10. 新考向 数学文化 七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“宴几”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操. 七巧板是由五块含$45°$角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的. 某同学利用图①（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图②. 若$∠1=∠2=45°$，则$∠3$的度数为°.

10.90 【点拨】如图,由题意得,∠EAB=45°,∠CBD=90°,∠ACF=90°-45°=45°.
∵∠1=∠2=45°,
∴∠ABC=180°-∠1-∠CBD=45°,∠BAC=180°-∠BAE-∠2=90°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°,
∴∠3=180°-∠ACF-∠ACB=90°.

11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 30°$，$∠ ACB = 100°$，点M是射线AB上的一个动点，过点M作$MN // BC$交AC于点N，连接BN。当$△ BMN$是等腰三角形时，$∠ MNB=$。

11.25°或50°或65°或80° 【点拨】
∵∠A=30°,∠ACB=100°,
∴∠ABC=180°-100°-30°=50°.
∵MN//BC,
∴∠AMN=∠ABC=50°. 当点M在线段AB上时,MN=MB,
∴∠MNB=∠MBN,易得∠AMN=∠MNB+∠MBN,
∴∠MNB=1/2∠AMN=25°;当点M在AB延长线上时,①若MN=MB,
∴∠MNB=∠MBN=1/2(180°-∠AMN)=65°;②若BN=MB,
∴∠MNB=∠BMN=50°;③若BN=MN,
∴易得∠MNB=180°-2∠AMN=80°. 综上,∠MNB=25°或50°或65°或80°.

12. 如图，在$△ ABC$中，$AF$平分$∠ BAC$交$BC$于点$F$，点$D$，$E$分别在$CA$，$BA$的延长线上，$AF// CE$，$∠ D=∠ E$。
(1)求证：$BD// AF$；
(2)若$∠ BAD = 80°$，$∠ ABD = 2∠ ABC$，求$∠ ACF$的度数。

12.(1)【证明】
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF.
∵AF//CE,
∴∠E=∠BAF,
∴∠E=∠CAF.
又
∵∠D=∠E,
∴∠D=∠CAF,
∴BD//AF.
(2)【解】由(1)知 BD//AF,
∴∠ABD=∠BAF.
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAF=2∠ABD.
∵∠ABD=2∠ABC,
∴∠BAC=4∠ABC.
∵∠BAD=80°,
∴∠BAC=180°-∠BAD=100°,
∴∠ABC=1/4∠BAC=25°,
∴∠ACF=180°-∠BAC-∠ABC=180°-100°-25°=55°.

13. 在数学活动课上，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中△ABC和△DEF分别为含45°和含30°的直角三角板，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=∠BCA=45°，∠EDF=30°，且EF＜AB. 通过操作发现：
(1)将这副三角板如图放置，点C与点F重合，并过点D作直线DG平行于边AC所在的直线，求∠EDG的度数；
(2)在(1)的条件下，固定△DEF，将△ABC绕点A逆时针以20°/s的速度旋转t(0＜t≤9)s，求当t为何值时，直线AB与△DEF的任意一条边所在直线垂直.

13.【解】(1)
∵AC//DG,
∴∠CDG=∠ACB=45°,
∴∠EDG=∠CDG-∠CDE=45°-30°=15°.
(2)
∵∠AFD=45°,∠DFE=60°,
∴∠AFE=∠AFD+∠DFE=45°+60°=105°.
当AB⊥EF时,如图①,设直线AB,EF交于点H,过点H作HK//AF.
∵HK//AF,
∴∠KHF=∠AFE=105°,∠FAH=∠KHA,
∴∠FAH=∠KHA=∠KHF-∠AHE=105°-90°=15°.
∵∠HAC=45°,
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=45°+15°=60°,
∴20t=60,解得t=3;
当AB⊥DE时,如图②,设直线AB,DE交于点M,
则∠AME=90°,
∴∠AME+∠E=90°+90°=180°,
∴AB//EF,
∴∠BAF=∠AFE=105°,
∴∠CAF=∠BAC+∠BAF=45°+105°=150°,
∴20t=150,解得t=7.5;
当AB⊥DF时,如图③,设直线AB,DF交于点N,
则∠BNF=90°,
∴∠B=∠BNF=90°,
∴BC//DF,
∴∠CAF=180°.
∴20t=180,解得t=9.
综上所述,当t=3或7.5或9时,直线AB与△DEF的任意一条边所在直线垂直.