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7. 教材母题 教材$P_{21}$复习题B组$T_{1}$变式 若点$A(9-a,a-3)$在第一、三象限的角平分线上，则点A的坐标为
(3,3)
。答案
(3,3)
解析
【分析】
首先回忆第一、三象限角平分线上的点的坐标特征：位于第一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等。结合点A的坐标表达式，可根据这个特征列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，代回横、纵坐标的表达式，即可求出点A的坐标。
【解析】
解：
∵第一、三象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，且点$A(9-a,a-3)$在第一、三象限的角平分线上，
∴$9-a=a-3$
移项得：$9+3=a+a$
合并同类项得：$2a=12$
解得：$a=6$
将$a=6$代入横坐标表达式得：$9-a=9-6=3$
代入纵坐标表达式得：$a-3=6-3=3$
因此点A的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
1. 象限角平分线的坐标特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，解题关键是牢记第一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等的性质，通过建立方程求解参数即可得到结果，属于坐标性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆第一、三象限角平分线上的点的坐标特征：位于第一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等。结合点A的坐标表达式，可根据这个特征列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，代回横、纵坐标的表达式，即可求出点A的坐标。
【解析】
解：
∵第一、三象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，且点$A(9-a,a-3)$在第一、三象限的角平分线上，
∴$9-a=a-3$
移项得：$9+3=a+a$
合并同类项得：$2a=12$
解得：$a=6$
将$a=6$代入横坐标表达式得：$9-a=9-6=3$
代入纵坐标表达式得：$a-3=6-3=3$
因此点A的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
1. 象限角平分线的坐标特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，解题关键是牢记第一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等的性质，通过建立方程求解参数即可得到结果，属于坐标性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
8. 已知点$P(2a-2,a+5)$。
(1)若点$Q$的坐标为$(4,5)$，直线$PQ// y$轴，则点$P$的坐标为________；
(2)若将点$P$向上平移$3$个单位长度恰好落在$x$轴上，则点$P$原来的坐标为________。
(1)若点$Q$的坐标为$(4,5)$，直线$PQ// y$轴，则点$P$的坐标为________；
(2)若将点$P$向上平移$3$个单位长度恰好落在$x$轴上，则点$P$原来的坐标为________。
答案
(1)$(4,8)$ (2)$(-18,-3)$
【点拨】(1)因为点Q的坐标为$(4,5)$，$P(2a-2,a+5)$，直线$PQ// y$轴，所以$2a-2=4$，解得$a=3$，所以$P(4,8)$。
(2)因为将点$P(2a-2,a+5)$向上平移3个单位长度恰好落在$x$轴上，所以$a+5+3=0$，解得$a=-8$，所以点P原来的坐标为$(-18,-3)$。
【点拨】(1)因为点Q的坐标为$(4,5)$，$P(2a-2,a+5)$，直线$PQ// y$轴，所以$2a-2=4$，解得$a=3$，所以$P(4,8)$。
(2)因为将点$P(2a-2,a+5)$向上平移3个单位长度恰好落在$x$轴上，所以$a+5+3=0$，解得$a=-8$，所以点P原来的坐标为$(-18,-3)$。
解析
【分析】
第(1)问：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，已知直线$PQ//y$轴，因此点$P$和点$Q$的横坐标相同，据此列方程求出$a$的值，再代入计算点$P$的纵坐标即可得到$P$的坐标。
第(2)问：点向上平移时，横坐标不变、纵坐标增加平移的单位长度，且$x$轴上的点纵坐标为0，因此点$P$向上平移3个单位后的纵坐标等于0，据此列方程求出$a$，再代入计算点$P$原来的横、纵坐标即可。
【解析】
(1) $\because$ 直线$PQ//y$轴，平行于$y$轴的直线上各点横坐标相等，$Q(4,5)$，$P(2a-2,a+5)$
$\therefore 2a-2=4$
解得$a=3$
将$a=3$代入$a+5$，得纵坐标为$3+5=8$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(4,8)$
(2) $\because$ 点$P$向上平移3个单位后落在$x$轴上，向上平移纵坐标加3，$x$轴上的点纵坐标为0
$\therefore a+5+3=0$
解得$a=-8$
将$a=-8$代入坐标表达式：
横坐标：$2×(-8)-2=-18$，纵坐标：$-8+5=-3$
$\therefore$ 点$P$原来的坐标为$(-18,-3)$
【答案】
(1)$(4,8)$；(2)$(-18,-3)$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；点的平移规律；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题核心是熟练掌握平行于$y$轴的点的坐标特点、点的平移规则以及坐标轴上点的坐标特征，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
第(1)问：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，已知直线$PQ//y$轴，因此点$P$和点$Q$的横坐标相同，据此列方程求出$a$的值，再代入计算点$P$的纵坐标即可得到$P$的坐标。
第(2)问：点向上平移时，横坐标不变、纵坐标增加平移的单位长度，且$x$轴上的点纵坐标为0，因此点$P$向上平移3个单位后的纵坐标等于0，据此列方程求出$a$，再代入计算点$P$原来的横、纵坐标即可。
【解析】
(1) $\because$ 直线$PQ//y$轴，平行于$y$轴的直线上各点横坐标相等，$Q(4,5)$，$P(2a-2,a+5)$
$\therefore 2a-2=4$
解得$a=3$
将$a=3$代入$a+5$，得纵坐标为$3+5=8$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(4,8)$
(2) $\because$ 点$P$向上平移3个单位后落在$x$轴上，向上平移纵坐标加3，$x$轴上的点纵坐标为0
$\therefore a+5+3=0$
解得$a=-8$
将$a=-8$代入坐标表达式：
横坐标：$2×(-8)-2=-18$，纵坐标：$-8+5=-3$
$\therefore$ 点$P$原来的坐标为$(-18,-3)$
【答案】
(1)$(4,8)$；(2)$(-18,-3)$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；点的平移规律；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题核心是熟练掌握平行于$y$轴的点的坐标特点、点的平移规则以及坐标轴上点的坐标特征，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
9. [2026 黄山期中] 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(0,a),B(b,0),C(4,c)$三点，其中$a,b,c$满足关系式：$|a-3|+(b-4)^2+\sqrt{c-5}=0$.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)请直接判断$BC$与$y$轴的位置关系；
(3)若平面内有一点$P(m,\dfrac{1}{3})$，且点$P$到$BC$的距离为$5$，则三角形$AOP$的面积为________；
(4)如果点$P(m,\dfrac{1}{3})$在平面内，是否存在$m$，使四边形$ABOP$的面积为三角形$AOP$面积的$3$倍？若存在，请直接写出满足条件的点$P$的坐标，若不存在，请说明理由.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)请直接判断$BC$与$y$轴的位置关系；
(3)若平面内有一点$P(m,\dfrac{1}{3})$，且点$P$到$BC$的距离为$5$，则三角形$AOP$的面积为________；
(4)如果点$P(m,\dfrac{1}{3})$在平面内，是否存在$m$，使四边形$ABOP$的面积为三角形$AOP$面积的$3$倍？若存在，请直接写出满足条件的点$P$的坐标，若不存在，请说明理由.
答案
(1)因为$|a-3|+(b-4)^2+\sqrt{c-5}=0$，
所以$a-3=0,b-4=0,c-5=0$，
所以$a=3,b=4,c=5$。
(2)$BC$平行于$y$轴。
(3)$\dfrac{27}{2}$或$\dfrac{3}{2}$
【点拨】因为点$P(m,\dfrac{1}{3})$到$BC$的距离为5，$B(4,0),C(4,5)$，
所以$|m-4|=5$，$\therefore m-4=\pm5$，解得$m=9$或$-1$。
所以点$P$的坐标为$(9,\dfrac{1}{3})$或$(-1,\dfrac{1}{3})$。
因为点$A$的坐标为$(0,3)$，所以$OA=3$。
当$m=9$时，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×9×3=\dfrac{27}{2}$；
当$m=-1$时，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$。
综上所述，三角形$AOP$的面积为$\dfrac{27}{2}$或$\dfrac{3}{2}$。
(4)存在。满足条件的点$P$的坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$或$(-2,\dfrac{1}{3})$。
【点拨】当$m＜0$时，如图①，
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3×(-m)=-\dfrac{3m}{2}$，
$S_{四边形ABOP}=S_{△ AOP}+S_{△ ABO}=\dfrac{3}{2}×(-m)+\dfrac{1}{2}×3×4=-\dfrac{3m}{2}+6$。
因为四边形$ABOP$的面积为三角形$AOP$面积的3倍，
所以$-\dfrac{3m}{2}+6=3×(-\dfrac{3m}{2})$，解得$m=-2$，
所以满足条件的点$P$的坐标为$(-2,\dfrac{1}{3})$；
当$m＞0$时，如图②，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3× m=\dfrac{3m}{2}$，
$S_{四边形ABOP}=S_{△ ABO}-S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{3}{2}× m=6-\dfrac{3m}{2}$。
因为四边形$ABOP$的面积为三角形$AOP$面积的3倍，
所以$6-\dfrac{3m}{2}=3×\dfrac{3m}{2}$，解得$m=1$。
所以满足条件的点$P$的坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$。
综上所述，满足条件的点$P$的坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$或$(-2,\dfrac{1}{3})$。
解析
【分析】
(1) 利用绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b、c的值；
(2) 观察B、C两点的坐标特征，若两点横坐标相同，连线垂直于x轴，即平行于y轴；
(3) BC是横坐标为4的竖直线，点到竖直线的距离为两点横坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求出m的两个取值，再以OA为底，点P横坐标的绝对值为高，分情况计算△AOP的面积；
(4) 分点P横坐标m＞0和m＜0两种情况，分别表示出四边形ABOP的面积和△AOP的面积，根据“四边形ABOP的面积是△AOP面积的3倍”列方程求解，即可得到m的值和点P的坐标。
【解析】
(1)
∵$|a-3|+(b-4)^2+\sqrt{c-5}=0$，且$|a-3|≥0$，$(b-4)^2≥0$，$\sqrt{c-5}≥0$，
∴$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$，
解得$a=3$，$b=4$，$c=5$。
(2) 由(1)得$B(4,0)$，$C(4,5)$，两点横坐标相同，因此BC垂直于x轴，故$BC// y$轴。
(3)
∵BC为直线$x=4$，点$P(m,\dfrac{1}{3})$到BC的距离为5，
∴$|m-4|=5$，即$m-4=5$或$m-4=-5$，解得$m=9$或$m=-1$。
已知$A(0,3)$，则$OA=3$，
当$m=9$时，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}× OA× |m|=\dfrac{1}{2}×3×9=\dfrac{27}{2}$；
当$m=-1$时，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}× OA× |m|=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$。
(4) 存在，理由如下：
① 当$m＜0$时，如图①：
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3×(-m)=-\dfrac{3m}{2}$，
$S_{四边形ABOP}=S_{△ AOP}+S_{△ ABO}=-\dfrac{3m}{2}+\dfrac{1}{2}×3×4=-\dfrac{3m}{2}+6$，
根据题意得$-\dfrac{3m}{2}+6=3×(-\dfrac{3m}{2})$，解得$m=-2$，此时点P坐标为$(-2,\dfrac{1}{3})$；
② 当$m＞0$时，如图②：
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3× m=\dfrac{3m}{2}$，
$S_{四边形ABOP}=S_{△ ABO}-S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{3m}{2}=6-\dfrac{3m}{2}$，
根据题意得$6-\dfrac{3m}{2}=3×\dfrac{3m}{2}$，解得$m=1$，此时点P坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$。
【答案】
(1) $a=3$，$b=4$，$c=5$；
(2) $BC$平行于$y$轴；
(3) $\dfrac{27}{2}$或$\dfrac{3}{2}$；
(4) 存在，满足条件的点$P$的坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$或$(-2,\dfrac{1}{3})$。
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形性质，平面图形面积计算
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点与直线的位置关系、图形面积的计算，解题时需运用分类讨论思想，注意点P在不同位置时面积的计算方法，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 利用绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b、c的值；
(2) 观察B、C两点的坐标特征，若两点横坐标相同，连线垂直于x轴，即平行于y轴；
(3) BC是横坐标为4的竖直线，点到竖直线的距离为两点横坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求出m的两个取值，再以OA为底，点P横坐标的绝对值为高，分情况计算△AOP的面积；
(4) 分点P横坐标m＞0和m＜0两种情况，分别表示出四边形ABOP的面积和△AOP的面积，根据“四边形ABOP的面积是△AOP面积的3倍”列方程求解，即可得到m的值和点P的坐标。
【解析】
(1)
∵$|a-3|+(b-4)^2+\sqrt{c-5}=0$，且$|a-3|≥0$，$(b-4)^2≥0$，$\sqrt{c-5}≥0$，
∴$a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$，
解得$a=3$，$b=4$，$c=5$。
(2) 由(1)得$B(4,0)$，$C(4,5)$，两点横坐标相同，因此BC垂直于x轴，故$BC// y$轴。
(3)
∵BC为直线$x=4$，点$P(m,\dfrac{1}{3})$到BC的距离为5，
∴$|m-4|=5$，即$m-4=5$或$m-4=-5$，解得$m=9$或$m=-1$。
已知$A(0,3)$，则$OA=3$，
当$m=9$时，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}× OA× |m|=\dfrac{1}{2}×3×9=\dfrac{27}{2}$；
当$m=-1$时，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}× OA× |m|=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$。
(4) 存在，理由如下：
① 当$m＜0$时，如图①：
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3×(-m)=-\dfrac{3m}{2}$，
$S_{四边形ABOP}=S_{△ AOP}+S_{△ ABO}=-\dfrac{3m}{2}+\dfrac{1}{2}×3×4=-\dfrac{3m}{2}+6$，
根据题意得$-\dfrac{3m}{2}+6=3×(-\dfrac{3m}{2})$，解得$m=-2$，此时点P坐标为$(-2,\dfrac{1}{3})$；
② 当$m＞0$时，如图②：
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3× m=\dfrac{3m}{2}$，
$S_{四边形ABOP}=S_{△ ABO}-S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{3m}{2}=6-\dfrac{3m}{2}$，
根据题意得$6-\dfrac{3m}{2}=3×\dfrac{3m}{2}$，解得$m=1$，此时点P坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$。
【答案】
(1) $a=3$，$b=4$，$c=5$；
(2) $BC$平行于$y$轴；
(3) $\dfrac{27}{2}$或$\dfrac{3}{2}$；
(4) 存在，满足条件的点$P$的坐标为$(1,\dfrac{1}{3})$或$(-2,\dfrac{1}{3})$。
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形性质，平面图形面积计算
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点与直线的位置关系、图形面积的计算，解题时需运用分类讨论思想，注意点P在不同位置时面积的计算方法，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. ★★★ 新题型新定义题 对于平面直角坐标系 $ xOy $ 中的任意一点 $ P(x,y) $，给出如下定义：如果 $ a = \frac{1}{2}x + 1 $，$ b = 2y - 1 $，那么点 $ Q(a,b) $ 就是点 $ P $ 的“友好点”。例如：点 $ P(6,3) $ 的“友好点”是点 $ Q(4,5) $。
(1) 求点 $ A(-4,1) $ 的“友好点”的坐标；
(2) 点 $ B $ 在第二象限，点 $ B $ 到 $ x $ 轴的距离为 1 个单位长度，到 $ y $ 轴的距离为 2 个单位长度，点 $ B $ 的“友好点”为点 $ C $，求线段 $ BC $ 的长度；
(3) 点 $ D(d,5) $ 的“友好点”为点 $ E $，直线 $ DE // y $ 轴，点 $ F $ 在 $ x $ 轴上，三角形 $ DEF $ 的面积为 2，求点 $ F $ 的坐标；
(4) 点 $ G $ 在 $ x $ 轴上，点 $ G $ 的“友好点”为点 $ H $，点 $ H $ 在 $ y $ 轴上，点 $ M(m,-3) $，三角形 $ GHM $ 的面积大于 6，直接写出 $ m $ 的取值范围。
(1) 求点 $ A(-4,1) $ 的“友好点”的坐标；
(2) 点 $ B $ 在第二象限，点 $ B $ 到 $ x $ 轴的距离为 1 个单位长度，到 $ y $ 轴的距离为 2 个单位长度，点 $ B $ 的“友好点”为点 $ C $，求线段 $ BC $ 的长度；
(3) 点 $ D(d,5) $ 的“友好点”为点 $ E $，直线 $ DE // y $ 轴，点 $ F $ 在 $ x $ 轴上，三角形 $ DEF $ 的面积为 2，求点 $ F $ 的坐标；
(4) 点 $ G $ 在 $ x $ 轴上，点 $ G $ 的“友好点”为点 $ H $，点 $ H $ 在 $ y $ 轴上，点 $ M(m,-3) $，三角形 $ GHM $ 的面积大于 6，直接写出 $ m $ 的取值范围。
答案
(1)因为$\dfrac{1}{2}×(-4)+1=-1$，$2×1-1=1$，
所以点$A(-4,1)$的“友好点”的坐标为$(-1,1)$。
(2)由题意得$B(-2,1)$。因为$\dfrac{1}{2}×(-2)+1=0$，$2×1-1=1$，
所以$C(0,1)$。
因为$y_B=y_C=1$，所以$BC=0-(-2)=2$。
(3)因为$D(d,5)$的“友好点”为点$E$，
所以$E(\dfrac{1}{2}d+1,9)$。
因为$DE// y$轴，所以$d=\dfrac{1}{2}d+1$。所以$d=2$。
所以$D(2,5)$，$E(2,9)$。所以$DE=4$。
设点$F$到直线$DE$的距离为$h$。
因为$S_{△ DEF}=2$，所以$\dfrac{1}{2}×4× h=2$。所以$h=1$。
所以当点$F$在直线$DE$右侧时，$F(3,0)$；
当点$F$在直线$DE$左侧时，$F(1,0)$。
综上所述，点$F$的坐标为$(3,0)$或$(1,0)$。
(4)$m＜-8$或$m＞16$。
【点拨】因为点$G$在$x$轴上，点$H$在$y$轴上，所以设$G(y,0)$，$H(0,n)$。
因为点$G$的“友好点”为点$H$，所以$\begin{cases}\dfrac{1}{2}y+1=0,\\2×0-1=n,\end{cases}$
所以$\begin{cases}y=-2,\\n=-1.\end{cases}$所以$G(-2,0)$，$H(0,-1)$。
所以$OG=2$，$OH=1$。
因为$M(m,-3)$，所以点$M$在过$(0,-3)$且与$x$轴平行的直线上。
如图，设点$P(0,-3)$，则$OP=3$。过$P$作$PQ// x$轴交直线$GH$于点$Q$，则点$M$在直线$PQ$上，连接$OQ$。
因为$S_{△ GOQ}=S_{△ GOH}+S_{△ HOQ}$，所以$\dfrac{1}{2}×2×3=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×1· x_Q$。所以$x_Q=4$，即$PQ=4$。
连接$GP$，则$S_{△ GPQ}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
当点$M$在线段$PQ$上时，$S_{△ GHM}＜6$；
当点$M$在点$P$左侧时，如图中的$M_1$，则$m＜0$，
此时$S_{△ GHM_1}=S_{梯形OGM_1P}-S_{△ GOH}-S_{△ M_1PH}=\dfrac{1}{2}×(2-m)×3-\dfrac{1}{2}×2×1-\dfrac{1}{2}×[(-1)-(-3)]·(-m)=2-\dfrac{1}{2}m$，所以$2-\dfrac{1}{2}m＞6$。所以$m＜-8$；
当点$M$在点$Q$右侧时，如图中的$M_2$，则$m＞0$，此时$S_{△ GHM_2}=S_{△ GQM_2}-S_{△ HQM_2}=\dfrac{1}{2}×(m-4)×3-\dfrac{1}{2}×(m-4)×[(-1)-(-3)]=\dfrac{1}{2}m-2$，所以$\dfrac{1}{2}m-2＞6$，所以$m＞16$。
综上所述，$m＜-8$或$m＞16$。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先掌握“友好点”的运算规则：若点P的坐标为$(x,y)$，则它的“友好点”Q的横坐标$a=\frac{1}{2}x+1$，纵坐标$b=2y-1$，再结合平面直角坐标系的相关性质逐步求解：
(1) 直接将点A的横、纵坐标代入友好点的运算公式，分别计算得到a、b的值，即可得到点A的友好点坐标；
(2) 先根据点B所在象限、到x轴和y轴的距离确定点B的坐标，再代入公式求出其友好点C的坐标，最后根据B、C纵坐标相等，线段BC的长度等于两点横坐标差的绝对值计算即可；
(3) 先根据友好点定义写出点E的坐标表达式，再结合“平行于y轴的直线上所有点横坐标相等”列方程求出d的值，得到D、E的坐标和DE的长度，再利用三角形面积公式求出点F到直线DE的水平距离，分左右两种情况得到点F的坐标；
(4) 先根据G在x轴上、H在y轴上的特征，结合友好点定义求出G、H的固定坐标，再分点M在直线GH左侧、右侧两种情况，用割补法表示出$△ GHM$的面积，根据面积大于6列不等式求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-4,1)$的横、纵坐标代入友好点运算公式：
$a=\frac{1}{2}×(-4)+1=-1$，$b=2×1-1=1$，即得对应友好点坐标。
(2) 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，点到x轴的距离等于纵坐标绝对值，到y轴的距离等于横坐标绝对值，故$B(-2,1)$；代入公式得$C(0,1)$，两点纵坐标相同，故$BC$的长度为横坐标的差。
(3) 先写出E的坐标为$(\frac{1}{2}d+1,9)$，由$DE// y$轴得两点横坐标相等，解得$d=2$，即得$D(2,5)$，$E(2,9)$，$DE=4$；结合三角形面积公式求得点F到直线$x=2$的距离为1，分左右两种情况得F的坐标。
(4) 先根据G在x轴、H在y轴，结合友好点定义求得$G(-2,0)$，$H(0,-1)$；再分M在直线GH左侧、右侧两种情况，用割补法表示$△ GHM$的面积，列不等式解得$m＜-8$或$m＞16$。
【答案】
(1)因为$\dfrac{1}{2}×(-4)+1=-1$，$2×1-1=1$，
所以点$A(-4,1)$的“友好点”的坐标为$(-1,1)$。
(2)由题意得$B(-2,1)$。因为$\dfrac{1}{2}×(-2)+1=0$，$2×1-1=1$，
所以$C(0,1)$。
因为$y_B=y_C=1$，所以$BC=0-(-2)=2$。
(3)因为$D(d,5)$的“友好点”为点$E$，
所以$E(\dfrac{1}{2}d+1,9)$。
因为$DE// y$轴，所以$d=\dfrac{1}{2}d+1$。所以$d=2$。
所以$D(2,5)$，$E(2,9)$。所以$DE=4$。
设点$F$到直线$DE$的距离为$h$。
因为$S_{△ DEF}=2$，所以$\dfrac{1}{2}×4× h=2$。所以$h=1$。
所以当点$F$在直线$DE$右侧时，$F(3,0)$；
当点$F$在直线$DE$左侧时，$F(1,0)$。
综上所述，点$F$的坐标为$(3,0)$或$(1,0)$。
(4)$m＜-8$或$m＞16$。
【点拨】因为点$G$在$x$轴上，点$H$在$y$轴上，所以设$G(y,0)$，$H(0,n)$。
因为点$G$的“友好点”为点$H$，所以$\begin{cases}\dfrac{1}{2}y+1=0,\\2×0-1=n,\end{cases}$
所以$\begin{cases}y=-2,\\n=-1.\end{cases}$所以$G(-2,0)$，$H(0,-1)$。
所以$OG=2$，$OH=1$。
因为$M(m,-3)$，所以点$M$在过$(0,-3)$且与$x$轴平行的直线上。
如图，设点$P(0,-3)$，则$OP=3$。过$P$作$PQ// x$轴交直线$GH$于点$Q$，则点$M$在直线$PQ$上，连接$OQ$。
因为$S_{△ GOQ}=S_{△ GOH}+S_{△ HOQ}$，所以$\dfrac{1}{2}×2×3=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×1· x_Q$。所以$x_Q=4$，即$PQ=4$。
连接$GP$，则$S_{△ GPQ}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
当点$M$在线段$PQ$上时，$S_{△ GHM}＜6$；
当点$M$在点$P$左侧时，如图中的$M_1$，则$m＜0$，
此时$S_{△ GHM_1}=S_{梯形OGM_1P}-S_{△ GOH}-S_{△ M_1PH}=\dfrac{1}{2}×(2-m)×3-\dfrac{1}{2}×2×1-\dfrac{1}{2}×[(-1)-(-3)]·(-m)=2-\dfrac{1}{2}m$，所以$2-\dfrac{1}{2}m＞6$。所以$m＜-8$；
当点$M$在点$Q$右侧时，如图中的$M_2$，则$m＞0$，此时$S_{△ GHM_2}=S_{△ GQM_2}-S_{△ HQM_2}=\dfrac{1}{2}×(m-4)×3-\dfrac{1}{2}×(m-4)×[(-1)-(-3)]=\dfrac{1}{2}m-2$，所以$\dfrac{1}{2}m-2＞6$，所以$m＞16$。
综上所述，$m＜-8$或$m＞16$。
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系性质，坐标系面积计算
【点评】
本题以新定义“友好点”为背景，综合考查了坐标运算、平行于坐标轴的直线特征、三角形面积计算及分类讨论思想，要求学生能准确理解新规则，灵活运用坐标系相关知识解决问题，对综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题是新定义类题型，解题核心是先掌握“友好点”的运算规则：若点P的坐标为$(x,y)$，则它的“友好点”Q的横坐标$a=\frac{1}{2}x+1$，纵坐标$b=2y-1$，再结合平面直角坐标系的相关性质逐步求解：
(1) 直接将点A的横、纵坐标代入友好点的运算公式，分别计算得到a、b的值，即可得到点A的友好点坐标；
(2) 先根据点B所在象限、到x轴和y轴的距离确定点B的坐标，再代入公式求出其友好点C的坐标，最后根据B、C纵坐标相等，线段BC的长度等于两点横坐标差的绝对值计算即可；
(3) 先根据友好点定义写出点E的坐标表达式，再结合“平行于y轴的直线上所有点横坐标相等”列方程求出d的值，得到D、E的坐标和DE的长度，再利用三角形面积公式求出点F到直线DE的水平距离，分左右两种情况得到点F的坐标；
(4) 先根据G在x轴上、H在y轴上的特征，结合友好点定义求出G、H的固定坐标，再分点M在直线GH左侧、右侧两种情况，用割补法表示出$△ GHM$的面积，根据面积大于6列不等式求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-4,1)$的横、纵坐标代入友好点运算公式：
$a=\frac{1}{2}×(-4)+1=-1$，$b=2×1-1=1$，即得对应友好点坐标。
(2) 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，点到x轴的距离等于纵坐标绝对值，到y轴的距离等于横坐标绝对值，故$B(-2,1)$；代入公式得$C(0,1)$，两点纵坐标相同，故$BC$的长度为横坐标的差。
(3) 先写出E的坐标为$(\frac{1}{2}d+1,9)$，由$DE// y$轴得两点横坐标相等，解得$d=2$，即得$D(2,5)$，$E(2,9)$，$DE=4$；结合三角形面积公式求得点F到直线$x=2$的距离为1，分左右两种情况得F的坐标。
(4) 先根据G在x轴、H在y轴，结合友好点定义求得$G(-2,0)$，$H(0,-1)$；再分M在直线GH左侧、右侧两种情况，用割补法表示$△ GHM$的面积，列不等式解得$m＜-8$或$m＞16$。
【答案】
(1)因为$\dfrac{1}{2}×(-4)+1=-1$，$2×1-1=1$，
所以点$A(-4,1)$的“友好点”的坐标为$(-1,1)$。
(2)由题意得$B(-2,1)$。因为$\dfrac{1}{2}×(-2)+1=0$，$2×1-1=1$，
所以$C(0,1)$。
因为$y_B=y_C=1$，所以$BC=0-(-2)=2$。
(3)因为$D(d,5)$的“友好点”为点$E$，
所以$E(\dfrac{1}{2}d+1,9)$。
因为$DE// y$轴，所以$d=\dfrac{1}{2}d+1$。所以$d=2$。
所以$D(2,5)$，$E(2,9)$。所以$DE=4$。
设点$F$到直线$DE$的距离为$h$。
因为$S_{△ DEF}=2$，所以$\dfrac{1}{2}×4× h=2$。所以$h=1$。
所以当点$F$在直线$DE$右侧时，$F(3,0)$；
当点$F$在直线$DE$左侧时，$F(1,0)$。
综上所述，点$F$的坐标为$(3,0)$或$(1,0)$。
(4)$m＜-8$或$m＞16$。
【点拨】因为点$G$在$x$轴上，点$H$在$y$轴上，所以设$G(y,0)$，$H(0,n)$。
因为点$G$的“友好点”为点$H$，所以$\begin{cases}\dfrac{1}{2}y+1=0,\\2×0-1=n,\end{cases}$
所以$\begin{cases}y=-2,\\n=-1.\end{cases}$所以$G(-2,0)$，$H(0,-1)$。
所以$OG=2$，$OH=1$。
因为$M(m,-3)$，所以点$M$在过$(0,-3)$且与$x$轴平行的直线上。
如图，设点$P(0,-3)$，则$OP=3$。过$P$作$PQ// x$轴交直线$GH$于点$Q$，则点$M$在直线$PQ$上，连接$OQ$。
因为$S_{△ GOQ}=S_{△ GOH}+S_{△ HOQ}$，所以$\dfrac{1}{2}×2×3=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×1· x_Q$。所以$x_Q=4$，即$PQ=4$。
连接$GP$，则$S_{△ GPQ}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
当点$M$在线段$PQ$上时，$S_{△ GHM}＜6$；
当点$M$在点$P$左侧时，如图中的$M_1$，则$m＜0$，
此时$S_{△ GHM_1}=S_{梯形OGM_1P}-S_{△ GOH}-S_{△ M_1PH}=\dfrac{1}{2}×(2-m)×3-\dfrac{1}{2}×2×1-\dfrac{1}{2}×[(-1)-(-3)]·(-m)=2-\dfrac{1}{2}m$，所以$2-\dfrac{1}{2}m＞6$。所以$m＜-8$；
当点$M$在点$Q$右侧时，如图中的$M_2$，则$m＞0$，此时$S_{△ GHM_2}=S_{△ GQM_2}-S_{△ HQM_2}=\dfrac{1}{2}×(m-4)×3-\dfrac{1}{2}×(m-4)×[(-1)-(-3)]=\dfrac{1}{2}m-2$，所以$\dfrac{1}{2}m-2＞6$，所以$m＞16$。
综上所述，$m＜-8$或$m＞16$。
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系性质，坐标系面积计算
【点评】
本题以新定义“友好点”为背景，综合考查了坐标运算、平行于坐标轴的直线特征、三角形面积计算及分类讨论思想，要求学生能准确理解新规则，灵活运用坐标系相关知识解决问题，对综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
