当y取3~7的整数时，分类统计对应x的数量：
① y=3时，对应的x为5、6、7，共3个x值；y=7时，对应的x为1、11、12，共3个x值；
② y=4时，对应的x为4、8，共2个x值；y=5时，对应的x为3、9，共2个x值；y=6时，对应的x为2、10，共2个x值。
(2) 根据函数的定义判断：对于x在1~12范围内的每一个确定的整数值，都有唯一确定的y值与之对应，满足函数的判定条件。
【答案】
(1)当 $x$ 取 $1～12$ 之间的任何一个整数时,对应 1 个 $y$ 值;当 $y$ 取 3 或 7 时,对应 3 个 $x$ 值,当 $y$ 取 4,5 或 6 时,对应 2 个 $x$ 值.
(2)$y$ 可以看成是 $x$ 的函数.
【知识点】
函数的定义、函数图像辨识、变量对应关系
【点评】
本题结合生活中的价格变化图像考查函数的核心概念，重点考查学生对函数定义中“唯一对应”特征的理解，以及从图像中提取变量对应关系的能力，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
