1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=2∠ B$，则$∠ A$等于（）

A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$90°$

1. A

2. [2025重庆八中月考] 如图，已知直线$a// b$，直线$l$与直线$a$，$b$分别交于点$A$，$B$，$AC⊥ AB$交直线$b$于点$C$。若$∠ 2=50°$，则$∠ 1$的度数为（）

A.$50°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$30°$

2. B

3. 将一个含$30°$角的三角尺和直尺如图放置，若$∠1=50°$，则$∠2$的度数是（）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

3. B

4. 如图，点E，F分别在线段AB，CD上，CE⊥AD于点G，BF⊥AD于点H，若∠B=∠C，则图中与∠A互余的角有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4. D

5. 如图，AD是$△ ABC$的高，BE是$△ ABC$的角平分线，BE，AD相交于点F，已知$∠ BAD=40°$，则$∠ AFE$的度数为（）

A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$66°$

5. C

6. 新考法 分类讨论法 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=2:m:4$，则$m$的值是。

6. 2或6 【点拨】设$∠A,∠B,∠C$的度数分别为$2x,mx,4x$.当$∠C$为直角时,$2x+mx=4x$,解得$m=2$;当$∠B$为直角时,$2x+4x=mx$,解得$m=6$.故$m$的值为2或6.

7. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个$\mathrm{Rt}△ ABC$，$∠ C=90°$，并画出了两锐角的平分线$AD$，$BE$及其交点$F$. 小明发现，无论怎样改变$\mathrm{Rt}△ ABC$的形状和大小，$∠ AFB$的度数是定值. 这个定值为.

7. 135° 【点拨】$\because ∠ C=90°,∴ ∠ CAB+∠ CBA=90°.$$\because AD$平分$∠ CAB$，$BE$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ FAB = \frac{1}{2}∠ CAB,∠ FBA = \frac{1}{2}∠ CBA,∴ ∠ FAB + ∠ FBA = \frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=45°,∴ ∠ AFB=180°-45°=135°.$

8. 如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，连接CE交AD于点M，且$∠ DCM=∠ MAE$，求证：$△ ACE$是直角三角形。

8. 【证明】$\because AD$是$BC$边上的高，$\therefore ∠ADC=90°.$$\because ∠DCM=∠MAE,∠CMD=∠AME,$$\therefore ∠AEC=∠ADC=90°,∴△ACE$是直角三角形.

9. [2025 日照月考] 已知$△ ABC$的三个角分别是$∠ A,∠ B,∠ C$,下列式子中:
①$∠ A=∠ B-∠ C$;②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$;
③$∠ A=∠ B=∠ C$;④$∠ A+∠ B=\frac{1}{2}∠ C$;
⑤$∠ A=2∠ B=3∠ C$,
不能判断$△ ABC$是直角三角形的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

9. C 【点拨】①$\because ∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠B-∠C+∠B+∠C=180°,∴ ∠B=90°,$$\therefore △ABC$是直角三角形;②$\because ∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠C=\frac{3}{1+2+3}×180°=90°,∴ △ABC$是直角三角形;③$\because ∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠A=∠B=∠C=60°,$$\therefore △ABC$不是直角三角形;④$\because ∠A+∠B=\frac{1}{2}∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴ \frac{1}{2}∠C+∠C=180°,∴ ∠C=120°,∴ △ABC$不是直角三角形;⑤$\because ∠A=2∠B=3∠C,$$\therefore$设$∠C=x$,则$∠A=3x,∠B=\frac{3}{2}x.$$\because ∠A+∠B+∠C=180°,∴ x+3x+\frac{3}{2}x=180°$,解得$x=(\frac{360}{11})°,$$\therefore ∠A=(\frac{1080}{11})°,∠B=(\frac{540}{11})°,∠C=(\frac{360}{11})°,$$\therefore △ABC$不是直角三角形.综上所述,不能判断$△ABC$是直角三角形的是③④⑤,共3个.

10. 新趋势跨学科 在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫做法线，光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等，如图，两束光线$l_1$，$l_2$分别从不同方向射向镜面$m$，入射点为$A$和$B$，$n_1$，$n_2$为法线，$l_1$，$l_2$的反射光线相交于点$P$。若$∠1=30°$，$∠2=50°$，则$∠ APB$的度数是 （）

A.$70°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$85°$

（第10题） （第11题）

10. C 【点拨】如图,由题易知，$∠3=90°-∠1=90°-30°=60°,∠4=90°-∠2=90°-50°=40°,∴ ∠APB=180°-∠3-∠4=180°-60°-40°=80°.$

11.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ D=∠ C=90°$，$∠ B=30°$，点$E$在线段$BC$上，$DE$交$AC$于点$F$，若$DE// AB$，则$∠ DAF$的度数为（）

A.$15°$
B.$20°$
C.$22.5°$
D.$30°$

11. D 【点拨】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠C=90°,∠B=30°,$$\therefore ∠CAB=90°-30°=60°.$$\because DE // AB,∴ ∠D+∠DAB=180°.$$\because ∠D=90°,∴ ∠DAB=180°-90°=90°,∴ ∠DAF=∠DAB-∠CAB=90°-60°=30°.$