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11. 新考法 从特殊到一般思想 木材加工厂堆放木料的方式如图所示，随着层数的增加，木料总数也在变化.
(1)根据变化规律填写下表:
(2)求出$y$与$n$的函数关系式；
(3)当木料堆放的层数为10时，木料总数为多少？
(1)根据变化规律填写下表:
(2)求出$y$与$n$的函数关系式；
(3)当木料堆放的层数为10时，木料总数为多少？
答案
11. 【解】(1)$1;3;6;10$
(2)$y$ 与 $n$ 的函数关系式为 $y=\frac{n(n+1)}{2}$.
(3)当 $n=10$ 时,$y=\frac{10×(10+1)}{2}=55$.
答:木料总数为 55.
(2)$y$ 与 $n$ 的函数关系式为 $y=\frac{n(n+1)}{2}$.
(3)当 $n=10$ 时,$y=\frac{10×(10+1)}{2}=55$.
答:木料总数为 55.
解析
【分析】
本题是探究木料总数随层数变化的规律类题目，解题思路如下：1. 第(1)问可通过累加每层木料数得到前4层的总数：第一层共1根，第二层总数为前2层木料数之和，第三层总数为前3层木料数之和，以此类推计算即可。2. 第(2)问观察发现n层的木料总数是从1到n的连续正整数的和，利用连续正整数求和的方法即可推导y与n的函数关系式。3. 第(3)问直接将n=10代入第(2)问得到的关系式，计算出y的值即为所求总数。
【解析】
(1) 当层数$n=1$时，木料总数$y=1$；
当$n=2$时，$y=1+2=3$；
当$n=3$时，$y=1+2+3=6$；
当$n=4$时，$y=1+2+3+4=10$；
因此表格依次填写1、3、6、10。
(2) 堆放n层时，木料总数为1到n的正整数之和，根据求和规则可得：
$y=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
即$y$与$n$的函数关系式为$y=\frac{n(n+1)}{2}$（$n$为正整数）。
(3) 将$n=10$代入$y=\frac{n(n+1)}{2}$，得：
$y=\frac{10×(10+1)}{2}=55$
因此木料总数为55。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；$\boxed{3}$；$\boxed{6}$；$\boxed{10}$
(2) $\boxed{y=\frac{n(n+1)}{2}}$
(3) $\boxed{55}$
【知识点】
图形规律探究；函数关系式推导；代数式求值
【点评】
本题考查从特殊到一般的数学思想，通过观察特殊层数的木料总数归纳出通用规律，再用规律解决具体数值问题，解题过程需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
本题是探究木料总数随层数变化的规律类题目，解题思路如下：1. 第(1)问可通过累加每层木料数得到前4层的总数：第一层共1根，第二层总数为前2层木料数之和，第三层总数为前3层木料数之和，以此类推计算即可。2. 第(2)问观察发现n层的木料总数是从1到n的连续正整数的和，利用连续正整数求和的方法即可推导y与n的函数关系式。3. 第(3)问直接将n=10代入第(2)问得到的关系式，计算出y的值即为所求总数。
【解析】
(1) 当层数$n=1$时，木料总数$y=1$；
当$n=2$时，$y=1+2=3$；
当$n=3$时，$y=1+2+3=6$；
当$n=4$时，$y=1+2+3+4=10$；
因此表格依次填写1、3、6、10。
(2) 堆放n层时，木料总数为1到n的正整数之和，根据求和规则可得：
$y=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
即$y$与$n$的函数关系式为$y=\frac{n(n+1)}{2}$（$n$为正整数）。
(3) 将$n=10$代入$y=\frac{n(n+1)}{2}$，得：
$y=\frac{10×(10+1)}{2}=55$
因此木料总数为55。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；$\boxed{3}$；$\boxed{6}$；$\boxed{10}$
(2) $\boxed{y=\frac{n(n+1)}{2}}$
(3) $\boxed{55}$
【知识点】
图形规律探究；函数关系式推导；代数式求值
【点评】
本题考查从特殊到一般的数学思想，通过观察特殊层数的木料总数归纳出通用规律，再用规律解决具体数值问题，解题过程需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
12. ★★ 初高衔接 阅读下面材料,再回答问题.
一般地,如果函数$y=f(x)$对于自变量取值范围内的任意$x$,都有$f(-x)=f(x)$,那么$y=f(x)$就叫偶函数.如果函数$y=f(x)$对于自变量取值范围内的任意$x$,都有$f(-x)=-f(x)$,那么$y=f(x)$就叫奇函数.
例如:$f(x)=x^4$.当$x$取任意实数时,因为$f(-x)=(-x)^4=x^4$,所以$f(-x)=f(x)$.所以$f(x)=x^4$是偶函数.
又如:$f(x)=2x^3 - x$,当$x$取任意实数时,因为$f(-x)=2(-x)^3 - (-x)=-2x^3 + x=-(2x^3 - x)$,所以$f(-x)=-f(x)$.所以$f(x)=2x^3 - x$是奇函数.
(1)下列函数中:①$y=x^2 +1$;②$y=\frac{5}{x^3}$;③$y=x+\frac{1}{x}$;④$y=x^{-2}-2|x|$.是奇函数的有
(2)仿照上面说明:函数③或④是奇函数还是偶函数(选择其中之一).
一般地,如果函数$y=f(x)$对于自变量取值范围内的任意$x$,都有$f(-x)=f(x)$,那么$y=f(x)$就叫偶函数.如果函数$y=f(x)$对于自变量取值范围内的任意$x$,都有$f(-x)=-f(x)$,那么$y=f(x)$就叫奇函数.
例如:$f(x)=x^4$.当$x$取任意实数时,因为$f(-x)=(-x)^4=x^4$,所以$f(-x)=f(x)$.所以$f(x)=x^4$是偶函数.
又如:$f(x)=2x^3 - x$,当$x$取任意实数时,因为$f(-x)=2(-x)^3 - (-x)=-2x^3 + x=-(2x^3 - x)$,所以$f(-x)=-f(x)$.所以$f(x)=2x^3 - x$是奇函数.
(1)下列函数中:①$y=x^2 +1$;②$y=\frac{5}{x^3}$;③$y=x+\frac{1}{x}$;④$y=x^{-2}-2|x|$.是奇函数的有
②③
;是偶函数的有①④
.(填序号)(2)仿照上面说明:函数③或④是奇函数还是偶函数(选择其中之一).
答案
12. 【解】(1)②③;①④
(2)(二选一即可)对于函数③,当 $x≠0$ 时,
$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$,
所以函数③是奇函数.
对于函数④,当 $x≠0$ 时,$f(-x)=(-x)^{-2}-2|-x|=x^{-2}-2|x|=f(x)$,所以函数④是偶函数.
(2)(二选一即可)对于函数③,当 $x≠0$ 时,
$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$,
所以函数③是奇函数.
对于函数④,当 $x≠0$ 时,$f(-x)=(-x)^{-2}-2|-x|=x^{-2}-2|x|=f(x)$,所以函数④是偶函数.
解析
【分析】
解题前先明确题目给出的判断规则：对自变量取值范围内的任意x，若满足$f(-x)=f(x)$，函数就是偶函数；若满足$f(-x)=-f(x)$，函数就是奇函数。解题时先对每个函数代入-x计算$f(-x)$，再和原函数$f(x)$对比即可判断类型；第二问仿照材料给出的示例格式，代入化简后对比原函数就能得出结论。
【解析】
(1) 逐个分析4个函数：
① 函数$y=x^2+1$，自变量取全体实数，$f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)$，是偶函数；
② 函数$y=\frac{5}{x^3}$，自变量取值为$x≠0$，$f(-x)=\frac{5}{(-x)^3}=-\frac{5}{x^3}=-f(x)$，是奇函数；
③ 函数$y=x+\frac{1}{x}$，自变量取值为$x≠0$，$f(-x)=(-x)+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$，是奇函数；
④ 函数$y=x^{-2}-2|x|$，自变量取值为$x≠0$，$f(-x)=(-x)^{-2}-2|-x|=x^{-2}-2|x|=f(x)$，是偶函数。
(2) 二选一示例：
选函数③：当 $x≠0$ 时，$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$，所以函数③是奇函数。
（或选函数④：当 $x≠0$ 时，$f(-x)=(-x)^{-2}-2|-x|=x^{-2}-2|x|=f(x)$，所以函数④是偶函数。）
【答案】
(1)②③；①④
(2)见解析（任选其一即可）
【知识点】
新定义运算，代数式化简，绝对值性质
【点评】
本题属于初高衔接的新定义题型，核心考点是对新定义的理解和运用，只要读懂规则、正确代入化简就能完成求解，主要考查学生的信息提取能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题前先明确题目给出的判断规则：对自变量取值范围内的任意x，若满足$f(-x)=f(x)$，函数就是偶函数；若满足$f(-x)=-f(x)$，函数就是奇函数。解题时先对每个函数代入-x计算$f(-x)$，再和原函数$f(x)$对比即可判断类型；第二问仿照材料给出的示例格式，代入化简后对比原函数就能得出结论。
【解析】
(1) 逐个分析4个函数：
① 函数$y=x^2+1$，自变量取全体实数，$f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)$，是偶函数；
② 函数$y=\frac{5}{x^3}$，自变量取值为$x≠0$，$f(-x)=\frac{5}{(-x)^3}=-\frac{5}{x^3}=-f(x)$，是奇函数；
③ 函数$y=x+\frac{1}{x}$，自变量取值为$x≠0$，$f(-x)=(-x)+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$，是奇函数；
④ 函数$y=x^{-2}-2|x|$，自变量取值为$x≠0$，$f(-x)=(-x)^{-2}-2|-x|=x^{-2}-2|x|=f(x)$，是偶函数。
(2) 二选一示例：
选函数③：当 $x≠0$ 时，$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$，所以函数③是奇函数。
（或选函数④：当 $x≠0$ 时，$f(-x)=(-x)^{-2}-2|-x|=x^{-2}-2|x|=f(x)$，所以函数④是偶函数。）
【答案】
(1)②③；①④
(2)见解析（任选其一即可）
【知识点】
新定义运算，代数式化简，绝对值性质
【点评】
本题属于初高衔接的新定义题型，核心考点是对新定义的理解和运用，只要读懂规则、正确代入化简就能完成求解，主要考查学生的信息提取能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7
